专题：与绝对值有关的九种常见题型（原卷版）

与绝对值有关的九种常见题型题型1绝对值的定义在找规律中的应用【典例分析】【例1-1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算：．【例1-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知：，…照此规律(1)______；(2)计算：；(3)计算：．【例1-3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值去掉．例如：；；；．(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①________；②________．(2)用简单的方法计算：．【变式演练】【变式1-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）①正数：，；②负数：，；③零：；（2）根据（1）中的规律发现：不论正数、负数和零，它们的绝对值一定是数．【变式1-2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题：(1)有最______值______；有最______值______；(2)当a为何值时，有最值，并求出这个最值；(3)若，求的值．【变式1-3】（七年级上·湖南永州·期末）（1）填空：①正数：，；②负数：，；③零：；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是数，即（3）请认真阅读下列材料，求的最小值解：，当，即时，的最小值是2解答下列问题①求的最小值；

②有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a的值

题型02绝对值在比较大小中的应用【典例分析】【例2-1】（23-24七年级上·湖北荆门·期中）下列比较大小正确的是（）A． B． C． D．【例2-2】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）比较大小：（填“>”“<”或“”）．【例2-3】（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．比较a、b、c、-a、、的大小，用“<”连接起来；【变式演练】【变式2-1】（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列四组有理数的大小比较正确的是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）比较大小：（填“＞”或“＜”）【变式2-3】（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）请在数轴上表示出有理数，，，所在的点，并用“＞”比较它们的大小．

题型03绝对值的非负性再求字母取值范围中的应用【典例分析】【例3-1】（七年级上·广东广州·期中）若，则a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【例3-2】（22-23七年级上·吉林长春·期末）若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例3-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）已知，则的取值范围为.【变式演练】【变式3-1】（七年级上·江苏扬州·期中）如果，那么m的取值范围是（

）A． B． C．m≥3 D．【变式3-2】（20-21七年级上·天津南开·阶段练习）如果，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（七年级上·全国·课后作业）若，则x的取值范围是；若，则x的取值范围是.

题型04绝对值的几何意义再求字母值中的应用【典例分析】【例4-1】（23-24七年级上·四川眉山·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（

）A． B． C． D．【例4-2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为．【例4-3】（23-24七年级上·山西晋城·期中）阅读下列材料，完成后面任务：我们知道x的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即x=x-0，也可以说，x表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为x1-x2表示数轴上数例1：已知x=2，求的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以的值为或2．例2：已知x-1=2，求的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以的值为3或．任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．(1)．(2)．【变式演练】【变式4-1】（23-24七年级上·四川眉山·期中）问题背景数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起—一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则AB之间的距离可表示为．问题探究（1）若，则．（2）若，则．【变式4-2】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为．(1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；(2)利用数轴探究：①的最小值是______；②求的最小值以及此时的值．【变式4-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）我们知道，|a|可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A用数a表示，则①若，那么a的值是_________．②当_________时，有最小值，最小值是_________；③有最小值，最小值是_________；

题型05绝对值在数轴中的应用【典例分析】【例5-1】（23-24七年级上·云南楚雄·期末）若数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系式：①|a|>|b|；②；③；④；⑤．其中正确的有（）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【例5-2】（23-24七年级上·山西临汾·期末）已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则．【例5-3】．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、、，其中，且．(1)则的长为________；(2)若点对应的数是2，点、、所对应的数分别为、、，求的值．【变式演练】【变式5-1】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，数轴上的三个点表示的数分别是，且，则下列结论：；；a+c<0；．其中正确的有（

）A． B． C． D．【变式5-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简．【变式5-3】（22-23七年级上·河南洛阳·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．那么在数轴上表示、两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题：(1)在数轴上，如果表示的是，表示的是2，则两点之间的距离为______．(2)数轴上表示和1两点之间的距离为______．表示和两点之间的距离为______．(3)判断正负，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0．

题型06绝对值的非负性在求值中的应用【典例分析】【例6-1】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果，则的值为（

）A．1 B．3 C． D．【例6-2】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）已知，求的值为．【例6-3】（22-23七年级下·广东河源）已知：，求的值．【变式演练】【变式6-1】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）若，则的值是（

）A．−1 B．1 C．−2023 D．2023【变式6-2】．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）若与互为相反数，求的值为．【变式6-3】（21-22七年级上·广西柳州·期中）若，求的值

题型07绝对值的非负性在化简中的应用【典例分析】【例7-1】（21-22七年级上·安徽安庆·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简2|a+b|+|b﹣a|＝．【例7-2】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题：

(1)求a、b、c的值．(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在AB之间运动时（即时），请化简式子：．【例7-3】（22-23七年级上·四川南充·期中）已知：b最小的正整数且a、b满足，试回答问题．(1)请直接写出a、b、c的值．______，______，______．(2)a、b、c对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）．

【变式演练】【变式7-1】（21-22七年级上·湖北随州·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足．（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：．（写出化简过程）【变式7-2】（23-24七年级上·湖北孝感·期中）已知是最小的正整数，且满足．(1)填空：_________，_________，_________；(2)数在数轴上对应的点分别是，点为数轴上一动点，其对应的数为，点在1到2之间运动时（即），请化简式子：；(3)在（2）的条件下，点在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若在运动过程中的值保持不变，求的值．【变式7-3】（22-23七年级上·全国·单元测试）已知是最大的负整数，且，，满足，试回答问题：(1)请直接写出，，的值；(2)若在数轴上所对应的点为，点为数轴上一动点，其对应的数为，点在原点到点之间运动时（包括原点和点），请化简式子：．

题型08绝对值的非负性在求最值中的应用【典例分析】【例8-1】（23-24七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（）A．19 B．20 C．21 D．22【例8-2】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）当时，|a-1|的值最小，最小值为．【例8-3】（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）式子有没有最小值，如果有，请你求出这个最小值和的值，如果没有，请你说明理由．【变式演练】【变式8-1】（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式8-2】（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）已知，则的最大值为.【变式8-3】（23-24七年级上·广东广州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，并且的立方等于它本身．(1)试求值；(2)若，且，，试求的值．(3)若，则的最小值为．

题型09绝对值在实际问题中的应用【典例分析】【例9-1】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，则最接近标准质量的是（

）A．B．C． D．【例9-2】（23-24七年级上·湖北宜昌·阶段练习）装牛奶的标准质量为克，现抽取袋进行检测，超过标准的质量记为正数，不足的记为负数，结果如下表所示：（单位：克）．其中，质量最标准的是号（填写序号）袋号①②③④⑤质量+3【例9-3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，+10，，+3，，，，(1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？(2)如果汽车耗油量为升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？(3)如果现在汽油的价格是元/升，那么这天下午小李的汽油费用是多少元？【变式演练】【变式9-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）质检员抽查某种零件的质量，超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，检查结果如下：第一个为毫米，第二个为毫米，第三个为毫米，第四个为毫米，则质量最差的零件是（

）A．