山东省济南市长清区2023-2024学年八上期中数学试题（解析版）

济南市长清区八年级（上）期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1.25的算术平方根是（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用算术平方根的定义求解即可．【详解】解：，25的算术平方根是5．故选：A．【点睛】本题考查算术平方根的定义，正确记忆算术平方根的含义是解题关键．2.下列是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的立方根、算术平方根，根据“无限不循环小数是无理数”，即可求解．【详解】解：A.，是有理数，故该选项不符合题意；B.是无理数，故该选项符合题意；C.，是有理数，故该选项不符合题意；D.，是有理数，故该选项不符合题意；故选：B．3.在平面直角坐标系中，点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，故点所在的象限是第四象限．故选：D．4.下列式子正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根的性质、二次根式的减法、二次根式的乘法计算后即可得到答案，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项错误，不符合题意；D．，故选项正确，符合题意．故选：D．5.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A.2,3 B.0,2 C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是根据棋子“马”和“车”的点的坐标得出原点的位置．【详解】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：．故选：D．6.点、在一次函数图象上，则、大小关系()A. B. C. D.不能确定【答案】A【解析】【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，根据一次函数的性质，可得随的增大而减小，即可求解．【详解】解：，随的增大而减小，又，且，是一次函数图象上的两个点，．故选：A．7.已知轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握平行于x轴的直线上点的坐标特点是解决问题的关键，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，可得点B的纵坐标，再分点B在点A的左边和右边两种情况讨论，即可求出结果．【详解】解：∵点A的坐标为，轴，∴点B的纵坐标为3，∵，∴点B的横坐标为：或，∴点B的坐标为或，故选：D．8.已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意得出，进而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可求解．【详解】解：∵一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选：C．9.如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．【详解】解：∵，∴OA=，∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，∴，∴，∵点C为x轴负半轴上的点，∴C，故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．10.在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为，点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，坐标与图形的性质，解题的关键是要读懂“等距点”的定义，然后根据概念解决问题．【详解】解：∵，∴点A到x、y轴的距离中的最大值等于3，∵点，且，∴，∴（舍），∴点D坐标为，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11.的立方根是______．【答案】##【解析】【分析】根据立方根的定义解答即可．【详解】解：∵∴的立方根是．

故答案为：．【点睛】本题主要考查了立方根定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．解题的关键是注意一个数的立方根与原数的符号相同．12.若点在轴上，则m的值为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，利用y轴上点的横坐标等于零得出关于m的方程求出m的值即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：．13.秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，则__________（选填“>”，“<”，“=”）．【答案】【解析】【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案．无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．【详解】∵，∴，∴，∴．故答案为：＞14.学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________后两人相距．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的图象，根据题意和函数图象中的数据计算出小明和小亮的速度，明确两人出发后两人相距为等量关系列出方程，利用数形结合的思想解答是解题的关键．【详解】解：由题意和图象可得：小明行驶了，∴小明的速度为：，小亮小时行驶了，∴小明的速度为：()，设两人出发后两人相距，∴，解得：，答：两人出发后两人相距，故答案为：．15.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．【答案】【解析】【分析】先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解．【详解】解：，当时，；当时，；A-4,0，，，，将沿所直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，，，，在中，，即：，，点在轴的负半轴上，．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．16.如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴正半轴上的一个动点，以线段为边在的右上方作等边，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，将绕点逆时针旋转60°到，连接，计算点)，确定当轴时，最小即的最小值是．【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转60°到，连接，则，，，，是等边三角形，是等边三角形，，，，过点作轴，则，)，即点是定点，当最小时，最小，当轴时，最小，最小值是，线段长度的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了确定最小值问题，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，运用旋转的性质作旋转三角形是本题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共86分）17.计算：（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，（1）先化为最简二次根式，再根据二次根式的混合运算进行计算；（2）根据二次根式的混合运算进行计算．掌握二次根式混合运算是解题的关键．【小问1详解】；【小问2详解】．18.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先化简各二次根式，然后再根据二次根式加减法法则进行计算即可．（2）先利用完全平方公式与平方差公式进行展开，再合并即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．19.计算：．【答案】【解析】【分析】先求一个数的立方根，化简绝对值，求一个数的负整数指数幂，求一个数的零指数幂，依次计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，立方根的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，正确化简是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（1）作出关于轴对称的；（2）写出点的坐标：，，；（3）在轴上找一点，使最小，标出点的位置（不写画法，保留作图痕迹）．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查坐标与图形的轴对称，因此可根据：（1）此题考查了作图—轴对称，直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据点的位置，直接写出坐标即可；（3）直接利用轴对称求最短路线的方法得出点位置．【小问1详解】解：如图所示【小问2详解】解：如图所示，，故答案：；【小问3详解】解：如图所示，点即为所求，21.如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C．（1）求一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程的解为；（3）求的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解；（3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可．【小问1详解】解：把，代入，得，解得：，故这个一次函数的解析式为；【小问2详解】解：把代入得：，解得：，∴直线与x轴交于点C的坐标为，∴方程的解为．故答案为：．【小问3详解】解：的面积为：．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式．22.如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．（1）点B的坐标为；当点P移动4秒时，写出点P的坐标．（2）若点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿着的线路移动，点Q与点P同时出发，几秒后点Q与点P第一次相遇？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、非负数的性质、坐标与图形性质，根据算术平方根和绝对值的非负性得，，根据矩形的性质及点的运动规律、灵活运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．【小问1详解】解：由题意得：，得：，，得：，，，，∵，则点P运动的路程为8，此时点P运动到上，距点A个单位长度，，故答案为：；．【小问2详解】设t秒后点Q与点P第一次相遇，由题得：，解得，所以秒后点Q与点P第一次相遇．23.河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：会员卡费用(元/张)茶叶价格(元/kg)方式一：金卡会员5001600方式二：银卡会员2001800设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元．（1）请直接写出关于x的函数解析式；（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？【答案】（1），（2）千克（3）按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶【解析】【分析】（1）由总费用等于会员卡费用加上茶叶费用可得答案；（2）由，再建立方程即可；（3）把代入，，再求解，再比较即可．【小问1详解】解：由题意可得：，；【小问2详解】由题意可得：，解得：，答：该公司此次购买茶叶的质量为千克．【小问3详解】按照第一种方式购买茶叶：，解得；按照第二种方式购买茶叶：，解得．∵，∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶．【点睛】本题考查的是列函数关系式，一元一次方程的应用，理解题意，确定函数关系式与相等关系建立方程是解本题的关键．24.小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：∵，∴，∴，∴，∴．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）①化简；②当时，求的值．（2）化简．【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意；（1）①根据题中所给方法可进行求解；②根据题中所给方法可进行求解；（2）根据分母有理化可进行求解．【小问1详解】解：①；②∵，∴，∴，即，∴，∴；故答案为；2；【小问2详解】解：原式．25.【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是：而；表示和两点之间的距离是：而；表示和两点之间的距离是：而．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为│m－n│．（1）数轴上表示数的点与表示的点之间的距离为________；【探索新知】如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是化为求或的斜边长．下面：以求为例来说明如何解决．从坐标系中发现：，．所以，，所以由勾股定理可得：．（2）在图②中：设、，试用表示：____________，____________，____________．得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”．【学以致用】请用此公式解决如下题目：（3）已知、，试求A、B两点间的距离；（4）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）；（2）；；；（3）；（4）为直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据距离公式计算即可．（2）根据数形结合思想，结合阅读学习的知识，利用坐标的特点，计算求解即可．（3）根据两点间的距离公式，计算即可．（4）根据两点间的距离公式，结合勾股定理的逆定理，计算即可．【详解】（1）数轴上表示数的点与表示的点之间的距离为，故答案为：3．（2）∵、，∴，，，，故答案为：；；．（3）∵、，∴．（4）为直角三角形，理由为：∵、、，∴，，，∵，即则为直角三角形．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算，平面内两点间的距离公式