山东省青岛市莱西市三校联考2023-2024学年八上期中数学试题（解析版）

2023-2024学年山东省青岛市莱西市三校联考八年级（上）期中数学试卷（五四学制）一．选择题（共8小题，24分）1.在RtABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意，作出图形，设，则，利用勾股定理求得，根据正切的定义求得即可．【详解】解：如图，在中，，，设，则，由勾股定理可得，，故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义、勾股定理解直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．2.如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，根据圆内接四边形，得出，根据是直径得出，则，根据垂径定理得出，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，即可求解．【详解】解：连接，∵四边形是的内接四边形，∴，∵是直径，∴，∵，∴∴，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，垂径定理，直径所对的圆周角是直接，熟练掌握以上知识是解题的关键．3.如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（）A.4 B.6 C.9 D.18【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题．【详解】解：∵AE＝2ED，∴，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD，∴△EDF∽△CBF，∴，∴（）2，∵S△EDF＝2，∴S△BCF＝18．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．4.如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（）A. B.30 C.40 D.50【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键．【详解】解：如图，由题意得：，，∴，∴，在中，，，∴A，C两港之间的距离为，故选：D．5.如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等，和两组对应边对应成比例，夹角相等，进行判断即可．【详解】解：在和中，，要使，只需，，或或即可；当时，∵，∴，能使；综上：只有选项A不能证明；故选A．6.如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由于是等边三角形，还给出，所有考虑直接把转移到一个直角三角形中求解，那么这个角度如何利用，恰好想到过点A作的垂线直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．【详解】∵是等边三角形；∴；过点作的垂线，垂足为；∴；∴；∵；∴；∵；；∴；在中，；中；；∴；∴；∴；∴；∵；∴；故选．7.如图，是的直径，，，是上的三点，，点是的中点，点是上一动点，若的半径为，则的最小值为（）A.1 B. C. D.﹣1【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题、圆周角定理以及等腰直角三角形的性质作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得＋的最小值为，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后可得，再求出，根据对称性及图形得出，从而判断出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得的长度．【详解】解：作点关于的对称点，连接、、、，则＋的最小值，，，，点为的中点，，由对称性可得，，，是等腰直角三角形，，即＋的最小值为．故选C．8.如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接，根据切线的性质得到，勾股定理求得，即当最小时，有最小值，当时，最小，求出即得的最小值．【详解】解：连接，∵是的切线，∴，∵，∴，即当最小时，有最小值，∵等边三角形的边长为，为边上一动点，∴当时，最小，此时，∴，即的最小值为3，故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握切线的性质定理及勾股定理是解题的关键．二．填空题（共6小题，18分）9.如图，一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是_______cm．【答案】20【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，过作于，由，设cm，cm，则cm，即可求解．【详解】解：如图，过作于，由，设cm，cm，由勾股定理得：，解得，（cm）．故答案为：20．10.如图，为等边三角形，点D、E分别在边、上，，如果，，那么_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质等，由等边三角形的性质可证，从而可证，从而可得，再由求出，即可求解．【详解】解：为等边三角形，，，，，，，，，，，，解得：；故答案：．11.如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为___________米．（结果精确到1米，参考数据）【答案】16【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．详解】解：由题意得：，米，设米，米，在中，，米，在中，，（米，，解得：，（米，建筑物的高度约为16米，故答案为：16．12.如图，是等边三角形，点D，E分别在上，，与相交于点F，是的高，若，则的长等于____．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点E作于H，先求出，，再根据等边三角形的性质得到，则，求出，得到，则重合，由勾股定理得，则由勾股定理得，再利用等面积法求出的长即可．【详解】解：如图所示，过点E作于H，∵，，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴重合，中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵是的高，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．13.如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，．则的度数等于_______度．【答案】23【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出，，再根据圆周角定理得到，则利用互余可计算出，然后计算即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∴．故答案为：23．14.如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以的长为半径作弧，两弧分别交于点，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、扇形的面积、解直角三角形等知识点，得出，再根据，代入数值进行计算即可得到答案，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，，由题意得：，，在矩形中，，，，，，在中，，，，，故答案为：．三．解答题（共10小题，78分）15.（1）计算：．（2）计算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值的混合运算法则即可求解．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．16.如图，在菱形中，E为边上一点，．（1）求证：；（2）若，，求菱形的边长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键．（1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可；（2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长．【小问1详解】证明：四边形是菱形，，，，；【小问2详解】解：四边形是菱形，，，，，，，，为边长，17.如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交射线于点M．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：；（3）若，，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识．（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；（2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；（3））由，，则，则是等边三角形，所以，则，所以，因为是等边三角形，平分，可得，即得到的直径为8，半径为4，再证是等边三角形，得到，，因此，根据得到，从而利用“”证得，则阴影部分的面积等于扇形的面积．【小问1详解】解：如图，连接，则，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，且，∴直线是的切线；【小问2详解】∵线段是的直径，∴，∴，∴，，∵，∴，∴．【小问3详解】连接交于N，∵，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵是等边三角形，平分，∴，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴．18.如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是和．（1）求的度数；（2）求该铁塔的高度．（结果精确到米；参考数据：，）【答案】（1）（2）米【解析】【分析】本题考查了仰角的定义、解直角三角形、三角函数；（1）延长交直线于点F，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设米，根据，构建方程求出x即可．【小问1详解】延长交直线于点F，则，依题意得：，，∴．【小问2详解】设米，∵，，∴，∴，∴米，在中，，，在中，，∴，∴，∴，∴（米），即该铁塔的高度约为米．19.如图，在中，，点从运动到，且．（1）求证：；（2）若，，求当长为多少时，．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明．（1）先根据得出，证明，得出，根据相似三角形性质得出，即可证明结论；（2）根据平行线的性质得出，证明，得出，根据，，求出，即可得出当时，．【小问1详解】证明：，，，，，，∴，，．【小问2详解】解：若，，又，∴，，，，，，即当时，．20.如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．（1）求边的长；（2）求的值．【答案】（1）9（2）【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键．（1）设，根据，可求出长度，再根据勾股定理可求出长度，即可得到长，最后由，可解出x的值．即得到长．（2）作于点E，由，可求出长，再由勾股定理可求出，继而得到长，即可求出．【小问1详解】解：设，在中，，即，∴．∵，∴，∴，在，，即，解得，经检验，是该分式方程的解．∴．【小问2详解】解：如图所示，过点D作于点E，在中，，∴，∵，由（1）知．∴，∴．21.某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度，如图2：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得米，将标杆沿方向平移米到点处（米）．这时地面上的点，标杆的顶端点，塔尖点正好又在同一直线上，测得米，点与塔底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？【答案】此塔的高度有30米【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴（米），答：此塔的高度有30米．22.如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD＝OB．（1）求证：DA是⊙O的切线；（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）连接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，从而得到∠OAD＝90°，得证DA是⊙O的切线；（2）由AE⊥BD和直径为4结合垂径定理求得∠OAE、∠E和AE的长度，再结合∠ABC的度数求出∠AFE和∠FAE的大小，从而求出线段EF的长．【详解】证明：连接OA，∵∠ABC＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，∵OA＝OB，AD＝OB，∴OA＝AD，∴∠AOD＝∠D＝45°，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切线．（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，∵直径为4，∴OA＝OE＝2，∴AE＝2，∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，∴∠OAB＝ABC＝22.5°，∴∠FAE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AFE＝180°﹣∠FAE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠AFE＝∠FAE，∴EF＝AE＝2．【点睛】本题考查了切线的定义、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的三边关系和等腰三角形的判定与性质，第一问解题的关键是利用圆周角定理求出∠AOD的度数和利用等边对等角求出∠D的大小，第二问解题的关键是通过垂径定理判断出∠AFE＝∠FAE，然后利用等角对等边求出线段EF的长度．23.在平面直角坐标系中，已知，；点从开始沿以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用，（1）用含t的代数式表示：线段______；________．（2）当与相似时，求出t的值．【答案】（1），；（2）或【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形的性质：（