专题训练：等腰三角形的分类讨论（解析版）

等腰三角形的分类讨论题型01遇边或角需讨论【典例分析】【例1-1】（23-24七年级下·重庆万州·期末）一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（

）A．20 B．25 C．20或25 D．不确定【答案】B【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，理解三角形三边关系，等腰三角形的定义是解题的关键．根据题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以分两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．【详解】解：①当10为腰长时，三角形的三边长为：10、10、5，满足三角形的三边关系，其周长为10＋10＋5＝25；②当5为腰长时，三角形的三边长为：5、5、10，此时，不满足三角形的三边关系，不合题意．综上所述，该等腰三角形的周长为25．故选：B【例1-2】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为．【答案】8或5【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【详解】解：当腰为5时，另一腰也为5，则底为，∵，符合题意，当底为5时，腰为，符合题意，∴该三角形的底边长为8或5．故答案为：8或5【例1-3】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是．(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．【答案】(1)(2)与，或与【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．（1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可；（2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可；【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为，由题意得：，解得：∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，，即各边长分别是；（2）当腰为时，底边长为：，∴其余两边分别为，此时能构成三角形；当底为时，腰长为：，∴其余两边分别为，此时能构成三角形；综上所述：其余两边分别为与，或与【变式演练】【变式1-1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）若等腰三角形的一边长，周长为，则该等腰三角形的腰长为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本题主要查了等腰三角形的定义．分两种情况：若等腰三角形的腰长为，若等腰三角形的底边长为，即可求解．【详解】解：若等腰三角形的腰长为，则底边长为，此时，符合题意；若等腰三角形的底边长为，则腰长为，此时，符合题意；∴该等腰三角形的腰长为或．故选：D．【变式1-2】（23-24八年级上·广东珠海·期中）已知等腰三角形周长为，一边为，则另外两边长为．【答案】，【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分3cm是腰长与底边长两种情况进行讨论，然后根据三角形三边关系判断求解即可，解题的关键在于要分情况并利用三角形三边关系判定是否能组成三角形．【详解】解：如果腰长为，则底边长为．三边长为，，，∵，不符合三角形三边关系定理，这样的三边不能围成三角形，∴如果底边长为．所以腰长为，三边长为，，，符合三角形三边关系定理，∴另外两边长为，．故答案为：，．【变式1-3】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，．点在边上运动（不与重合），连接作，交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数．

【答案】的度数为或【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论，①如图所示，；②如图所示，；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解，解题的关键是等腰三角形的判定和性质．【详解】解：∵，∴，则，①如图所示，，即是等腰三角形，

∵，∴，∴；②如图所示，，即是等腰三角形，

∴，∴；③∵不与重合，，∴以的等腰三角形不存在；综上所述，的度数为或题型02遇中线、高或垂直平分线需讨论【典例分析】【例2-1】（22-23八年级上·山西吕梁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵，，，是等腰三角形，∴三角形的底角为；②当为钝角三角形时，如图2，∵，，，是等腰三角形，∴三角形的底角为；∴三角形的底角为或；故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形的外角，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．【例2-2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为32°，则该等腰三角形的底角的度数为．【答案】或【分析】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用分类讨论的思想是解答此题的关键．分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．【详解】

解：①若是锐角三角形，在中，设，于D，∴，，∴，底角为；②若是钝角三角形，在中，设，于D，，，则，∴底角为所以等腰三角形底角的度数是或．故答案为：或．【例2-3】（23-24八年级上·河南新乡·期末）在等腰三角形中，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为．【答案】或【分析】分类讨论，当点在线段上，当点在线段的反向延长线时，根据等腰三角形的性质，内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，∵，∴，设，则，∵是的垂直平分线，∴，∴，则，∵是的外角，且，∴，即，解得，，∴；如图所示，∵是的垂直平分线，∴，∴是等腰三角形，且，∴，∵，∴，∵，∴．综上所述，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质，理解等腰三角形的性质，掌握内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质是解题的关键【变式演练】【变式2-1】（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成12，9两部分，则等腰三角形的腰长为．【答案】6或8【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为12和9两部分，列方程解得即可．【详解】解：设腰长为x，底边长为y，则或，解得：或，经检验，都符合三角形的三边关系．因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8．故答案为：6或8【变式2-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为．【答案】或或【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据角度之间的关系进行求解即可．【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段上，∵点D在线段的垂直平分线上，∴，∴，∵，∴；如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段的延长线上，∵点D在线段的垂直平分线上，∴，∴，∵，∴；如图所示，当是钝角三角形时，点D在线段的延长线上，∵点D在线段的垂直平分线上，∴，∴，∴；综上所述，的度数为或或．故答案为；或或．【变式2-3】（22-23八年级上·湖北荆门·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数．【答案】（1）腰长为10，底边长为4；（2）这个等腰三角形的底角的度数是或【分析】（1）设，则，分两种情况：①当，时，②当，时，分别列方程求出x得到腰长，即可求出底边；（2）分①若是锐角三角形，②若三角形是钝角三角形两种情况求解【详解】解：（1）设，则，①当，时，则，∴，∴，，∴这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；②当，时，则，∴，∴，，∵，∴此时不成立．

综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；（2）在中，设于D．①若是锐角三角形，，∴底角；

②若三角形是钝角三角形，，∴底角

综上，这个等腰三角形的底角的度数是或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角求角度，三角形外角的性质，在解题时要注意找出等量关系是解题的关键题型03遇动态问题需讨论【典例分析】【例3-1】（21-22八年级上·安徽滁州·阶段练习）点是坐标平面上两定点，C是的图像上的动点，则满足上述条件的等腰可以画出（）个．A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】分三种情况进行讨论：①当时；②当时；③当时．分别画出点C的位置．【详解】解：如图所示，①当时，满足条件的点为：；②当时，满足条件的点为：；③当时，满足条件的点为：；综上所述，满足条件的等腰三角形可以画出5个；故选D．【点睛】此题考查等腰三角形的概念及画法，在点C不确定的情况下的分类讨论的思想方法是解答此题的关键【例3-2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，直线a，b交于点O，，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则．

【答案】或【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，分点B位于下方和上方两种情况分别求解即可，注意分情况讨论是解题的关键．【详解】解：分两种情况，当点B位于下方时，如图：

，，又，；当点B位于上方时，如图：

是等腰三角形，，是等边三角形，，故答案为：或．【例3-3】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，°．【答案】或或【分析】分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，

①当时，∴∴．②当时，；③当时，；综上所述，的度数为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键【变式演练】【变式3-1】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则．

【答案】或或【分析】根据题意，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：如图，要使为等腰三角形需分三种情况讨论：

①当时，；②当时，；③当时，；综上，的度数是或或．故答案为：40或70或100．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，分类讨论是解题的关键【变式3-2】（21-22八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度数是．【答案】50°或65°或80°或25°【分析】根据△OAB为等腰三角形，分四种情况讨论：①以为顶点时的等腰△OA，②以A为顶点时的等腰△OA，③以O为顶点时的等腰△OA，④以O为顶点时的等腰△OA，分别求得符合的点B，即可得解．【详解】解：要使△OAB为等腰三角形分四种情况讨论：①以为顶点时的等腰△OA，当时，∠OAB=∠1=50°；②以A为顶点时的等腰△OA，当时，∠OAB=180°-2×50°=80°；③以O为顶点时的等腰△OA，当时，∠OAB=∠OBA=(180°-50°)=65°；④以O为顶点时的等腰△OA，当时，∠OAB=∠OBA=∠1=25°；综上所述，∠OAB的度数是50°或65°或80°或25°，故答案为：50°或65°或80°或25°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键【变式3-3】（21-22八年级下·山东青岛·期中）如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=°．【答案】40或70或100【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【详解】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：

①当OB1=AB1时，∠OAB=∠α=40°；②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×40°=100°；③当OA=OB3时，∠OAB=∠OBA=（180°-40°）=70°；故答案为：40或70或100．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键题型04构造等腰三角形时需讨论【典例分析】【例4-1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如果等腰三角形的各边长是整数，周长为9，那么这样的等腰三角形有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长是整数进行分析．【详解】解：等腰三角形周长为9，且各边长为整数，等腰三角形的边长只能为：1，4，4；或3，3，3；共两个．故选：B．【例4-2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）已知的边，周长为16，当为等腰三角形时，则边的长度是．【答案】6或4或5【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题的关键．分为腰和底两种情况，分别根据等腰三角形的定义即可解答．【详解】解：当为腰时，若为腰，则；若为底，则；当为底时，则，综上，的长度是：6或4或5．故答案为：6或4或5【例4-3】（20-21八年级上·浙江衢州·期末）（1）已知△ABC中，∠A=20°，∠B＝40°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠A是其最小的内角，过顶点C的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ACB与∠A之间的关系.【答案】（1）图形见详解；（2）与之间的关系是：或或或，为小于45°的任意锐角．【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况及角度，然后画上；（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．【详解】（1）如图共有2种不同的分割法．图1中，为等腰三角形底角；图2中，为等腰三角形顶角；（2）设，，则：，过点C的直线交边AB于点D.在中，①若是顶角，如图，则，，∴只能，即：，可得：，化解得：，②若是底角，第一种情况：在中，，则，，在中，若，则，即：，化简得：，即：；若，则，即：，化简得：，即：，为小于45°的任意锐角；若，则，即：，化简得：，即：；第二种情况：在中，时，，，∴，∵为的一个外角，∴，这与题设是最小角矛盾，不符合题意（舍去），∴当是底角时，不成立．综上所述，与之间的关系是：或或或，为小于45°的任意锐角．【点睛】题目主要考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求；第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三