第八章第五节空间向量的运算及其坐标表示

第五节空间向量的运算及其坐标表示课程标准1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义.3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示.考情分析考点考法:常以空间向量的表示为载体,考查空间向量投影、线性运算、数量积的运算.空间向量数量积的运算是高考热点,在选择题或填空题中体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.空间向量有关概念(1)单位向量:模为1的向量.(2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.(3)共面向量:平行于同一个平面的向量.【微点拨】(1)零向量与任意向量平行;(2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量.2.空间向量有关定理(1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,3.空间向量有关运算设a=a1,a2,a3,b=(b1(1)坐标运算:则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);ab=(a1b1,a2b2,a3b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.(2)数量积运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos<a,b>.【微点拨】向量a在向量b方向上的投影向量:acos<a,b>·bb=a·b4.空间向量有关公式(1)空间两点间距离公式已知P1x1,y1,z1,P2(2)空间两点的中点公式设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则x=(3)空间向量共线与垂直公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(4)空间向量模与夹角公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则|a|=a·a=cosa,b=a·b|a||【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.若A,B,C,D是空间任意四点,则AB+BC+CD+DA=0B.|a||b|=|a+b|是a,b共线的充要条件C.空间中任意两非零向量a,b共面D.对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角【解析】选AC.A中由向量的运算可知正确;B中若|a||b|=|a+b|,则两向量反向共线,若两向量同向共线时不成立,错误;C正确;D中若a·b<0,则a与b可能反向,夹角等于180°.2.(选择性必修一P6T5·变形式)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是(A.12a+12b+c B.12a+1C.12a12b+c D.12a1【解析】选A.BM=BB1+B1M=AA1+12(ADAB)=c+12(ba)=3.(选择性必修一P5例1·变形式)若a与b不共线,且m=a+b,n=ab,p=a,则()A.m,n,p共线 B.m与p共线C.n与p共线 D.m,n,p共面【解析】选D.因为(a+b)+(ab)=2a,即m+n=2p,即p=12m+12n,又m与n不共线,所以m,n,p4.(忘记开方导致错误)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为______.

【解析】|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC·CD+EC·DF+=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,所以|EF|=2,所以EF的长为2.答案:2【巧记结论·速算】1.对空间任意一点O,若三点P,A,B满足PA=λPB⇔OP=xOA+yOB(x+y=1)⇔P,A,B三点共线.2.证明空间四点共面的方法对空间任意一点O,若四点P,M,A,B满足MP=mMA+nMB⇔OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)⇔P,M,A,B四点共面.【即时练】O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且OP=34OA+18OB+tOC,若P,A,B,C四点共面,则实数【解析】因为P,A,B,C四点共面,所以34+18+t=1,所以t=答案:1【核心考点·分类突破】考点一空间向量的线性运算[例1](1)(2023·武汉模拟)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,且MN=13OM,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列向量与AN相等的向量是(A.a+13b+13c B.a+13bC.a+16b+16c D.a+16b【解析】选A.因为M是四面体OABC的棱BC的中点,MN=13OM,所以AN=ONOA=23OMOA=23×12(=13OB+13OCOA=a+13(2)在三棱柱A1B1C1ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,则A1DA.12a+12b+B.12a12b+C.12a+12bD.12a+12b+【解析】选D.A1D=A1A=AA1+AB+12(B=AA1+AB+12AA1=12AA1+12AB+12AC=1【解题技法】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【对点训练】如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c(1)AP;(2)A1(3)MP+NC【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以AP=AA1+A1D1+D1=a+c+12AB=a+c+1(2)因为N是BC的中点,所以A1N=A1A+AB+BN=a=a+b+12AD=a+b+1(3)因为M是AA1的中点,所以MP=MA+AP=12A=12a+a+c+12b=1又NC1=NC+CC1=12BC=12c+a所以MP+NC1=1=32a+12b+3考点二共线、共面向量的应用[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是()A.2,12 B.13C.3,2 D.2,2【解析】选A.因为a∥b,所以设b=xa,所以x(λ+1)=62(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面上__________的点.

【解析】因为点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以点A,M,N,P四点共面,又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,则MN∥AB1,所以△AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故P点可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上的点.答案:线段AB1(线段B1C或线段AC)上(答案不唯一)(3)如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k①向量MN是否与向量AB,AA1②直线MN是否与平面ABB1A1平行?【解析】①因为AM=kAC1,BN=k所以MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+=k(C1A+BC)+AB=k(C1A=kB1A+AB=ABkAB1=ABk(=(1k)ABkAA所以由共面向量定理知向量MN与向量AB,AA1②当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内.当0<k≤1时,MN不在平面ABB1A1内,又由①知MN与AB,AA1所以MN∥平面ABB1A1.【解题技法】1.共线、共面向量定理的应用(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线;(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行,四点共面;(3)根据向量共线和向量共面求参数取值;(4)与a同向的单位向量为aa,反向的单位向量为aa,共线的单位向量为±2.证明四点P,M,A,B共面的方法(1)MP=xMA+yMB;(2)对空间任意一点O,OP=OM+xMA+yMB;(3)对空间任意一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.【对点训练】1.已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若BD=6PA4PB+λPC,则λ等于()A.2 B.2 C.1 D.1【解析】选B.BD=6PA4PB+λPC,即PDPB=6PA4PB+λPC,整理得PD=6PA3PB+λPC,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得63+λ=1,解得λ=2.2.在空间直角坐标系中,A(1,1,2),B(1,2,3),C(1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.xy+z=4 D.x+yz=0【解析】选A.因为A(1,1,2),B(1,2,3),C(1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),所以AB=(0,1,1),AC=(2,2,2),AD=(x1,y1,z+2).因为A,B,C,D四点共面,所以存在实数λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x1,y1,z+2)=λ(0,1,1)+μ(2,2,2),所以x-1=-2μy-1=λ+2考点三空间向量的数量积及应用[例3](1)在正三棱锥PABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,则PO·PA等于 ()A.59 B.63 C.423 【解析】选D.因为PABC为正三棱锥,O为△ABC的中心,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以PO·OA=0,|AO|=23·|AB|·sin60°=2故PO·PA=PO·(PO+OA)=|PO|2=|AP|2|AO|2=443=8(2)已知A(1,2,1),B(1,5,4),C(1,3,4).①求<AB,BC>;②求AC在AB上的投影向量.【解析】(2)①因为A(1,2,1),B(1,5,4),C(1,3,4),所以AB=(0,3,3),BC=(2,2,0).因为AB·BC=0×2+3×(2)+3×0=6,|AB|=32,|BC|=22,所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||BC|=-632×2②因为AC=(2,1,3),AB=(0,3,3),所以AC·AB=0+1×3+3×3=12.因为|AB|=32,|AC|=14,所以cos<AC,AB>=AC·AB|AC||AB|=1214×32=277,所以AC在AB上的投影向量为|AC|cos<AC,AB【解题技法】空间向量数量积的应用【对点训练】1.已知A(1,0,0),B(0,1,1),O为坐标原点,OA+λOB与OB的夹角为120°,则λ的值为()A.±66 B.66 C.66 【解析】选C.由于OA+λOB=(1,λ,λ),OB=(0,1,1),则cos120°=λ+λ1+2λ2·2=12,解得λ=±66.经检验λ=62.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(3)证明:AA1⊥BD.【解析】(1)如图所示,设AB=a,AD=b,AA1=则|a|=|b|=1,|c|=2.a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos120°=1.因为