【题型梳理练】绝对值贯穿有理数的经典考法（解析版）

2/2【题型梳理练】绝对值贯穿有理数的经典考法TOC\o"1-3"\h\u【题型1根据绝对值的非负性求值】 2【题型2根据字母的取值范围化简绝对值】 3【题型3利用绝对值的定义判断结论正误】 5【题型4利用绝对值的意义求字母取值范围】 10【题型5利用绝对值的性质化简求值】 12【题型6利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 15【题型7利用分类讨论思想解决多绝对值问题】 18【题型8绝对值中最值问题】 25知识点：绝对值（1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值可表示为：或；（3）；；（4）是重要的非负数，即，非负性.【题型1根据绝对值的非负性求值】【例1】（23-24七年级·四川成都·期中）若2021a+22022+2023b-1=0，则【答案】1【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，由a+22022≥0，b-1≥0可得2021a+22022≥0，2023b-1≥0，进而由非负数的性质得到a+2=0，b-1=0，即可求出a【详解】解：∵a+22022≥0，∴2021a+22022≥0∵2021a+2∴a+2=0，b-1=0，∴a=-2，b=1，∴a+b2022故答案为：1．【变式1-1】（23-24七年级·全国·单元测试）若|a|+|b|=|a+b|，则a、b满足的关系是．【答案】a、b同号或a、b有一个为0或同时为0【详解】∵|a|+|b|=|a+b|，∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0，故答案为a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0．【变式1-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）已知a-2+(b+12【答案】1【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得a、b的值，然后将a2019b2020转化为【详解】∵a-2∴a－2=0，b+1解得：a=2，b=-a2019b2020=(a故答案为：1【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出a、b的值.【变式1-3】（23-24七年级·上海黄浦·期中）若|a-1|+|ab-2|=0，则1(a+1)(b+1)+1【答案】1011【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子中拆项后，抵消即可求出值是解本题的关键．【详解】解：∵a-1+∴a-1=0，解得：a=1∴1a+1b+1+1====1011故答案为：10112024【题型2根据字母的取值范围化简绝对值】【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若m满足方程2019-m=2019+m，则m-2020等于（A．m-2020 B．-m-2020 C．m+2020 D．-m+2020【答案】D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.【详解】当m≥2019时，2019-m=m-2019当m≤0时，2019-m=2019+当0<m<2019时，2019-m=2019-m所以m≤0m-2020故选D【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.【变式2-1】（23-24七年级·广西贵港·期中）有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式a-b-a+b+

A．2a-b+c B．b-c C．b+c D．-b-c【答案】C【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并同类项即可得到结果.【详解】解：由数轴可得a<0，b<0，c>0，且|c|<|b|<|a|∴a-b<0，a+b<0，b-c<0∴|a-b|-|a+b|+|b-c|=-(a-b)+(a+b)-(b-c)=-a+b+a+b-b+c=b+c故选C【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答.【变式2-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，c且都不为0，BC=2AC．若2a+b=2a-3c-b-3c，则|2a+3b+3c|=（用含【答案】4a+4b/4b+4a【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由BC=2AC可得3c=b+2a，结合2a+b=2a-3c-b-3c可得a<【详解】解：∵BC=2AC，∴b-c=2(c-a)，∴3c=b+2a，∴2a+b=|2a-b-2a|-|b-b-2a|=|-b|-|-2a|=|b|-|2a|，∴2a<0，b>0，2a+b>0，∴a<0，b>0，∴4a+4b>0，∴|2a+3b+3c|=|2a+3b+b+2a|=|4a+4b|=4a+4b．故答案为：4a+4b【变式2-3】（23-24七年级·广东湛江·期中）已知a=-a，|b|b=-1，c=c【答案】-2a【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据题意求出a≤0,b<0,c≥0，得到a+b<0，a-c≤0，b-c<0，即可得到答案．【详解】解：∵a=-a，|b|b=-1∴a≤0,b<0,c≥0，∴a+b<0，a-c≤0，b-c<0，则原式=-a-b-a+c+b-c=-2a．故答案为：-2a．【题型3利用绝对值的定义判断结论正误】【例3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（）①若a=-2，b=3，则AB+BC=6；②若a+c=2b，则B为AC的中点；③化简c-b+a-b-a-c=2c；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若a=-2，b=0，c=4点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若a+2A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】①不知道c表示的数字无法确定AB+BC的值；②根据线段的中点的定义，以及中点公式进行判断；③根据点在数轴上的位置，化简绝对值，进行判断；④根据两点间的距离公式，以及两点之间线段最短，进行判断；⑤根据两点间的距离公式，列方程计算进行判断；⑥根据a+2+a-1b-2+b-5c-6+c-10=36，得到a+2+a-1【详解】解：①不知道c表示的数字无法确定AB+BC的值，故①错误；②∵a+c=2b，∴B为AC的中点，故②正确；③由图可知：a<b<c，∴c-b＋a-b-④∵数轴上点M到A，B，C距离之和最小，∴点M与点B重合；故④正确；⑤设点M表示的数为m，当点M在点A左边时，依题意有：-2-m+解得：m=-11当点M在点C右边时，依题意有：m+2+解得：m=5；综上，点M表示的数为-113或5，故⑥∵a+2+∴a+2+∴-2≤a≤1，2≤b≤5，6≤c≤10，∴当a=-2,b=2,c=6时：2020a+2021b+2022c有最小值为-4040+4042+12132=12134，故⑥正确；综上：正确的是②④⑥，共3个；故选A．【点睛】本题考查整式的加减，方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及绝对值的意义和根据数轴上点的位置判断式子的符号，是解题的关键．【变式3-1】（23-24七年级·重庆·期中）下列说法正确的有（

）①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=-1时，则|a|a+|b|②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|+a+c③已知x≤4时，那么x+3-x-4的最大值为7，最小值为④若a=b且|a-b|=23，则式子⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb-a(a<b)，当ab<0，a+b<0，aA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】①由题意可得，abc<0，则a，b，c中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc<0可得a，b，c中有一个值为负数，求解即可；③根据【详解】解：①由|abc|abc=-1可得abc<当a<0，b>0，c>0当a<0，b<0故①正确；②由abc<0和a+b+c=0得∴a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a∴-a|a|故②错误；③当-3≤x≤4时，x-4≤0，x+3≥0，则x+3-x-4=x+3+x-4=2x-1，此时最大值为当x<-3时，x-4≤0，x+3<0则x+3故③正确；④由a=b可得a=b当a=b时，a-b=0与|a-b|=2当a=-b时，a-b=-2b，a+b=0且2b解得a=13则ab=-19a+b-ab故④正确；⑤由题意可得a，当a<0，b>0时，a=-a，b由a>b可得-a>b，即a+b<0则{a当a>0，b<0时，a=a，由a>b可得a>-b，即a+b>0，与综上{a故⑤正确；正确的个数为4故选：C【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子．【变式3-2】（23-24七年级·安徽滁州·期中）下列结论：①若x=-3，则②若-x=-3，则③若x=y，则④若x+y=0，则xy⑤已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则aa+bb+其中，正确的结论是（填写序号）．【答案】①⑤/⑤①【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．【详解】解：①若x=-3，则②若-x=-3，则x=±3，③若x=y，则x=±y，④若x+y=0，当y≠0时，则xy=1，⑤∵a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，∴a、b、c有四种情形：a<0，b<0，c<0或a<0，b>0，c<0或a<0，b>0，c>0或a<0，b<0，c>0，当a<0，b<0，c<0时，原式=-1-1-1--1当a<0，b>0，c<0时，原式=-1+1-1-1=-2，当a<0，b>0，c>0时，原式=-1+1+1--1当a<0，b<0，c>0时，原式=-1-1+1-1=-2．综上，已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则aa+bb+故答案为：①⑤．【变式3-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）根据绝对值定义：可将a表示为a=aa≥0-aa<0，故化简a+b可得a+b①化简x+y+②化简x+x-1+③若an=2n-9，Sn=a1以上说法中正确的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】①由于|x|、|y|、|z|的结果分别有2种，则|x|+|y|+|z|的结果共有2×2×2=8种；②根据x的取值范围化简绝对值可得当x≥1时，|x|+|x-1|+|x+2|=3x+1；当0≤x<1时，|x|+|x-1|+|x+2|=x+3；当-2≤x<0时|x|+|x-1|+|x+2|=-x-1；当x<-2时，|x|+|x-1|+|x+2|=-3x+3；则|x|+|x-1|+|x+2|的结果共有4种；③根据题意可得Sn【详解】解：①∴|x|的结果有两种，|y|的结果有两种，|z|的结果有两种，∴|x|+|y|+|z|的结果共有2×2×2=8种，故①说法正确；当x≥1时，|x|+|x-1|+|x+2|=x+x-1+x+2=3x+1；当0≤x<1时，|x|+|x-1|+|x+2|=x+1-x+x+2=x+3；当-2≤x<0时，|x|+|x-1|+|x+2|=-x+1-x+x-2=-x-1当x<-2时，|x|+|x-1|+|x+2|=-x+1-x-x+2=-3x+3；∴|x|+|x-1|+|x-2|的结果共有4种情况，故②说法错误；③∵∴=7+5+3+1+1+3+5+7+⋯+2n-9=16+∵∴16+解得，n=34或n=-26（舍去）∴n=34故③说法正确，∴正确的说法有2个，故选：C【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握绝对值的性质、一元二次方程的解法是解题的关键【题型4利用绝对值的意义求字母取值范围】【例4】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若2a+4-5a+1-3a的值是一个定值，则aA．a=0 B．13<a<45 C．13【答案】D【分析】根据a的范围，分情况利用绝对值的代数意义化简，使其值为常数，即可得到a的范围．【详解】解：当a＜13时，4-5a＞0，1-3a＞0原式=2a+4-5a+1-3a=-6a+5，当a≠0时不合题意；当13≤a≤45时，4-5a≥0，原式=2a+4-5a+3a-1=3，符合题意；当a＞45时，4-5a＜0，1-3a＜0原式=2a+5a-4+3a-1=10a-5，不合题意，综上，满足题意a的范围为13⩽a⩽4故选：D．【点睛】此题考查了绝对值的化简以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式4-1】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）已知：a-a=0，则a【答案】a≥0【分析】利用绝对值的意义进行求解即可得到答案【详解】解：因为a-a所以a=a因为一个非负数的绝对值等于它本身，所以，a的取值范围是a≥0，故答案为：a≥0【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数．【变式4-2】（23-24七年级·天津河西·期中）当|x+2|+|x-3|取最小值时，x的取值范围是，最小值是．【答案】-2⩽x⩽35【分析】x+2+x-3表示数轴上到-2与3的距离之和，可得出最小值以及【详解】x+2+x-3表示数轴上到-2与当x的取值范围为-2≤x≤3时，x+2+x+2+x-3≥∴x的取值范围为-2≤x≤3时有最小值，最小值为5.故答案为-2≤x≤3；5.【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义在数轴上求最小值是解题的关键.【变式4-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）若不等式x-2+x+3+x-1+x+1≥a【答案】a≤7【分析】根据绝对值的几何意义，x-y表示数轴上两点间的距离，即可得到答案．【详解】解：由题意可得，x-2表示点x到-3，-1，1，2四点间距离的和，∴当x在-1和1之间是距离和最小，最小值为1-(-1)+2-(-3)=7，∴a≤7,故答案为a≤7．【点睛】本题考查绝对值的几何意义：x-y表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题的关键．【题型5利用绝对值的性质化简求值】【例5】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知有理数a，b，c满足a+b+c=a+b-c，且c≠0，则a+b-c+2-【答案】-8.【分析】当a+b+c≥0时，则a+b+c=a+b+c,结合已知条件得到c=0，不合题意舍去，从而a+b+c＜0,可得a+b=0,c＜0,【详解】解：当a+b+c≥0时，则a+b+c=a+b+c,∵a+b+c∴a+b+c=a+b-c,∴c=0，∵c≠0，所以不合题意舍去，所以a+b+c＜0,∴a+b+c∵a+b+c∴a+b-c=-a-b-c,∴a+b=0,∴c∴c＜0,∴=2-c+c-10=-8.故答案为：-8.【点睛】本题考查的是绝对值的含义，绝对值的化简，同时考查去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键．【变式5-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝．【答案】2【分析】因为a、b、c都为整数，而且|a-b|21+|c-a|2021=1，所以|a-b|与【详解】解：∵a、b、c为整数，且|a-b|∴有|a-b|=1，|c-a|=0或|a-b|=0，|c-a|=1，①若|a-b|=1，|c-a|=0，则a-b=±1，a=c，∴|b-c|=|c-b|=|a-b|=1，∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=1+1+0=2，②|a-b|=0，|c-a|=1，则a=b，c-a=±1，∴|b-c|=|c-b|=|c-a|=1，∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=0+1+1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是绝对值的化简，解题的关键是掌握两个相反数的绝对值相等是解题的重点，灵活对绝对值的化简进行变形．【变式5-2】（23-24七年级·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且a+b+b+c=1，则【答案】1【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当a+b=0时，则b+c=1，当a+b=1时，则【详解】解：∵a、b、c是整数，∴a+b，b+c是整数，∵a+b又∵a+b∴a+b=0时，则b+c=1或a+b=1∴当a+b=0，则a=-b，∴a-c∴当a+b=0，则a=-b，∴a-c∴当a+b=1，则a=1-b，∴∴当a+b=-1，则a=-1-b，∴a-c综上可得：a-c=1故答案为：1．【变式5-3】（23-24七年级·山东·课后作业）图表示数在线四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s.若|p－r|=10，

|p－s|=12，|q－s|=9，则|q－r|=？（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】A【分析】根据数轴可知p＜q＜r＜s，根据绝对值的性质得：p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，所以q-r=-7，根据绝对值的性质，得出|q-r|的值．【详解】观察数轴可得，p＜q＜r＜s，∵|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，∴p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，∴p=r-10，p=s-12，∴r-10=s-12，∴s=r+2，∴q-s=q-r-2=-9，∴q-r=-7，∴|q-r|=7．故选A．【点睛】本题主要考查绝对值性质的运用．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，将式子化简，即可求解．【题型6利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】【例6】（23-24七年级·河南平顶山·阶段练习）已知abc<0，a+b+c>0且x=a|a|+A．0 B．0或1 C．0或-2或1 D．0或1或-6【答案】A【分析】由abc<0，a+b+c>0，可得a、b、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得a、b、c的符号有三种情况（a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0），再根据绝对值的性质分三种情况求得x的值即可解答．【详解】∵abc<0，a+b+c>0，∴a、b、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，∴a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0，当a<0，b>0，c>0时，ab<0，ac<0，bc>0，∴x==a=-1+1+1-1-1+1=0；当a>0，b<0，c>0时，ab<0，ac>0，bc<0，∴x==a=-1+1+1-1+1-1=0；当a>0，b>0，c<0时，ab>0，ac<0，bc<0，∴x==a=1+1-1+1-1-1=0．综上，当abc<0，a+b+c>0时，x=aa故选：A．【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到a、b、c的符号有三种情况（a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0）是解决问题的关键．【变式6-1】（23-24七年级·浙江·期末）已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，abc<0，则aa+bA．1 B．-1或-3 C．1或-3 D．-1或3【答案】A【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．【详解】∵abc<0∴a，b，c中应有奇数个负数∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负∵a+b+c=0∴a，b，c的符号为1负2正令a<0，b>0，c>0∴a=-a，b=b∴aa+故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．【变式6-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知-4xyz|3xyz|=43，则A．1或﹣3 B．1或﹣1 C．﹣1或3 D．3或﹣3【答案】A【详解】试题分析：根据绝对值的性质及连乘法则，可判断出x、y、z的符号，再根据正负性即可求值.解：∵-4xyz|3xyz|∴xyz<0，∴x、y、z的符号为三负或两正一负.当x、y、z均为负值时，原式＝（－1）+（－1）+（－1）＝－3；当x、y、z为两正一负时，原式＝1+1+（－1）＝1；∴|x|x+y|y|故选A.点睛：本题涉及的知识有绝对值、有理数的乘法.解题的关键在于要利用已知条件结合绝对值的性质、有理数连乘法则判断出x、y、z的符号，同时要注意利用分类讨论思想.【变式6-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q|p+q|+p-q【答案】1【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定q<0且|p|>|q|是解题的关键．【详解】解：∵方程||2023x-2024|-p|=-q，∴-q>0，即q<0，∴|2023x-2024|-p=q或|2023x-2024|-p=-q，∴|2023x-2024|=q+p或|2023x-2024|=p-q，∵方程始终存在四个不同的实数解，∴p+q>0，p-q>0，∴p>0且|p|>|q|，∴p+q|p+q|故答案为：1．【题型7利用分类讨论思想解决多绝对值问题】【例7】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b-a-2c+b-2c-

A．A的左边 B．A与C之间 C．C与B之间 D．B的右边【答案】B【分析】可得a+b=2c，从而可得a+b-a-2c+b-2c-a+b-2c=a+b【详解】解：∵C是AB的中点，∴a+b=2c，∴a+b===a+bA．在A的左边，∴a>0，b>0，a+b>0，a+b=a+b-b+a=2a≠0，故此项不符合题意；B．在A与C之间时，∴a<0，b>0，a+b>0，a+b=a+b-b-a=0，故此项符合题意；C．在C与B之间时，∴a<0，b>0，a+b<0，a+b=-a-b-b-a=-2a-2b≠0，故此项不符合题意；D．在B的右边时，∴a<0，b<0，a+b<0，a+b=-a-b+b-a=-2a≠0，故此项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键．【变式7-1】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a-2=18，且3a-c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【答案】D【分析】根据绝对值的代数意义对a-2=18进行化简，a-2=18或a-2=-18，解得a=20或a=-16有两个解，分两种情况再对3a-c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320-c=c【详解】∵a-2=18∴a-2=18或a-2=-18，∴a=20或a=-16，当a=20时，3a-c=c等价于3∴60-3c=c或60-3c=-c，∴c=15或c=30；当a=-16时，3a-c=c等价于3∴-48-3c=c或-48-3c=-c，∴c=-12或c=-24，故c=15或c=30或c=-12或c=-24，∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(-12)+(-24)=9．故答案为：D【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，c的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．【变式7-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a-b，若a>b，则可化简为AB=a-b

(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数-2的点的距离是3个单位长度，则m的值为______；(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示-5的点左侧，则m-2+m+5(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a-d=12，b-d=7，a-c=9，则b-c

(4)若b=a，c=12a，d=13a，e=1【答案】(1)1或-5(2)-2m-3(3)4(4)54【分析】（1）由题意易得m--2（2）由题意易得m-2<0,m+5<0，然后化简绝对值即可；（3）由数轴可知a<b<c<d，然后可得d-a=12，d-b=7，c-a=9，则有b-c=c-a+d-b-（4）由题意易得a-1+a+4+a-9+a+16+a-25，然后根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，【详解】（1）解：由题意得：m--2∴m+2=±3，∴m=1或-5；（2）解：由题意得：m-2<0,m+5<0，∴m-2+故答案为-2m-3；（3）解：由数轴可知：a<b<c<d，∵a-d=12，b-d=7，∴d-a=12，d-b=7，c-a=9，∴b-c=c-b=c-a+d-b-=9+7-12=4；故答案为4；（4）解：∵b=a，c=12a，d=13∴b-1==a-1根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，-4，9，-16，25的距离之和最小；∴当a≤-16时，则原式=1-a-a-4+9-a-a-16+25-a=15-5a，此时当a=-16时，有最小值95；当-16<a≤-4时，则原式=1-a-a-4+9-a+16+a+25-a=47-3a，此时当a=-4时，有最小值59；当-4<a≤1时，则原式=1-a+a+4+9-a+16+a+25-a=55-a，此时当a=1时，有最小值54；当1<a≤9时，则原式=a-1+a+4+9-a+16+a+25-a=a+53，此时无最小值；当9<a≤25时，则原式=a-1+a+4+a-9+16+a+25-a=3a+35，此时无最小值；当a>25时，则原式=a-1+a+4+a-9+16+a+a-25=5a-15，此时无最小值；综上所述：当a=1时，式子b-1+2c+2+3故答案为54．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、整式的加减运算及有理数的加减运算，熟练掌握各个运算及数轴上的动点问题是解题的关键．【变式7-3】（23-24七年级·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：

(1)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：b-c-(2)请你找出所有符合条件的整数x，使得2+x+(3)若m、n为非负整数，且m-2+m-6n-1+n+2【答案】(1)2c；(2)x=-4或x=7；(3)m=0n=0或m=0n=1或m=8n=0【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想．（1）观察数轴上a、b、c的正负，去除绝对值符号，化简；（2）分区间讨论符合条件的整数x；（3）m-2+m-6n-1+n+2表示24【详解】（1）解：由题意得,a<b<0<c,∴b-c<0，a+b<0，c-a>0，∴b-c=c-b-=c-b+a+b+c-a=2c．（2）解：①当x<-2时,2+x+∴-x-2-x+5=11，解得：x=-4；②当-2≤x<0时,2+x∴2+x-x+5=11，∵7≠11，∴等式不成立．③当0≤x≤5时,由2+x+得2+x+x-5=11，解得：x=7，∴x=-4或x=7时，2+x+（3）解：m-2表示m到2的距离，m-6表示m到6的距离，当m在2与6之间时（含端点）m-2+当m在2左侧时，m1到6的距离大于6-2=4当m在6右侧时，m2到2的距离大于6-2=4则m在上述两种情况时m-2+∴m-2+同理：n-1+又∵m-2+m-6n-1+n+2∴可得：①m-2+②m-2+③m-2+解方程组①：0≤m≤2时，m-2+解得：m=0，2<m≤6时，m-2+m>6时，m-2+解得：m=8，0≤n≤1时，n-1+∴满足，n=0或n=1，n>1时，n-1+解得：n=1（舍去），故m=0或即m=0n=0，m=0n=1，m=8n=0解方程组②：0≤m≤2时，m-2+解得：m=1，2<m≤6时，m-2+m>6时，m-2+解得：m=7，0≤n≤1时，n-1+n>1时，n-1+解得：n=3故方程组②无解；解方程组③0≤m≤2时，m-2+解得：m=2，2<m≤6时，m-2+∴m=3，m>6时，m-2+解得：m=6（舍去），0≤n≤1时，n-1+n>1时，n-1+解得：n=5故方程组③无解，综上：m=0n=0或m=0n=1或m=8n=0【题型8绝对值中最值问题】【例8】（23-24七