5.1.2 弧度制 高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）

5.1.2弧度制5.1任意角和弧度制1.理解弧度制的概念；2.能进行角度与弧度的互化；3.会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式.学习目标1自主学习1.生活中在度量时，会用到不同的单位制，有哪些例子？2.角的度量是否也能用不同的单位制呢？比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.我们学过用度作为单位来度量角，这种单位制叫做角度制.探究一：弧度制

如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α.在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应圆心角α.

圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关.思考：我们是否可以利用圆的弧长与半径的关系来度量圆心角？我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.半径为1的圆叫单位圆，如图，在单位圆O中，的长为1，∠AOB就是1弧度的角.因此，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.1.度量角的两种制度角度制定义用

作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的______弧度制定义以

作为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于

的圆弧所对的圆心角度弧度半径长2.弧度数的计算正负0探究二：在度量零角时，角度制与弧度制单位不同，但量数相同，都为0；在度量任一非零角时，单位不同，量数也不同.

学习了弧度，那么角度制与弧度制之间如何换算呢？3.角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝____180°＝

radπrad＝_____1°＝

rad≈0.01745rad1rad＝

≈57.30°度数×＝弧度数弧度数×＝度数2π360°180°π√×√√小试牛刀2经典例题例1（课本P173例4，例5）

题型一角度制与弧度制的互化总结：角度与弧度互化技巧1、在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：2、角度化弧度时，将分，秒化成度，再化成弧度今后在用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角对应的弧度数。填写下列特殊角的度数和弧度数的对应表：角的概念推广后，在弧度制下，角的集合和实数集R之间建立了一一对应的关系；每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。例2将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？题型二用弧度制表示有关的角所以－1125°是第四象限角.总结：用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.(2)注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合.解终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，题型三利用弧度制证明并利用扇形公式例3（课本P174例6）

四.弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝

.αR思考

扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？答案

扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高.总结：扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.跟踪训练3

(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.解设扇形弧长为l，(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为lcm，半径为Rcm，①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8rad>2πrad舍去.3当堂达标√√解析A，B中弧度与角度混用，不正确；√－315°＝－360°＋45°，660°4.已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，所以当