上海市虹口区2023-2024学年高三下学期二模考试数学

虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试卷2024.4考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟，2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知，则________；2.已知球表面积为,则该球的体积为______.3.过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为__________.4.已知集合，则__________.5.已知随机变量，且，则__________.6.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻站法种数为__________.7.已知一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形外接圆的直径为__________.8.已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________.9.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________.10.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________．11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________.12.已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________.二､多选题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（）A. B. C. D.14.设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（）A.函数是偶函数B.函数的图像关于直线对称C.函数在上是严格增函数D.函数在上值域为15.给出下列4个命题：①若事件和事件互斥，则；②数据的第百分位数为10；③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为；④随机变量的分布为，则其数学期望.其中正确命题的序号为（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.则下列判断正确的是（）A.①②都是假命题 B.①②都是真命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是真命题，②是假命题三､解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.17.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设数列前项和为，且，若，求正整数最小值.18.如图，在三棱柱中，，为的中点，，.（1）求证：平面；（2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：）5457606366件数（单位：件）52146253（1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i）求抽取零件为废品的概率；（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量，则.20.已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线为的法向量为，求直线的方程；（3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.21.若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质.（1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由；（2）设函数具有性质，求实数的取值范围；（3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试卷2024.4考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟，2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知，则________；【答案】##0.28【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式计算可得；【详解】因为，所以故答案为：.2.已知球的表面积为,则该球的体积为______.【答案】【解析】【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积．【详解】设球半径为，∵球的表面积为，∴，∴，∴该球的体积为．故答案为．【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．3.过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为__________.【答案】【解析】【分析】根据焦半径公式计算可得.【详解】抛物线的准线方程为，设，，则，所以，所以.故答案为：4.已知集合，则__________.【答案】【解析】【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】，，所以.故答案为：.5.已知随机变量，且，则__________.【答案】12【解析】【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可.【详解】随机变量，，，则.故答案为：126.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为__________.【答案】144【解析】【分析】利用插空法求解即可.【详解】先将3个男孩站成一排，有种方法，将3个女孩插入3个男孩形成的4个空位中，有种方法，故一共有：种.故答案为：1447.已知一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形外接圆的直径为__________.【答案】##【解析】【分析】不妨设中，，，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得.【详解】不妨设中，，，由余弦定理，即，解得，又，所以，由正弦定理，即这个三角形外接圆的直径为.故答案为：8.已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________.【答案】3【解析】【分析】利用等差数列的定义和等比数列的求和公式即可.【详解】因为成等差数列，故，即，解得：或.因为等比数列是严格减数列，且，故.所以.故答案为：39.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】设，先求出，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据求出点的轨迹，进而可得出答案.【详解】如图，设，因为，所以，故，如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，由，得，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示两点间的距离，所以的最大值为.故答案为：.10.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________．【答案】##【解析】【分析】设圆O半径为r，利用半径表示出a和圆上第一象限的八等分点的坐标，代入双曲线方程可得b，然后可得离心率.【详解】设圆O半径为r，双曲线方程为因为，所以由题意可知，，代入方程，得解得，所以故答案为：11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接、、、，首先证明，即可、、、四点共面，连接，，求出，将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点，最后利用余弦定理计算可得.【详解】取的中点，连接、、、，因为点为棱的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，即、、、四点共面，连接，，则，，因为底面为菱形，且，所以，所以，所以，所以，即，所以，将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点，则，又，在中，即，所以，即线段、的长度和的最小值为.故答案为：12.已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，分且和且，两种情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解.【详解】因为关于的不等式对任意均成立，①当对任意均成立时，可得对任意均成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，又由对任意均成立，可得对任意均成立，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以.②当且对于任意均成立时，结合①可知且，此时无解.综上可得，实数实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二､多选题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用欧拉公式，复数的除法运算求出复数，再求出复数的模.【详解】由欧拉公式得，因此化为，则，即，所以.故选：A14.设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（）A.函数偶函数B.函数的图像关于直线对称C.函数在上是严格增函数D.函数在上的值域为【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化简的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为，将函数的图像沿轴向右平移个单位得到，又，所以为奇函数，故A错误；因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误；当时，因为在上单调递减，所以函数在上是严格增减函数，故C错误；当时，所以，则，即函数在上的值域为，故D正确.故选：D15.给出下列4个命题：①若事件和事件互斥，则；②数据的第百分位数为10；③已知关于回归方程为，则样本点的离差为；④随机变量的分布为，则其数学期望.其中正确命题的序号为（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据百分位数的定义判断B；根据离差的定义判断C；根据期望公式判断D.【详解】对于①：因为事件和事件互斥，所以，故①错误；对于②：因为，所以第百分位数为从小到大排列的第个数，即可为，故②正确；对于③：因为，当时，所以样本点的离差为，故③正确；对于④：，故④错误.故选：C16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.则下列判断正确的是（）A.①②都是假命题 B.①②都是真命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是真命题，②是假命题【答案】B【解析】【分析】对于①，根据不等式，构造函数，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可.【详解】，故在上递增，对于①，设，，设，，，单调递减，单调递增，，即，，即，故，故①是真命题.对于②，由①知，，即，，故.且在上递增，故，，故的值域为所以，即，故，②是真命题.故选：B【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到在上递增，再构造函数，利用导数得到其单调性，最后得到，则可判断①.三､解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.17.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设数列前项和为，且，若，求正整数最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可求出通项公式；（2）由（1）可得，利用等差数列求和公式求出，再解不等式即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，解得，故；【小问2详解】由（1）可得，则，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，故，因为，所以，所以，所以或，因为，所以，所以的最小值是．18.如图，在三棱柱中，，为的中点，，.（1）求证：平面；（2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，即可得到，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，设点的坐标为，由平面，则即可求出，从而确定点坐标，再由空间向量法计算可得.【小问1详解】连接，交于点，连接，为的中点，在平行四边形中为的中点，是的中位线，可得，平面，平面，平面；【小问2详解】因为平面，平面，所以，，又，故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则设点的坐标为，则，，因为平面，平面，所以，所以，解得，经检验符合题意.所以，则，又，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：）5457606366件数（单位：件）52146253（1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i）求抽取的零件为废品的概率；（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量，则.【答案】（1），（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解；（2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解．【小问1详解】由题意可知，则，所以；【小问2详解】（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，则，，，，所以；（ii）因为，所以，所以．20.已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线为的法向量为，求直线的方程；（3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，直线的斜率为【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可得解；（2）由题意直线的斜率为，方程为，联立方程，求出点的坐标，同理求出点的坐标，进而可求出直线的方程；（3）设直线的方程为，联立方程，求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，从而可求出直线的斜率，再分和两种情况讨论即可得解.【小问1详解】由已知条件可知，所以，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】因为直线为的法向量为，所以直线的斜率为，方程为，联立，得，解得（舍去），从而，因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为，同理可得点的坐标为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即；【小问3详解】假设存在满足条件的直线，设直线的方程为，联立，得，解得（舍去），因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为，同理可得，故直线的斜率，当为直角三角形时，只有或，于是或，若，由，可得，从而，若，由，可得，从而，所以存在，直线的斜率为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法