专题：有理数的十种运算技巧（原卷版）

有理数的十种运算技巧题型01归类法【典例分析】【例1-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：；【例1-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：．【例1-3】（23-24七年级上·北京朝阳·期末）计算：．【变式演练】【变式1-1】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）（1）计算：；

（2）计算：【变式1-2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）【变式1-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：

题型02凑整法【典例分析】【例2-1】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算：；【例2-2】（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算：【例2-3】（23-24七年级上·广东惠州·期中）计算：．【变式演练】【变式2-1】（23-24七年级上·四川成都·期中）计算：；【变式2-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：．【变式2-3】．（23-24七年级上·北京西城·期中）计算：(1)；(2)；

题型03对消法【典例分析】【例3-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：；【例3-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：．【例3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算：【变式演练】【变式3-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：；【变式3-2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算：；【变式3-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：；

题型04组合法【典例分析】【例4-1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算题：【例4-2】（21-22七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算：；【例4-3】（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算：；【变式演练】【变式4-1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算：；【变式4-2】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题．【变式4-3】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：．

题型05分解法【典例分析】【例5-1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算：．【例5-2】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：．【例5-3】（23-24七年级上·山西朔州·期中）阅读下题中的计算方法，解决问题．(1)解：原式上面这种方法叫拆项法．仿照上面的拆项法可将拆为_________，拆为_________．(2)类比上述计算方法计算：．【变式演练】【变式5-1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）求的值．【变式5-2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算：；【变式5-3】（2023七年级上·全国·专题练习）计算：

题型06变序法【典例分析】【例6-1】（24-25七年级上·河北石家庄·开学考试）计算：【例6-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：；【例6-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算．【变式演练】【变式6-1】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）计算：．【变式6-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：；【变式6-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各式：；

题型07逆用法【典例分析】【例7-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：；【例7-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：；【例7-3】（24-25七年级上·河北石家庄·开学考试）计算：【变式演练】【变式7-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：．【变式7-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：．【变式7-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：．

题型08观察法【典例分析】【例8-1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）计算：【例8-2】（23-24七年级上·山西晋中·期中）计算：．【例8-3】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）【变式演练】【变式8-1】（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：．【变式8-2】（23-24七年级·安徽宿州·阶段练习）计算：．【变式8-3】（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算

题型09倒序相加法【典例分析】【例9-1】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：解：设，①则．②①②，得．（①②两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和）所以，．③所以．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”请你运用上述方法计算：一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车票．【例9-2】（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）计算：【例9-3】（20-21六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：解：设S＝1+2+3+…+100，①则S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右两边分别相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝．所以，1+2+3+…+100＝5050．后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：(1)计算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝；(3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．【变式演练】【变式9-1】（22-23七年级上·广西南宁·期中）【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：计算：_________；【变式9-2】（七年级上·河北保定·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设S＝1+2+3+…+100

①则S＝100+99+98+…+1

②①+②，得（即左右两边分别相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），＝，＝100×101，所以，S＝③，所以，1+2+3+…+100＝5050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题．（1）计算：1+2+3+…+101；（2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝；（3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000．方法1：方法2：【变式9-3】（20-21七年级上·河北衡水·期中）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程解：设，①则，②①+②，得．（两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和）∴，③∴．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：；（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想________（用含的代数式表示）；（3）计算：．

题型10倒数法【典例分析】【例10-1】（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用简便方法计算：．【例10-2】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算：．【例10-3】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算刘聪和他的小伙伴选择常规解法：张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：所以，原式(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？(2)请选择你喜欢的解法计算：【变式演练】【变式10-1】（23-24七年