2023北京顺义区初三（上）期末数学试题及参考答案

2023北京顺义初三（上）期末数学第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1.中国高铁是一张亮丽的名片，中国成功建设世界上规模最大、现代化水平最高的高速铁路网，形成了具有自主知识产权的世界先进高铁技术体系，打造了具有世界一流运营品质的中国高铁品牌．截止到年底，中国电气化铁路总里程突破万公里，其中高铁公里．将用科学记数法表示应为（）A.5B.3C.5D.43x=4yy0()，那么下列比例式不成立是（2.）34x3y4x4y3xy43A.=B.=C.=D.=yx3.在RtABC中，∠＝°，AC＝，BC3B的余弦值是（）35453443A.B.C.D.2平移，可以得到抛物线yxx，下列平移的叙述正确=2++4.在平面直角坐标系中，将抛物线y的是（）A.向上平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度a5.如图，为测楼房BC的高，在距楼房A处，测得楼顶的仰角为，则楼房BC的高为()50tanaA.50tana米B.米C.50sina米D.米aAEED16.如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F=，AB=3，2则的长为（）2332A.1B.C.D.2237.如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（）A.折扇B.C.一样大D.无法判断8.下面两个问题中都有两个变量：①矩形的周长为，矩形的面积y与一边长；②矩形的面积为，矩形的宽y与矩形的长．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（A.①是反比例函数，②是二次函数）B.①是二次函数，②是反比例函数D.①②都是反比例函数C.①②都是二次函数第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.分解因式：x2yy=____．2x3=−(+)2−1，当xyx随的增大而减小．10.对于二次函数y的取值范围是___________某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为0.8m，小李测得一棵树的影长为9.6m，那么这棵树的高是___________．=2−+=(−)12.将二次函数yxx3化为yaxh2+k的形式，则h=___________，k=___________．上，如果AOC=ABC，那么A+C的度数为___________．13.如图，点ABCy=x−2x+k−1与x轴有交点，则k的取值范围是___________．214.若抛物线35中，C=90D是上一点，如果CD=6，sinCBD=，那么15.如图，在等腰直角的长为___________．16.如图，正方形ABCD的顶点，B都在1，那么正方形ABCD的边长为___________．上，且CD边与相切于点E，如果的半径为三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．0+(31．−)17.计算：2sin+−3−2x5−4x18.解不等式组：7x−3．3x219.如图，在中，点DBC上，且满足=．请找出图中的一对相似三角形，并证2明．ky=(k0)y=mx(m0)都经过点20.已知：在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线x()．A2,2（1）分别求km的值；k()()y=mxy=和反比例函数n,0n0，过点P作平行于y轴的直线与直线（2）若点P的坐标为的图x象分别交于点CD，若点DC的上方，直接写出n的取值范围．21.在Rt△ABC中，C90，若AB2．请你添加一个条件：___________，设计一道解直角三角形==CD=C=30．22.如图，A是的直径延长线上的一点，点B在上，A（1）求证：AB是的切线；（2BC23，求AC的长．=23.如图，将等边三角形ABC折叠，使点ABC边上点D处（不与BCEF．（1）求证：△BDE△；（2BD6，DC==2，分别求△BDE，的周长；（3）在（）的条件下，求的长．24.在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图，，3小敏说：当圆心O在∠的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠的边上时的特殊情形来解决．请选择图23中的一种，完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．1ACB=求证：．225.1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点，测量点E到墙面=AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AEx米，==y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：x（米）0246860y（米）4.05.55.54.0（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系yaxh=(−2+()ka0；式（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．（3）若如图2汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到米）？y=ax−2ax+a+1．226.已知：二次函数（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；(+Any)(−Bny)=−++()2axa1a0y的取值2n（2）若点，在抛物线yax2上，且y112范围．27.已知：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，DF平分ADC，交线段AE于点F．（1）如图1AE=AD，延长EAG，使得AGBE，连接=DC，依题意补全图形并证明DG=AB；（2）在（）的条件下，用等式表示线段CD，AF，之间的数量关系，并证明；（3）如图2AE:AD1:2，用等式表示线段=CD，AF，之间的数量关系，直接写出结果．28.在平面直角坐标系中，图形M上存在一点，将点P先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点Q，若点Q在图形N上，则称图形M与图形N成“斜关联”．A(−2,1)，B2，C(−1,2)，(−)D1．（1）已知点①点A与、D中的哪个点成“斜关联”？kyk0=()成“斜关联”，求k的取值范围；②若线段AB与双曲线x的半径为1T的坐标为(t,0)=3x6，若+（2）已知“斜关联”，请直接写出t的取值范围．，直线l的表达式为y与直线l成参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1.【答案】D【解析】a10n,1a10【分析】根据科学记数法的表示方法：，进行表示即可．=4；【详解】解：故选D．【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法，是解题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】利用比例的性质，逐一进行判断即可．x3y4=4x=3y，与已知不符，符合题意；【详解】解：A，∴x4y3，∴3x=4y，与已知相符，不符合题意；，与已知相符，不符合题意；BC=xy43=，∴3x=4y34==3x4yD，∴，与已知相符，不符合题意；yx故选A．【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项积等于外项积，是解题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出的长，再根据三角函数的定义解答即可．【详解】如图，在Rt△中，∠=90°，=4BC=3，∴AB=AC+BC2=5，2BCAB35=∴cos=故选C．，【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4.【答案】C【解析】=2++yxx1【分析】将转化为顶点式，再根据抛物线的平移规则，进行判断即可．y=x2+2x+1=x+1，它的图象是由(2yx2的图象向左平移一个单位得到的；【详解】解：故选C．【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，是解题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BCAC的关系，根据AC即可求得的长度，即可解题.BCABACAB【详解】解：在直角△ABC中，，cosα=，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=50tanα．故选A.【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算BCAC的关系是解题的关键.6.【答案】C【解析】AE∥BCAEED12AEBC13==，得到，再根据相似三角形对应边对应成比例，列式求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∥,===3∴，∴，AFAE=∴∵，BFBCAEED12=，AEAE13===∴∴，BCADAFAE131===，即：，BFBC++3332AF=解得：；故选C．【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的对边平行，四边相等，证明三角形相似，是解题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】分别利用扇形面积公式和圆的面积公式求出两把扇子的扇面面积，然后比较即可．2a8a2−=a2【详解】解：折扇的扇面面积为为：3a221=a2圆扇扇面的面积为481a2a2∵274∴折扇的扇面面积大．故选A．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的面积公式等知识点，牢记扇形的面积公式是解答本题的关键．8.【答案】B【解析】【详解】解：①∵矩形的周长为，一边长x∴另一边长为10−xyx10x=(−)=−x2+10x∴为二次函数；②∵矩形的面积为x20y=∴是反比例函数．x故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】y(x+2)(x-2)【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】x2y-4=y(x2-4)=y(+2)(x-2)，故答案为：y(x+2)(x-2)．【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．10.【答案】x−3【解析】(−−)1=−(+)的顶点坐标是(−−1)2x3−12y【详解】解：二次函数，图象开口向下，当x−3时，y随x增大而减小，故答案为：x−3．【点睛】本题主要考查二次函数的图像的性质和特点，理解二次函数图像的性质是解题的关键．【答案】12m【解析】【分析】根据同一时刻，物高与影长的比对应成比例，列式求解即可．【详解】解：设树高为：m，则由题意，得：1x=，x=12解得：；∴这棵树的高是12m；故答案为：12m．【点睛】本题考查利用影长求物高．熟练掌握同一时刻，物高与影长的比对应成比例，是解题的关键．12.【答案】①.2②.1【解析】=2−+yxx3【分析】将转化为顶点式，即可得解．y=x2−4x+3=(x−22−1；【详解】解：∴h=k=1；故答案为：1．【点睛】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键．13.【答案】120##120度【解析】【分析】如图：在优弧上取一点D，连接AD、CD由圆周角定理和圆的内接四边形可得1ADC=AOCADC+ABC=180AOC=ABC求得ABC=1202边形的内角和定理即可解答．【详解】解：如图：在优弧上取一点D，连接AD、CD1ADC=AOCADC+ABC=180∴∵∴2AOC=ABC12+=ABC=120，解得：∵四边形ABCD++ACABC+AOC360=∴∴+AC=3602ABC=120．+故答案为：120．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、四边形的内角和等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．14.【答案】k2【解析】【分析】根据抛物线与x轴有交点，0，列式计算即可．−2x+k−1与x轴有交点，y=x2【详解】解：∵抛物线−=(2)2−4(k−)0=b2∴，k2解得：；k2故答案为：．xx0，是解题的关【点睛】本题考查二次函数图象与轴交点问题．熟练掌握抛物线与轴有交点：键．15.【答案】82【解析】【分析】先根据正弦的定义和已知条件求得BD10，再运用勾股定理求得=BC=8，再根据等腰直角三角形的性质可得ACBC8，最后运用勾股定理求得AB即可．==【详解】解：∵C90=35∴==∵CD=663=BD=10∴，解得：BD5∴BC=BD2−CD2=102−6=82∵等腰直角∴ACBC∴AB=AC故答案为82．==82+BC2=82+8=82．2【点睛】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，根据正弦定义求得BD=10是解答本题的关键．816.【答案】5【解析】a【分析】连接EO并延长，交AB于点F，连接OA，设正方形的边长为，根据正方形的性质和切线的性质，得到OF⊥AB，OF=a−1，根据垂径定理和勾股定理，进行求解即可．【详解】解：连接EO并延长，交AB于点F，连接OA，∵正方形ABCD的CD边与BAD=ADC=90，相切于点E，∴OECD，⊥，∴OFAB，⊥∴四边形EFAD为矩形，∴EF=AD，∵正方形ABCD的顶点B上，1AF=AB∴，2∵的半径为1，∴OEOA1，==aaAF=设正方形边长为，则：OFEFOEa1，=−=−，2Rt中：2=2+2在，a22a1+=(−)2即：12，85a=0a=解得：（舍掉）或；8∴正方形的边长为：；58故答案为：．5【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，正方形的性质以及勾股定理．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．117.【答案】42+2【解析】【分析】先化简各式，再进行加减运算．21【详解】解：原式2=+32−+1221=2+32−+1212=42+．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质和运算．熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的性质和运算法则，零指数幂法则，是解题的关键．18.【答案】1x3【解析】不到确定不等式组的解集．详解】解：由32x5−4x，得x1，−7x−33xx3，由，得2不等式组的解集为：1x3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．19.【答案】△ACD∽△BCA；证明见解析【解析】CACB=2=得出△ACD∽△BCA．CDCA【详解】解：∵CACB2=，=∴，CDCAACD=BCA，∵∴△ACD∽△BCA．CACB=【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据2=得出，熟记相CDCA似三角形的判定方法．20.）k=4，m1=0n2（2）【解析】k()y=(k0)=mxm0()A2,2y解出，即可得出答案；的坐标分别代入和x4y=xy=（21x44()()D，(n0)n且n0C，nn0得出，nn即可得出n的取值范围．【小问1详解】k解：∵反比例函数y=mx(m0)都经过点A(2,2)，y=()k0的图象与直线xk()y=(k0)=mxm0()，A2,2y∴把的坐标分别代入和xk∴可得：=2，2m=2，2解得：k=4，m=1；【小问2详解】解：由（）可知：k=4，m=1，4y=xy=∴反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，x()()Pyn,0n0，过点作平行于轴的直线，∵点P的坐标为x=()nn0，∴过点P作平行于y轴的直线为：4=()nn0y=xxy=和反比例函数又∵直线方，与直线的图象分别交于点，D，若点D在点C的上x4()()D，(n0)0，，C，nn∴n∵点D在点C的上方，4∴可得：如图，n且n0，n4y=x(22)(−2−2)，，和，y=∵直线与直线相交于两点分别为xnn02．∴观察图象，可得：的取值范围为【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用图象法解不等式，解本题的关键在正确求出km的值．，21.【答案】见解析【解析】AB=2=2角．【详解】解：如图，添加条件为：=2（答案不唯一）在Rt△ABC中，由勾股定理得，=2−=2，22A==，2A=45，B=90−A=45．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的解法和特殊角的三角函数值是解题的关键．22.）见解析（）6【解析】1OBABC120OBC=C=30=，ABO=90即可证明结论；然后再说明⊥BE=3，再由勾股定理求得（2）如图：过B作垂足为E，先根据直角三角形的性质求得CE=3，然后再说明三角形ABC是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质即可解答．【小问1详解】解：如图：连接OBA=C=30∵∴ABC180=−−AC=120∵OBOC=OBCABO==C=30∴∴ABC−OBC90=∴AB是的切线．【小问2详解】⊥解：如图：过B作，垂足为EC==30，BC23∵∴BE∴CE=3()232()2=BC2−BE2=−3=3A=C=30∵∴ABBC=⊥∵∴AC2EC6．==【点睛】本题主要考查了切线的证明、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键．23.）见解析（3）（）10【解析】=C、DFC=EDB）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得B即可证明结论；（2）有已知条件可得BC8，由等边三角形的性质可得=AB=AC=BC=8，再由折叠的性质可得AE=EDAF=FD，最后根据三角形周长的定义即可解答；（3）根据相似三角形的性质列式求解即可．【小问1详解】ABC证明：∵等边三角形B=C=A=60折叠，使点==∴ABCABC边上的点D处∵三角形EDFFDBDFCA60=+∴∵∴∵CDFCFDB=EDF+EDB=EDBB=C∴△BDE【小问2详解】△．解：∵BD6，DC==2∴BCBDDC=+=8ABC∵等边三角形∴ABACBC===8ABCABC边上的点D处∵三角形折叠，使点∴AEED=AF=FD∴△BDE的周长为：BDDEBEBDAEBEBDAB6814++=++=+=+=的周长为：CD+DF+CF=CD+AF+FC=CD+AC=2+8=10【小问3详解】．解：∵△BDEBE14△，△BDE的周长为，的周长为：10=∴CD10∵DC=2BE14=∴210∴BE2.8．=【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．24.【答案】见解析【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得ACO=CAO，然后根据三角形外角的性质可得AOD=2ACO，同理可得：BOD【详解】证明：∵OCAO=2BCO，然后根据AOB=AOD+BOD即可证明结论．=ACO=CAO∴∴AOD=ACO+CAO=2ACO同理：BOD2BCO==AOD+AOBBOD∵∴1AOB=2ACO2BCO+=2(ACO+BCO2ACB)=ACB=即．2【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键．125.），y（2）见解析=−(−)x42+6．83）隧道需标注的限高应为米【解析】）根据二次函数的对称性可知在x=4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据题意，以点A为原点，AB为xAD为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；（3x1，求得相应的值，结合到隧道顶面的距离不小于=y0.35米可得汽车最高点距地面的距离即可解答．【小问1详解】解：根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6，yax4=(−2+()6a0设D的坐标为(0,4)184a04=(−2+()6a0a=−，解得∴∴1=−(−)x4+261y．8=−(−)x42+6．故答案为：6，y8【小问2详解】解：根据题意，以点A为原点，AB为xAD为y轴建立平面直角坐标画出图像如图所示：【小问3详解】1解：令x1，可得=y=−(−2+=1464.8758隧道需标注的限高应为4.8750.354.525−=答：隧道需标注的限高应为4.525米．【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．26.）对称轴为x=1，顶点坐标为)3n（2）【解析】）将2y=ax−2ax+a+1转化为顶点式，即可得解；2,B（2）根据二次函数的性质，分点【小问1详解】在对称轴的同侧和异侧两种情况，进行讨论求解即可．y=ax2−+a+1=a(x−2+1，解：∴抛物线的对称轴为：x1；顶点坐标为：)；，=【小问2详解】y=ax2−2+a+1=a(x−2+1(a0)解：a0x=1，∵，抛物线开口向上，对称轴为：yxyx随的增大而增大；∴在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，,B①当点在对称轴的同侧时：−+yy∵n2n1，，12yx的增大而减小；∴随,Bn+11，解得：n0n+11∴点在对称轴的左侧，即：；,B0n3时，②当点在对称轴的异侧时：即：n−21，解得：根据抛物线的对称性，可得，x=n−2和x=4−n的函数值相等，yxyy，12∵在对称轴的右侧，随的增大而增大，3∴4−nn+1，解得：n，230nnyy∴当时，时，；1223yy综上：当．212【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（）CD=AF+BE，证明见解析27.）见解析1（3）=+2【解析】）如图，由平行四边形的性质得AD∥BCAE⊥BCBEA=GAD=90，得出，进而由，SAS证得，从而得到DG=AB；BAE=GDAAB=DG，再由平行四边形的性质，得出（2）由（1），得到，B=ADC，AB=CD，GDC=GDA+ADC=BAE+B=90GF=GDADF=CDF，进而得出GFD=GDF，根据等边对等角得知，最后得出AF+BE=AF+AG=GF=GD=BA=CD；（3长EA至点MAM2BE接=DM∽，ABBEAE1===2=求得相似比，与（）同理，DMAMAD2121211112)=+=AF+BE．CDAB==MD=MF=(AFAM+AFAM222【小问1详解】证明：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，C，AE⊥AD，即BEA=GAD=90，在与中，====，≌S)DG=AB；【小问2详解】AF+BE=CD，证明如下：≌，BAE=GDA，AB=DGC，，B+BAE=90，ADC+GDA=90，即GDC=90平分ADC，，∴ADF=CDF，=90−ADF，GDF=GDC−CDF=90−CDF，GFD=GDF，GF=GD，AF+BE=AF+AG=GF=