压轴训练：第二章 几何图形的初步认识（解析版）

第二章几何图形的初步认识压轴训练压轴题型一线段上动点定值问题例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)(2)不变，还是，理由见解析【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得；（2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解．【详解】（1）解∶，，，点是的中点，点是的中点，，；（2）线段的长度不发生变化．点是的中点，点是的中点，，．【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键．巩固训练1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．

(1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，图及理由见解析【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点，∴，∴∴线段的长为．（2）解∶∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如图:

∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键．2．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若，求的长；(2)若为的中点，则与的数量关系是______；(3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变．【答案】(1)(2)(3)说明见解析【分析】（1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解；（2）根据线段中点的概念求解即可；（3）根据线段中点的概念求解即可．【详解】（1）因为，所以．因为点是的中点．所以，因为点是的中点．所以，所以；（2）∵为的中点，∴∵点是的中点∴；（3）因为点是的中点．所以因为点是的中点．所以，所以，所以，的长不变．【点睛】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若点恰好是中点，则____________；(2)若，求的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变．【答案】(1)6(2)(3)见解析【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，结合图形即可求解；（2）根据（1）的方法即可求解；（3）根据（1）的方法进行求解即可．【详解】（1）解：，点为的中点，．点、分别是和的中点，，．故答案为：6；（2）解：，，．点、分别是和的中点，，，；（3）解：设，则，点、分别是和的中点，∴，，不论取何值（不超过），的长不变；【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键．压轴题型二线段上动点求时间问题例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s

(1)当P、Q两点重合时，求t的值；(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)满足条件的值为4或7或【分析】（1）根据相遇时间=路程和速度和，列出方程计算即可求解；（2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案；【详解】（1）由题意可得：，，∴当P、Q重合时，，解得：；（2）由题意可得：，∴①当点C是线段的中点时，，解得：；②当点P是线段的中点时，，解得：③当点Q是线段的中点时，，解得：；综上所述，满足条件的值为4或7或．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防遗漏巩固训练1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过秒时线段的长为6厘米．【答案】3或9或1【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可．【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时，（秒）；（2）点P、Q都向左运动时，（秒）；（3）点P向左运动，点Q向右运动时，（秒）；（4）点P向右运动，点Q向左运动时，（秒）．∴经过3或9或1秒时线段的长为6厘米．故答案为：3或9或1．【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．2．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）．(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；(3)当时，求t的值．【答案】(1)6，4(2)3(3)当时，t的值为4或6【分析】（1）根据路程速度时间进行求解即可；（2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可；（3）先求出，再由，得到，然后分点P在点B左侧和右侧两种情况，利用线段的和差关系求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，，∴点P表示的数为，故答案为：6，4；（2）解：∵点P为的中点，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8，∴点P对应的有理数为，故答案为：3；（3）解：∵，∴当时，则，①当点P在点B左边时，∵，∴，∴；②当点P在点B右边时，∵，∴，∴；综上所述，当时，t的值为4或6．【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键．3．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)线段的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(4)【分析】（1）根据即可求解；（2）依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解；（3）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解；（4）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵点在线段上，，，∴，故答案为：．（2）解：依题意，，当点与点相遇时，解得：；（3）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：，相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：，综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度；（4）∵，当在线段上时，，此时，∵，∴，解得：（舍去）当在线段上时，，此时，∵，∴，解得：，∴【点睛】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．4．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒（）．(1)当时，①；②求线段的长度；(2)用含的代数式表示运动过程中的长；(3)当时，求的值；(4)在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)①；②(2)当时，；当时，(3)或(4)不变，【分析】（1）①根据即可得出结论；②先求出的长，再根据是线段的中点即可得出的长；（2）分两种情况进行讨论即可；（3）根据时间＝路程÷速度计算即可；（4）根据中点定义即可得出结论．【详解】（1）解：①∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动，∴当时，．故答案为：；②∵，，∴，∵是线段的中点，∴．∴线段的长度为．（2）∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动，当点从点出发到点时，，∴当点沿点运动时，这时：，；当点沿点运动时，这时：，；（3）当点沿点运动时，（），∴，又∵，∴，解得：，当点沿点运动时，（），∴，又∵，∴，解得：，综上所述，当时，求的值为或；（4）不变．∵的中点为，是线段的中点，，∴，，∴，即：的长为．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和与差，中点的定义，一元一次方程的应用，本题运用了分类讨论的方法．利用线段中点的定义及线段的和差得出相应的等量关系是解题关键．压轴题型三几何图形中动角定值问题例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，(1)求的度数.(2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由.(3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.【答案】(1)(2)发生变化，理由见解析(3)不变，【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解；（2）根据，则转动时同样在动，同理也在动；（3）根据（1）的结论即可求解．【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，∴，∴（2）解：∵，∴转动时同样在动，同理同样转动；（3）不变同样35°；解：当射线在的内部线绕点转动时，∵是的平分线，是的平分线，，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键．巩固训练1．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，平分，平分.（1）如图，当、重合时，求的值；（2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.【答案】（1）35°；（2）是定值，35°【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解；（2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可得．【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2，由题意∠BOC=3t°，则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，∴∠AOE-∠BOF的值是定值．【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．2．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，．(1)如图1，若，则______°，______°，______°；(2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)、、；(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据给出的关系，依次求出、、、等度数，进而求得结果；（2）根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果．【详解】（1）解：∵和互补，，∴，∴，∵，分别平分和，∴，，∴，，故答案为：、、；（2）是定值，理由如下：∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系．3．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：(1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度；(2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数；②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数；(3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②(3)的值不会发生变化，，理由见解析【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可；（2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；（3）分别用表示出．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，∴，故答案为：；（2）解：①由题意得，，∵为的角平分线，∴，∴；②由题意得，，∵为的角平分线，∴，∴；（3）解：的值不会发生变化，，理由如下：由题意得，，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键．压轴题型四几何图形中动角数量关系问题例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．

(1)如图1，当平分时，求的度数；(2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．【答案】(1)(2)不改变，，理由见解析【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到；（2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵．∴，∴，∴；（2）①在内部时．令，则，，∴，∴；②的两边在射线的两侧时．令，则，，，∴，∴．综上可得，和的数量关系不改变，【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．巩固训练1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．(1)如图1，若是的平分线，求的度数；(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案；（2）设，则，再利用，然后整理可得结论．【详解】（1）∵是的平分线，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2），设，则，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．(1)如图，当，重合时，求的度数；(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？【答案】(1)(2)为定值，理由见解析(3)当时，；当时，；当时，【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；(2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案；(3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解．【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分，、，；（2）解：的值为定值，理由如下：如图：从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度，，点C、D在直线的右侧，射线平分，射线平分，，，，的值为定值；（3）解：当时，如图2：由(2)知，；当时，如图3所示，，，射线平分，射线平分，，，；当时，如图4所示，，，射线平分，射线平分，，，；综上，与具有的数量关系为：当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．压轴题型五几何图形中动角求运动时间问题例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．

(1)运动开始前，如图1，______，______；(2)旋转过程中，当为何值时，射线平分?(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)39，51(2)(3)存在，符合条件的的值为12s或33s【分析】（1）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义直接计算即可；（2）根据列方程求解即可；（3）分情况根据列方程求解即可．【详解】（1）解：，，三点在一条直线上，，，，，分别平分和，，，故答案为：39，51；（2）解：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，，射线平分，，，，；（3）解：存在某一时刻使得，分以下几种情况：情况一：若在上方，此时，即，解得；情况二：若在下方，此时，即，解得（不符合题意，舍去）；情况三：当停止运动时，继续旋转时，当旋转264°时，有，此时．综上所述，符合条件的的值为12s或33s．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由．【答案】(1)；平分，理由见解析(2)的值为或【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分；（2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可．【详解】（1）解：旋转前,当平分时，，则,解得：，结论：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

则，∴，∴，当停止时,平分,则有,

∴,综上所述，满足条件的的值为或．【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得；（3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，