2023北京房山区初三（上）期末数学试题及参考答案

2023北京房山初三（上）期末数学2022.12一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．，如果的值为（）AD=3，BD=6，=2，那么DE∥BC1.如图，在△中，A.4B.6C.8D.9A的值为（）2.在△中，∠C=90，如果AC=4，=3，那么43A.C.B.D.5543343.把二次函数＝xA.＝（x+1）+34.如图，ABC是2﹣化为y＝（﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）D.＝（x﹣）+32B.＝（﹣）2+3C.＝（﹣）2+52上的三个点，如果BAC25，那么的度数是（=）A.35B.45C.50D.5.河堤的横截面如图所示，堤高是5米，迎水坡的长是的坡度i）A.：3B.：2.6C.：2.4D.：2，则（1()，()都是反比例函数y=图象上点，并且0）Ax,yBx,y126.已知点1122xyy0yy0yy0yy0D.21A.B.C.1221127.道路施工部门在铺设如图所示管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线AB的长为（单位：）A.B.C.D.3333xOy，B两点同时从原点Ox出发，点A以每秒2个单位长的速度沿8.如图，在平面直角坐标系中，yt轴的正方向运动，点B以每秒1个单位长的速度沿轴的正方向运动，设运动时间为秒，以AB为直径作圆，圆心为点P．在运动的过程中有如下5个结论：①ABO的大小始终不变；②始终经过原点O；③半径的长是时间t的一次函数；④圆心P的运动轨迹是一条抛物线；1y=−x⑤AB始终平行于直线．2其中正确的有（）A.①②③④B.①②⑤C.②③⑤D.①②③⑤二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）x1=−(+)2−的顶点坐标为29.二次函数y__________．k10.如图，平面直角坐标系中，若反比例函数y=()k0的图象过点A和点B的值为______．ax的位置如图所示，则sinABC______．为在正方形网格中，xOy中，抛物线yx22xm与轴只有一个交点，则的值为______．=−+xm12.平面直角坐标系13.丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于AB为8cm，为，则该圆形镜子的半径是______cm．．．AFFC1414.如图，在矩形ABCD中，若2，=BC=4=的长为______．，且15.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾短直角边长为8步，股(长直角边)步，问该直角三角形内切圆直径是多少步．”该问题的答案是________步．()为圆心，单位长1为半径的圆与直线Pt,0=kx−2相切于点y16.在平面直角坐标系中，以点M，y=kx−2直线与y轴交于点NMN取得最小值时，k的值为______．三、解答题（本题共道小题，共68分．，18，，21每题5分；其余每题6分）17.计算：2cos30+2sin45−tan60．y=−x2++c过点(3)和−()．18.抛物线（1，c的值；（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．2中，5，==sinABC=．19.如图，5（1BC的长．（2）是边上的高，请你补全图形，并求的长．20.下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图，及外一点P．求作：过点P的的切线PD（D交于点A，延长PO与作法：①连接PO与交于点B；②以点O为圆心，AB长为半径作弧；以点P为圆心，PO长为半径作弧，在PO上方两弧交于点C；③连接，，OC与④作直线PD．交于点D；则直线PD即为所求作的的切线．请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1（2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，，=PC=PO，点______线段中点，∴⊥（____________）又∵点D在上，切线（____________）∴是交于点，B，割线过圆心O，且=．若PC=13，的半21.如图，割线PB与径=5，求弦AB的长．22.中央电视塔是一座现代化标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔尖的仰角为37，向塔的方向前进128m到达F处，在F处测得塔尖的仰角为45，请AA3545你求出中央电视塔AB的高度（结果精确到sin37，cos37，343543tan37，sin53，53tan53，4523.在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为AB，测得弧所对的弦长AB为12.8，弧中点到弦的距离为2．设AB所在圆的圆心为O，半径⊥于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1mA(4)，一次函数x0的图象经过点24.如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=()xmy=−x+2的图象与反比例函数=()的图象交于点．yx0Bx（1m的值；m()C(x0)图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点DC作x轴Cx,yy=（2是Cx的垂线交直线y=−x+2于点E．x=−2时，判断CD与CEC①当的数量关系，并说明理由；②当CECD时，直接写出xC的取值范围．25.如图，AB是相交于点E．的直径，直线MC与相切于点C．过点B作于D，线段与（1）求证：BC是ABD的平分线；BE=6（2AB10，=，求的长．y=ax−4ax+3(a0)．226.在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）求抛物线的对称轴；A2−t,y（2）抛物线上存在两点()，(+B2t,y)，若21y2，请判断此时抛物线有最高点还是最低1点，并说明理由；（3）在（）的条件下，抛物线上有三点m)()(p)nmnp0时，求的取值范围．a，，，当=，=为平面上一点，使得27.为等腰直角三角形，2DBDA=90．点P为BC中点，连接．DP（1）如图，点D为内一点．①猜想BDP的大小；②写出线段AD，，PD之间的数量关系，并证明；（2）直接写出线段CD的最大值．xOy28.在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点，BAABAB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部（点在B为直径作．取线段分（含端点，BAB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线y2．①若点A横坐标为2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______−；②若点A横坐标为，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线y=x−2ax+a2+a，若点A在直线y=−4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过23时a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.【答案】B【解析】ADAE=AC【分析】由平行线分线段成比例可得到，从而的长度可求.ABAC【详解】∵DE∥BCADAE=∴∴ABAC32=3+6AC∴AC=6故选B【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.2.【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而A=可求.【详解】∵∠C90，AC=4，=3=∴AB=AC2+BC2=42+3=52ACAB45cosA==∴故选A【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.3.【答案】D【解析】x2−2x+4=(x2−2x++3=(x−+3，2【详解】(x−+3.故选D.2所以4.【答案】C【解析】【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得结果．【详解】∵在中，BAC=25，∴==，故选：C【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．5.【答案】C【解析】【详解】分析：在Rt中，根据勾股定理求得AC的长，根据坡面AB的坡比即为∠BAC的正切即可求解.详解：在Rt中，BC5米，AB=根据勾股定理得AC=1251==.∴=故选C.122.4点睛：本题主要考查学生对坡度坡角的掌握，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6.【答案】D【解析】1y=【分析】反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小，从而可得答案．x1()()Bx,y22y=都是反比例函数Ax,y【详解】解：∵点又∵0，y=，图象上的点，11x1∴反比例函数的图象在第一象限和第三象限，xxx0即当时，y随x的增大而减小，12yy0∴，21故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求AB长即可求解．120π4080π【详解】解：依题意，l==，1803故选：．【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．8.【答案】D【解析】OAOB1tanB==2，即可判断①，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得出=2判断②，根据题意求得，即可判断③④，待定系数法求得AB的解析式，即可判断⑤，即可求解．=t,=t【详解】解：依题意，OAtanB==2，∴OB∴ABO的大小始终不变，故①正确；如图，连接OP，15∴AB=OB2+OA2=t，OP=AB=t22∴始终经过原点O，故②正确125∵AP=AB=t2∴半径的长是时间t的一次函数，故③正确；125∵OP=AB=t2∴圆心P的运动轨迹是一条直线；故④不正确∵()，Bt()，At,0y=+b设直线AB的解析式为tk+b=0,则，b=t1k=−2，解得：b=t1y=−x+t∴直线AB的解析式为21y=−x∴AB始终平行于直线故选：D，故⑤正确．2知识是解题的关键．二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9.-1，）【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．x1=−(+)2−2的图象的顶点坐标为（，-2【详解】解：二次函数y-1，）【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．310.【答案】##1.52【解析】【分析】根据点A的坐标求得反比例函数解析式，将x=2代入，即可求解．kA3【详解】解：依题意，将点()代入y=，得出k=3，x3y=−∴反比例数解析式为，x3当x=2时，y=，23a=即，232故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，求得反比例函数解析式是解题的关键．【答案】【解析】【分析】根据题意找到Rt△，根据正弦的定义即可求解．【详解】解：如图∵△ABD是直角三角形，AD=AB=12+32=10，10ADAB1∴sinABC===，1010故答案为：．【点睛】本题考查了求正弦，勾股定理与网格，掌握正弦的定义是解题的关键．12.【答案】1【解析】y=0，即x2−2x+m=0，然后再根据一元二次方程的判别式，计算即可．【分析】根据题意，得出y=x−2x+m与x轴只有一个交点，2【详解】∵抛物线∴方程x22xm0根的判别式−+=Δ=0，即4−4m=0，解得：m=1，故答案为：1x【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，转为为一元二次方程根的判别式进行求解是解题的关键．13.【答案】5【解析】ABAB是该圆形镜子的直径，进而直接根据勾股定理求得AB可求解．【详解】如图，连接AB，∵ACB90，=∴AB是该圆形镜子直径，在Rt△ACB中，=8cm，CB=6cm，∴AB=CA2+CA2=82+62=10cm，==5cm，∴该圆形镜子的半径是22故答案为：5．AB是该圆形镜子的直径．514.【答案】5【解析】【分析】先证明△AEFCBF，由勾股定理求得的长度，再根据三角形相似比得到BF4EF，=最后利用EFBFBE=5得+=EF的长度．【详解】∵ABCD是矩形，且2，=BC=4，∴∥，∴EAF∴△AEFCBF，=BCF，且=，1====∴，且BC4，4∴AE1，=BF=4EF，∵2，=∴BE=AB2+AE=52+==BF=4EF5，且∴EFBFBE5∴=55故答案为:．5【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，矩形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用是解题关键．15.【答案】6【解析】【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【详解】解：根据勾股定理得：斜边为82+152=17，11(17158r++)=815设内切圆半径为r，由面积法22r=36故答案为：6．【点睛】考点：三角形的内切圆与内心．16.【答案】3或−3##−3或3【解析】t=，即可求得PM=1，PN=2，设直线ykx2与x轴的交点为0=−【分析】根据题意先求得2k1212A,0S=，然后利用AN，即可求得k的值y=kx−2【详解】∵直线与y轴交于点N，∴N(2)，且()，Pt,0∴PN=OP2+ON2=t2+4，y=kx−2∵单位长1为半径的圆与直线∴PM⊥MN，相切于点，∴=2−2=t+3，2∴当t=0时，MN取得最小值3，()，P0,0∴点2ky=kx−2A,0设直线与x轴的交点为，222k=PM1PN==∴AN=+22，AP，，2，k112S=AN∴，224∴2==+4，kk2解得：k3或k=−3，−3故答案为：3或【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理及分式方程，解决问题的关键是利用三角形的面积相等解分式方程三、解答题（本题共道小题，共68分．，18，，21每题5分；其余每题6分）17.【答案】．【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．32【详解】原式=2+2−322=−3，=1.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18.1bc的值；（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．c=−3）b4，=（2）x2（或x2）【解析】）将已知点代入抛物线表达式即可求得b，c的值（2）根据抛物线的开口方向和对称轴即可求得x的取值范围【小问1详解】解：∵抛物线y=−x++c过点(3)和−()，2c=−3−4+b+c=1，∴解得：b=4，c=−3【小问2详解】y=−xx=−2+4x−3，由（）知抛物线的表达式为∵a=10，b=4，b=2∴抛物线开口向下，对称轴为，2a∴当x2（或x2）时，函数y随x的增大而增大【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键19.）221421（2）5【解析】1A作⊥于点D==Rt2理求得，进而即可求解；（2）过点B，作⊥CA交的延长线于点E，根据的结论，即可求解．，以及正弦的定义，结合（）【小问1详解】解：如图，过点A作⊥于点D，==5∵∴1==，225∵sinABC=2=,=5∴,5∴AD=2Rt=AB2AD2−=5222=21,−在中，BD∴BC=2BD=221小问2详解】解：如图，过点B，作⊥CA交的延长线于点E∵=∴2∵sinABC=∴sinACB=5BEBC25=∵=2,421∴=5【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．20.）见解析（）D；三线合一；切线的判定定理【解析】）根据基本作图补全图形即可求解；（2）根据作图步骤，由三线合一得出⊥，进而判断PD是【小问1详解】切线解：如图所示，【小问2详解】证明：由作图可知，=，PC=PO，点D中点，∴⊥（三线合一）又∵点D在∴PD是上，切线（切线的判定定理）故答案为：D；三线合一；切线的判定定理【点睛】本题考查了切线的判定，三线合一，掌握基本作图是解题的关键．21.【答案】6【解析】1【分析】作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可得出中，勾股定理求得AD=3，即可求解．=，根据含30度角的直角三角形的性质，在2Rt【详解】解：如图，作OD⊥AB于点D，1=则∵，2PC=13，==5，∴PO=8，∵=，1OD=PO=4∴，2AO==4，在Rt中，∴AD=AO2−=3，2∴=2=6．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．22.【答案】中央电视塔AB的高度为385.5米．【解析】Rt中，Rt中得出GD,GEED=−=128AG可求解．AGtanADG=【详解】解：在Rt中，，GDAGtan37AG343===AG∴4=中，，AEG=45在Rt∴=，41ED=−=AG−AG=AG∴33∵ED=128∴AG=3ED=384,由图可知四边形GBCD是矩形，则GB=CD=1.5∴AB=AG+BG=384+1.5=386答：中央电视塔AB的高度为386米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．23.【答案】【解析】【分析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理列出关于的方程求出答案即可．【详解】∵，且=12.8，⊥1=AB=．6.4∴BD2根据题意可知=，∴OD=OC−CD=−（=−2+6.42，根据勾股定理，得OB2解得．所以这个盏口半径的长为．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．24.）m=−4（2CDCE；②C=−2或1C0【解析】m）将点A(4)代入反比例函数=()yx0m，即可求得xx=−2分别代入反比例函数和一次函数即可求得CD与CE，即可得到CD与CEC（2）①将的数量关系②当CECD时，可以得到关于x的不等式，解不等式即可求得x的取值范围CC【小问1详解】m∵反比例函数A(4)，y=()x0的图象经过点xm4=∴，1∴m=−4【小问2详解】①CD=CE，理由如下：−4x=−2=()x0y=2得：，Cy将代入代入Cx∴CD=2x=−2Cy=−x+2得：yE=4，将∴CE=y−y=2,EC∴CD=CE4y=y=−x+2x0，且②∵，，CECC4∴CD=−x，CE=y−y=−x+2−，CECCC∵CECD，−4−C+2−−xx0C∴，且，CCx2−2C−4C2∴∴，C2−2C−4C2x2−2C−4−C2x，且C0，xC或C∴C−2或1C0【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，解决问题的关键是能够按照点的坐标求到坐标轴的距离25.）见解析（）=45【解析】）连接，根据切线的性质得出OC⊥MC，根据，得出OC∥BD，根据平行线的性质得出DBC=OCB，根据半径相等，等边对等角得出OCB=，等量代换可得=，即可得证；（2）连接AE交于点F，连接，勾股定理求得AE，垂径定理求得，进而勾股定理求得FO,CF,△ACB中，勾股定理即可求解．，在【小问1详解】证明：如图，连接，∵直线MC与∴OC⊥MC,相切于点C．∵，∴OC∥BD，∴DBC=OCB，∵OC=OB，∴OCB=，∴DBC=OBC，∴BC是ABD的平分线；【小问2详解】解：如图，连接AE交于点F，连接，∵AB是的直径，ACB=90∴AEB90，=，又∵，∴AE∥MC，∴CO⊥AE，1AF=FE=AE∴，2∵AB=10，BE=6，∴=2−=8，21==4，∴2在Rt中，FO=AO2−AF2=52−42=3，∴CF=CO−=5−3=2，在RtCAF中，AC=AF+CF222=42+22=25，(225在△ACB中，=2−=102−=45，∴45．=【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．26.）直线x=2（2）抛物线有最高点，理由见解析3−a0（3）5【解析】）化为顶点式即可求解；A2−t,y（2）将点()，(+B2t,y2)代入抛物线解析式，根据1y2，得出0，即可求解；1)，(n)，(p)代入抛物线解析式，根据mnp0时，结合0，解不等式即可求解．（3）将点m【小问1详解】解：∵y=ax−+=4ax3a(x2)4a3−2−+2∴抛物线的对称轴为直线x=2；【小问2详解】解：抛物线有最高点，理由如下A2−t,y∵抛物线上存在两点()，(+)，B2t,y21=(−−)∴1a2t22−4a+3=at2−4a+3，y2=a(2+t−2)2−4a+3=4at−4a+3，2yy1∵，2即at∴at22−4a34at+2−4a3，+4at2，∴0，∴此时抛物线有最高点；【小问3详解】将点m)，(n)，(p)，代入抛物线解析式得：m=−a+3n=−4a+3p=5a+3，∵∴mnp0，(−)(−)(+)3a34a35a0，∵0，∴(3−a3−4a0，)()∴3+5a0，3−a0∴．5【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．27.）①BDP45②BDAD+==2PD（2）1+5【解析】）①由为等腰直角三角形，BDA=90，以AB为直径作圆，则点DP是圆周上的点，再根据等腰直角三角形的性质可知，然后利用圆周角的性质可知=BDP=BAP=452AD②过点B作BEPD交⊥PD的延长线于点，得到RtABDRtPBE△∽△，即可得PE=，然后2由BD=2DE，得到BD=AD+2PD（2）连接OC与圆周交于点D，点D在【小问1详解】外，此时CD最大，利用勾股定理即可求得①猜想BDP=45，下面证明：以AB为直径作，∵BDA=90，∴点D在圆上，连接，点P为BC中点，为等腰直角三角形，∴，即点P也在∴BAP=ABP=45，∴BDP=BAP=45⊥上，=C=②BD=AD+2PD，下面证明：PD过点B作BEPD交⊥的延长线于点E，由①知BDP=45，BAP=ABP=45，AP=BP∴DBE=45，AP=BP，即∴ABD+DBP=DBP+PBE=，=PBE，