计算专训：有理数、代数式中的规律计算题

有理数、代数式中的规律计算题1．观察下列等式，，，，，……(1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立；(2)根据上述规律计算：①；②．2．（1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____；（2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立；（3）拓展应用：计算．3．探究发现：(1)填空：①______，______；②______，______；(2)根据上面的计算，你肯定能发现其中的规律，请利用你的发现来计算：．4．新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律：，，，，(1)直接写出新定义运算律：______；(2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由；(3)先化简，再求值：，其中5．观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：_____；(2)求的值；6．观察下列各式：；；；；；(1)探索式子的规律，试写出第个等式；(2)运用上面的规律，计算；(3)计算：．7．（1）填空：；；；（2）探寻（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；（3）计算．8．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④______；⑤；…(2)请写出第个等式：______；(3)利用（2）中的等式，计算：．9．阅读理解题：【材料一】我们知道，根据乘方的意义：，，．（1）计算：①______；②______．（2）通过以上计算发现规律，得到______．【材料二】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作，那么有：；；；…观察上面式子的规律，完成下面各题．（3）猜想出______（用n表示）．（4）依规律，直接求出的值为______．（5）根据材料一，材料二的规律，可得的值为______．10．请你观察：，，；…；；以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比完成：(1)猜想并写出：______；(2)规律应用：计算：；(3)拓展提高：计算：．

参考答案1．观察下列等式，，，，，……(1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立；(2)根据上述规律计算：①；②．【答案】(1)，理由见解析(2)①；②3【分析】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键．（1）利用已知等式找出规律可得，将变形为即可证明；（2）①结合（1）中结论，利用裂项相消法求解；②结合（1）中结论，利用裂项相消法求解．【详解】（1）解：根据已知等式可得第n个等式为：，理由如下：；（2）解：①；②．2．（1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____；（2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立；（3）拓展应用：计算．【答案】（1）0，1，2；（2），证明见解析；（3）．【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）计算出各个式子的值即可；（2）根据（1）中式子的特点，可以写出第个等式，然后再计算，即可说明第个等式成立；（3）先设，则，然后错位相减，即可得到所求式子的值．【详解】解：（1），，，，故答案为：0，1，2；（2）第个等式是，理由：，第个等式是；（3）设，则，，即．3．探究发现：(1)填空：①______，______；②______，______；(2)根据上面的计算，你肯定能发现其中的规律，请利用你的发现来计算：．【答案】(1)①；；②；(2)【分析】（1）根据有理数的乘方计算法则和有理数的加法计算法则求解即可‘（2）根据（1）计算的结果可得规律，据此先求出的结果，再由进行求解即可．【详解】（1）解：①，，故答案为：；；②，，故答案为：；；（2）解：由（1）可得，，又，∴以此类推可知，∴，∴．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，数字类的规律探索，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键．4．新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律：，，，，(1)直接写出新定义运算律：______；(2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由；(3)先化简，再求值：，其中【答案】(1)(2)新运算“”不满足交换律，见解析(3)，【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，理解定义的新运算是解题的关键．（1）从数字找规律进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答；（3）按照定义的新运算先进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【详解】（1）解：新定义运算律：，故答案为：；（2）解：新运算“”不满足交换律，理由：∵，，∴；（3）解：，当时，原式．5．观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：_____；(2)求的值；【答案】(1)；(2)．【分析】（1）本题考查对题干运算规律的理解，根据题意得出，利用其规律表示出即可解题．（2）本题考查对题干运算规律的理解，根据（1）中规律，将、、、、，代入式子中计算，即可解题．【详解】（1）解：由题可知，，，故答案为：．（2）解：由（1）中规律可知，．6．观察下列各式：；；；；；(1)探索式子的规律，试写出第个等式；(2)运用上面的规律，计算；(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）根据式子的规律，可得；（）利用（）的结论递推，得出答案即可；（）把式子乘递推得出答案即可；本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键．【详解】（1）解：∵；；；；，∴第个等式为；（2）解：，，；（3）解：，，．7．（1）填空：；；；（2）探寻（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；（3）计算．【答案】（1），，；（2），验证见解析；（3）【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字类规律探索，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）各式计算即可得出结果；（2）归纳总结得到一般性规律，验证即可；（3）利用一般性规律将原式变形后，计算即可得出答案．【详解】解：（1），，，故答案为：，，；（2），验证：左边右边，；（3），．8．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④______；⑤；…(2)请写出第个等式：______；(3)利用（2）中的等式，计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了规律型—图形的变化类；（1）由图可知，第4个等式为从1开始连续4个奇数的和等于4的平方；（2）由图得出规律，第n个等式为从1开始连续n个奇数的和等于奇数个数的平方，由此可得答案；（3）首先将原式改写成，然后利用规律计算即可．【详解】（1）解：由题意知，第4个等式为，故答案为：；（2）第个等式为：，故答案为：；（3）．9．阅读理解题：【材料一】我们知道，根据乘方的意义：，，．（1）计算：①______；②______．（2）通过以上计算发现规律，得到______．【材料二】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作，那么有：；；；…观察上面式子的规律，完成下面各题．（3）猜想出______（用n表示）．（4）依规律，直接求出的值为______．（5）根据材料一，材料二的规律，可得的值为______．【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】本题主要考查了数字类的规律探索：（1）①根据乘方的意义可知；②仿照题意进行求解即可；（2）根据题意可得；（3）观察可知；（4）根据（3）的规律代值计算即可；（5）根据题意把所求式子变形为，进一步得到，据此计算即可．【详解】解：（1）①，故答案为：；②，故答案为：；（2），故答案为：；（3）；；；……，以此类推．，故答案为：；（4）；（5）．10．请你观察：，，；…；；以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比完成：(1)猜想并写出：______；(2)规律应