江苏省南京市玄武区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

2023~2024学年第一学期期中学业质量调研八年级数学注意事项：1．本试卷共6页，全卷满分100分，考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B、选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C、选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D、选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．2.估计的值在（）A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间【答案】B【解析】【分析】本题考查了无理数的估算，用夹逼法估算即可解答．【详解】解：∵，∴，∴的值在3到4之间，故选：B．3.下列各组数中，能够组成直角三角形的是（）A.3，4，5 B.4，5，6 C.5，6，7 D.6，7，8【答案】A【解析】【详解】解：A、∵32+42=9+16=25；52=25，∴32+42=52，则此选项线段长能组成直角三角形；B、∵42+52=16+25=41；62=36，∴42+52≠62，则此选项线段长不能组成直角三角形；C、∵52+62=25+36=61；72=49，∴52+62≠72，则此选项线段长不能组成直角三角形；D、∵62+72=36+49=85；82=64，∴62+72≠82，则此选项线段长不能组成直角三角形故选：A．4.如图，在中，，垂直平分．若，，则的周长是（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵垂直平分，∴，∵，∴的周长，故选：B．5.到三角形三个顶点距离相等的点是（）A.三边高线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条内角平分线的交点【答案】B【解析】【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质到线段两端的距离相等，即可求解．【详解】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，故选：B6.如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（）A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS【答案】A【解析】【分析】易知：，，因此符合的条件．【详解】解：连接，，由作图知：在和中，，∴（），

故选：A．【点睛】本题考查的是作图−基本作图，要清楚作图时作出的线段与、与是相等的．熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．7.如图，在中，点E在延长线上，已知，，，，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的性质等知识，由，得，则，所以，因为，所以，于是得到问题的答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，故选：C．8.如图，在中，分别以为边作等边三角形ABD与等边三角形，连接与交于点F，连接．有以下四个结论：①；②FA平分；③；④．其中结论一定正确的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质利用证明可得出①正确；作于P，于Q，证明，得出，证出平分，得②正确；在上截取，连接，证明，则，可得，是等边三角形，即可得，得④正确；由，可得，得③不正确；进而可得出结论．【详解】解：①∵三角形ABD与等边三角形ACE是等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，①正确；②作于P，于Q，如图所示：∵，∴，∴，∵，，∴点A在的平分线上，∴FA平分，②正确；④如图，在DF上截取，连接AO，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，④正确；③∵，，∴，即，③不正确；综上所述：正确的结论是①②④，共3个，故选：C．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.______，______．【答案】①.2②.【解析】【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，故答案为：2，．10.直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为_________．【答案】5或4##4或5【解析】【分析】根据两种情况：6和8都为直角边；8为斜边，6为直角边，得到斜边长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答．【详解】解：当6和8都为直角三角形的直角边时，根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为，斜边上的中线长为；当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时，斜边上的中线长为，综上所述，斜边中线长为5或4，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据情况能够正确地分类讨论是解题地关键．11.已知，若则的周长为_______．【答案】18【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【详解】解：∵，∴∴的周长为，故答案为：18．12.如图，平分，请添加一个条件，使得，这个条件可以是______．（写出一个即可）【答案】（或或)【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法“”即可解答．【详解】解：∵平分，∴，①，∵，，，∴；②，∵，，，∴，③，∵，，，∴，综上：这个条件可以是，，；故答案为：（或或）．13.如图，在中，，，．以AC为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了勾股定理，根据“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可解答．【详解】解：∵，，，∴，∴正方形的面积，故答案为：5．14.如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上的点E处，则线段的长为______．【答案】3【解析】【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求出的长并且证明是解题的关键．

由勾股定理得，由折叠得，，则，所以，求得，于是得到问题的答案．【详解】解：，，，，，解得，故答案为：3．15.如图，在中，点D、E分别在边上，若，，，则的度数为______°．【答案】72【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用等腰三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而可得，进行计算即可解答．【详解】解：设，∵，∴，∵是的一个外角，∴，∵，∴，∴，∵是的一个外角，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案为：72．16.如图，O为内角平分线交点，过点O的直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G，根据三线合一得出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据结合角平分线到两边距离相等，即可求解．【详解】解：过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G，∵，，∴,根据勾股定理可得：,∴,∵O为内角平分线交点，∴,设，∵,∴，即，解得：，∴,故答案为：17.在中，，，，在边上有一点P，且是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______．【答案】4【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，进行分类讨论，画出符合实际条件的图形即可．【详解】解：当时，点P在上；当时，点P在上或点P在上；当时，点P在上；综上：满足条件的点P的个数为4，故答案为：4．18.如图，中，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是______．

【答案】【解析】【分析】本题考查了轴对称-路径最短问题，勾股定理，如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题【详解】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，∵，∴，∴M、C、N共线，∵，∵，∴当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，∵，∴，∵，，∴∴，∴的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的意义．利用二次根式的运算性质，立方根的意义解答即可．【详解】解：=．20.求下列各式中x：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了根据平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．（1）先将常数项移到等号右边，再根据平方根的定义，即可解答；（3）根据立方根的定义，两边同时开立方，即可解答．【小问1详解】解：，，；【小问2详解】解：，，．21.如图，，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查三角形全等判定和性质．根据判定，然后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】证明：在和中，，，．22.如图，在中，于点，，，．（1）求的长；（2）求的面积；（3）判断的形状．【答案】（1）（2）（3）直角三角形【解析】【分析】（1）根据垂直的定义及勾股定理即可解答；（2）根据垂直的定义及勾股定理可知，再根据三角形的面积公式即可解答；（3）根据垂直的定义及勾股定理可知，再根据勾股定理的逆定理即可解答．【小问1详解】解：∵，∴，∵在中，，，∴，∴的长为；【小问2详解】解：∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，，∴，即面积为；【小问3详解】解：是直角三角形，理由如下：∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∵，，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题考查了垂直的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．23.证明：角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图，平分，点P是任意上一点，，，E、F为垂足．求证：______．证明：【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了角平分线性质的判定，全等三角形的判定和性质，根据证明，即可解答．【详解】已知：如图，平分，点P是任意上一点，，，E、F为垂足．求证：．证明：∵平分，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．24.如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．（1）求证：；（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键．（1）先证和全等得，然后根据可得出结论；（2）由（1）可知，则，，，进而得四边形的面积正方形的面积，即，而，，，据此勾股定理得以证明．【小问1详解】证明：如图所示：，，，，，，，在和中，，，，又，．【小问2详解】证明：由（1）可知：，，，，四边形的面积正方形的面积，，即，，，，即，整理得：．25.过点P用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线l，交两边于B、C，使得为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，尺规作图；方法一：作的角平分线，过点P作的垂线，交两边于B、C，即为所求；取上任意点E，作；取上任意点G，连接并延长至H；作，交两边于B、C，即为所求．【详解】解：方法一：作的角平分线，过点P作的垂线，交两边于B、C，即为所求；∵平分，，∴，则为等腰三角形；方法二：取上任意点E，作；取上任意点G，连接并延长至H；作，交两边于B、C，即为所求；∵，∴，∴，∴，则为等腰三角形．26.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型理解】（1）如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．【问题研究】（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形．请证明小明的作法是正确的．【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上．（3）请你简述作法，并在