专题915矩形（分层练习）（基础练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.15矩形（分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·甘肃张掖·九年级校考期末）下列性质中，矩形不一定具有的是（

）A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形2．（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（

）A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形3．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则的长为（

）A．1 B． C． D．44．（2023下·山西朔州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴正半轴上，，直线经过点，将直线向下平移个单位，若直线可将矩形的面积平分，则的值为（）

A．11 B．9 C．6 D．55．（2023下·浙江丽水·八年级期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（

）A． B． C． D．6．（2023下·河北唐山·八年级统考期中）如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是（

）

①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角．A．④②①③ B．①③④② C．②④①③ D．③①④②7．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，是上两点，，连接，，，，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（

）A． B． C． D．8．（2022上·江西抚州·九年级统考期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为（

）A． B． C． D．9．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（

）A． B． C． D．10．（2023上·广东佛山·九年级校联考期中）我们在学习直角三角形斜边的中线定理时，小明同学证明的过程有点缺失，你能帮他找回缺失的部分吗？已知：在中，，O是的中点，求证：．证明：如图，延长至点，使，连接．…∴，∴．下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∵；③∵，；④∴四边形是矩形．则正确的顺序为（

）

A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2020下·宁夏固原·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠ACB＝30°，AC＝10，则AB的长为．

12．（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，已知，点为边的中点，点、对应的刻度分别为0、5，则cm．13．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为14．（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为米．，结果精确到15．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）如图，在矩形中，延长到E，连接．若矩形的面积是20，的面积是26，则的面积是．

16．（2023下·吉林·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为．17．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为．18．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点E在边AD上，且ED=3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN=4，则线段PC的长为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2019下·山东聊城·八年级统考期末）在矩形中，点E在上，，垂足为F．（1）求证：；（2）若，且，求的值．20．（8分）（2022上·广东广州·九年级统考期末）如图，已知中，，．D是内的一点，且，．（1）_______°；（2）依题中的条件用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；（3）求的度数．21．（10分）（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，长方形，以为坐标原点，、分别在轴、轴上，点的坐标为，点的坐标为，点是边上一点，把长方形沿翻折后，点恰好落在轴上点处．

（1）求点的坐标；（2）求所在直线的函数关系式；（3）在轴上求一点，使成为以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．22．（10分）（2023上·陕西榆林·九年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．

（1）求证：四边形是矩形；（2）若，平分，，求的长．23．（10分）（2023下·山东德州·八年级校考期中）如图，为正方形的对角线上的任一点，于，于．

（1）求证：；（2）若正方形的边长为，．求的长．24．（12分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接．（1）求证：四边形是矩形．（2）如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积．参考答案：1．C【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不符合题意；B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不符合题意；C、矩形对角线互相垂直，故C错误，符合题意；D、矩形是轴对称图形，故D正确，不符合题意；故选C．2．D【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故选D．3．B【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余、勾股定理：先由对角线相等，结合等边对等角，得，结合直角三角形两个锐角互余，得，故，根据勾股定理列式，计算即可作答．解：∵四边形是矩形，∴∵，∴∴即解得故选：B4．A【分析】连接，相交于点D，当直线平移经过点D时，该直线可将矩形的面积平分，求出经过点D且平行于的直线解析式后，即可得解；解：连接，相交于点D，如图，

对直线，令，得到，故点的坐标为，又，，因为矩形对角线互相平分，所以点为线段的中点，，当直线平移经过点D时，该直线可将矩形的面积平分，设平移后的直线解析式为：，，，；故选择：A．【点拨】本题考查了矩形的性质，以及一次函数图像的平移问题，关键是掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．5．D【分析】由折叠的性质和中点性质可得，所以，由勾股定理可求的长，由面积法可求，的长，进而根据勾股定理可求解．解：如图，连接于交于点，点是的中点，，将沿折叠，，，，是直角三角形，，，，，将沿折叠，，，，，，，．故选：．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，求的长是本题的关键．6．B【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．解：Ａ：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误；B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确；C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误；D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误．故选：B．【点拨】本题考查平行四边形及矩形的判定．熟记定理内容是解题关键．7．B【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵对角线上的两点、满足，∴，即，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．故选：B．8．C【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．解：如图，由题意得：，∵，∴，∴．故选：C．【点拨】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°9．D【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质．根据，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数．解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的度数为，故选：D．10．A【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．延长至点，使，连接，先证四边形是平行四边形，再由，得平行四边形为矩形，然后由矩形的性质即可得出结论．解：证明：如图，延长至点，使，连接．∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，∴．综上，则正确的顺序为③①②④．故选：A．11．5【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴，∵，，∴，故答案为：5．【点拨】本题考查矩形的性质、角所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用相应几何知识是解题的关键．12．【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可．解：因为，点为边的中点，所以是的中线，即，故答案为：．13．【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出．解：∵四边形是矩形，，，，∵，∴，，，故答案为：．14．5【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质．根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出．解：在中，，，则米，四边形为矩形，，，，∴，∴，，故答案为：5．15．16【分析】由矩形的性质得，则，所以，于是得到问题的答案．解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵矩形的面积是20，∴，∵的面积是26，∴，故答案为：16．【点拨】此题重点考查矩形的性质、矩形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，由矩形的面积求出的面积是解题的关键．16．【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标．解：点和的横坐标相等，点和的纵坐标相等，要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等，∴第四个顶点的坐标为；故答案是：．【点拨】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键．17．【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，根据中线定理解题即可．解：∵，∴，∵点D是的中点，，∴，∵E是的中点∴∴∴，故答案为：．18．2解：∵DE=AB=CD=3，∴△CDE是等腰直角三角形．作点N关于EC的对称点N'，则点N'在直线CD上，连接PN'，如图：∵PM+PN=4．∴PM+PN'=4=BC，即MN'=4，此时M，P，N'三点共线且MN'∥BC，∴四边形MBCN'是矩形，∴BM=CN'，∠PN'C=90°．∵BM=BN，CN=CN'，∴BN=CN=BC=2，∴PM=PN'=2，∴PC=2．19．（1）见分析；（2）【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．（1）利用证明即可得；（2）证明是等腰直角三角形，得出，利用勾股定理即可求出．解：（1）证明：在矩形中，，，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，，，∴，∴．20．（1）；（2）图见详解；（3）【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）作线段的垂直平分线，以为圆心为半径画弧交于，连接、、即可．（3）作于，于．只要证明，推出即可解决问题．（1）解：，，，故答案为．（2）解：如图所示，点即为所求．（3）解：作于，于．，四边形是矩形，，，，，，，，．【点拨】本题考查作图复杂作图、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住直角三角形中，如果斜边等于直角边的两倍，这条直角边所对的锐角为，属于中考常考题型．21．（1）；（2）所在直线的解析式为；（3）成为以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或或【分析】（1）根据矩形与折叠的关系，可得，在中，根据勾股定理可求的长，由此即可求解；（2）运用待定系数法即可求解；（3）根据等腰三角形的判定和性质即可求解．（1）解：四边形长方形，，，∴，长方形沿翻折后，点恰好落在轴上点处，∴，，在中，，∴．（2）解：∵，，∴设所在直线的解析式为，∴，解得，，∴所在直线的解析式为．（3）解：①如图所示，是以为腰的等腰三角形，

∵轴，是以为腰的等腰三角形，∴，∴；当时，，∴；②如图所示，是以为腰的等腰三角形，

∴，∴；综上所述，成为以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或或．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式的方法，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．22．（1）证明过程见详解；（2）的长为【分析】（1）根据的性质可得，，由此即可求证；（2）根据，在中，可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，根据四边形是矩形，可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据含角的直角三角形的性质可得的长．解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，即，∵点在边上，点在边上，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，则，∴平行四线