152分式的运算AB分层训练

15.2分式的运算一、单选题1．计算x2y÷A．﹣y B．−x2y C．x【答案】B【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先统一成乘法运算，最后进行约分运算．【详解】解：x=−=−x故选：B．【点睛】此题考查分式的乘除混合运算．分式的乘除运算实际就是分式的约分，在计算过程中需要注意的是运算顺序．2．计算1a+1+1A．1a+1 B．aa+1 C．1a【答案】C【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=a+1故选：C．【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．某公司运用5G技术，一个2.4M的文件大约只需要0.000048秒，数据0.000048用科学记数法表示为（

）A．0.48×10−4 B．0.48×10−5 C．【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10【详解】解：0.000048用科学记数法表示为4.8×10故选：C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a4．已知xy=3，则3x(x+y)−y(x+y)xA．1 B．2 C．3 D．无法确定【答案】B【分析】根据xy=3得到【详解】解：∵xy∴x=3y，∴3x(x+y)−y(x+y)x2+2xy+故选：B．【点睛】此题考查了分式的化简求值，根据xy=3得到5．下列化简结果正确的是（）A．a2−ab÷C．−m2+2m−1【答案】C【分析】同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行逐一化简，即可求解．【详解】解：A.a2B.x2C.−mD.已是最简分式，无法化简，结果不正确，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤是解题的关键．6．已知xx2−x+1=1A．12 B．14 C．7【答案】C【分析】先由xx2−x+1=12得到【详解】xx−1+∴x+x=7故选C【点睛】此题主要考查了分式的值，关键是要熟练掌握完全平方公式7．下列计算不正确的题是（

）A．xyx2−2xy+C．x2+xx【答案】C【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．【详解】解：A、xyxB、3x−2yC、x2D、yx故选：C．【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．8．化简x−2x÷x−A．x+2x B．x−2x C．1x−2【答案】D【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：原式===1故选：D．【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．设a,b,c满足abc≠0，且a+b=c，则bA．1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由a+b=c可得：a=c−b，b=c−a，然后对分式进行变形，先利用平方差公式的逆用，再根据需要代入，变形，利用分数的性质化简即可求值．【详解】解：∵a+b=c∴a=c−b，b=c−a，c=a+b，∴b=====1+1−1=1．故选：B．【点睛】本题考查了等式的基本性质，分数的性质，平方差公式的逆用以及整体代入的相关知识，能灵活运用相关知识对分式进行变形是解题的关键，也是解题的难点．其中，平方差公式为：(a+b)(a−b)=a10．已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+A．12 B．14 C．227 【答案】A【分析】把zx+y+xy+z+yz+x=11两边加上3，通分得到x+y+zx+y【详解】解：∵zx+y∴1+z即x+y+zx+y∴1x+y而1x+y∴14x+y+z∴x+y+z=12．故选：A．【点睛】本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出x+y+z．二、填空题11．计算：a2b【答案】a【分析】根据分式的乘法法则计算即可．【详解】解：a2故答案为：a．【点睛】此题考查了分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分式．12．计算：m+4m+3−【答案】1【分析】根据分母不变，把分子相加减可得答案．【详解】解：m+4m+3故答案为：1【点睛】本题考查的是同分母分式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键．13．若ab=3，则2a−b【答案】5【分析】分式2a−bb变形为2a【详解】解：∵ab∴2a−bb故答案为：5．【点睛】本题考查了求分式的值，掌握整体代入法是解题的关键．14．计算：−xy【答案】−【分析】先计算分式的乘方，再进行乘除运算即可求解．【详解】解：原式=故答案为：−【点睛】本题考查分式的乘方、分式的乘除混合运算．掌握相关运算法则是解题关键．15．若1x+1y【答案】−1【分析】根据已知等式求出−xy=x【详解】解：∵1x+1∴x+yxy∴xy=x+y∴−xy=∴xy故答案为：−1．【点睛】本题考查了分式的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．已知m2−2m+1=0，则m+1【答案】5【分析】由已知可知m2+1=2m，将要求分式变形后把【详解】解：∵m2∴m2∴m+===2+3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是根据已知和要求分式的特点，选择整体代入的方式进行化简求值．17．已知a2+3a−1=0，化简求值：a−33【答案】−【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体代入思想代入求值即可．【详解】解：a−3=======−=−1∵a∴a∴3a∴原式=−1故答案为：−1【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解题的关键．18．化简a2ba【答案】a+b/b+a【分析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的乘法即可．【详解】解：a=a=a+b故答案为：a+b【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．三、解答题19．计算：(1)3b(2)−2ab÷【答案】(1)−3(2)−1【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．【详解】（1）解：原式==−=−（2）解：原式==−=−=−【点睛】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是解题关键．20．计算：(1)m+2−5(2)1+1【答案】(1)2m+6(2)1【分析】（1）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解；（2）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解．【详解】（1）解：原式====2m+6；（2）解：原式====【点睛】本题考查分式的混合运算．异分母分式的加减运算关键是通分，分式的乘除运算关键是将分子分母因式分解后进行约分．21．先化简，再求值：a2+4a【答案】−7【分析】先将分式化简，再代入a的值计算．【详解】解：原式===a−2当a=−5时，原式=−5−2=−7．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的化简方法．22．阅读理解：例题：已知实数x满足x+1x=4解：∵x+1∴xx∴(1)已知实数a满足a+1a=5(2)已知实数b满足b+1b+1=9【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根据a+1a=5，先求出a（2）根据b+1b+1=9，可得b+1+1b+1【详解】（1）解：∵a+1∴a3a2∴a3（2）解：∵b+1∴b+1+1∴b+1b2===13，∴b+1b【点睛】本题考查了分式的值，理解给定的例题中求分式的值的方法是解题的关键．23．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．请你利用“倒数法”解下面的题目：已知：xx求：(1)代数式x+1(2)代数式x2【答案】(1)4(2)1【分析】（1）根据xx2+1（2）x2x4+1取倒数得x【详解】（1）解：∵xx∴x2+1x即x+1（2）解：x2x4∵x+1∴x+1∴x2∴x2【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式a±b224．观察如图所示的小明的作业，回答下列问题．小明的作业解：a=a−a−b=−a−b=−2a+b．第三步(1)小明的作业中，从第______步开始出现错误．(2)从第二步到第三步是否正确？若不正确，请说明错误原因．(3)请写出正确的计算过程．【答案】(1)一(2)不正确，错误原因是没有分母(a+b)了(3)过程见解析【分析】（1）观察小明的作业发现第一步开始出现错误；（2）观察第二步到第三步发现不正确，分析其原因即可；（3）写出正确的解题过程即可．【详解】（1）解：小明的作业中，从第一步开始出现错误；(a−a−ba−b分子中的a−b故答案为：一；（2）从第二步到第三步不正确，错误原因是没有分母(a+b)了；（3）原式====−b【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知m>n>0，若分式nm的分子、分母都加上1，所得分式n+1嘉嘉想到了“用nm减去n+1淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路．两人的解题思路都正确．(1)请你任选一个思路说明．(2)当所加的这个数为2时，所得分式的值_______（填“增大了”或“减小了”）．(3)当所加的这个数为a(a>0)时，你能得到什么结论？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)增大了(3)当所加的这个数为a(a>0)时，所得分式的值增大了，见解析【分析】（1）分别利用两人的解题思路求解即可；（2）选择淇淇的思路，把分子和分母加上2时再比较即可；（3）选择嘉嘉的思路，把分子和分母加上a(a>0)时再比较即可；【详解】（1）解：（1）嘉嘉的思路：nm∵m>n>0，∴n−m<0．∵m(m+1)>0，∴n−mm(m+1)∴nm淇淇的思路：nm=n(m+1)∵m>n>0，∴mn+n<mn+m，∴nm（2）解：nm=n(m+2)∵m>n>0，∴mn+2n<mn+2m，∴nm故答案为：增大了．（3）解：当所加的这个数为a(a>0)时，所得分式的值增大了．理由：nm∵m>n>0，∴a(n−m)<0，m(m+a)>0，∴a(n−m)m(m+a)∴nm【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质和不等式的性质，掌握分式加减运算法则是解题的关键.26．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）；①x+1x；②2+x2；③x+2x+1(2)将“和谐分式”a2−2a+3a−1(3)应用：先化简3x+6x+1−x−1【答案】(1)①③④(2)a−1+(3)x=−3时，该式的值为整数【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可；（2）根据题干提供的信息进行化简即可；（3）先将分式3x+6x+1−x−1x