高考数学一轮复习专练31平面向量的应用

三十一平面向量的应用(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2023·上海模拟)已知O为△ABC所在平面内一点,D是AB的中点,动点P满足OP=(1λ)OD+λOC(λ∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的 ()A.内心 B.垂心C.重心 D.AC边的中点【解析】选C.由动点P满足OP=(1λ)OD+λOC(λ∈R),且1λ+λ=1,所以P,C,D三点共线,又因为D为AB的中点,所以CD为△ABC的边AB上的中线,所以点P的轨迹一定过△ABC的重心.2.(5分)一物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50m,且力F所做的功W=2502N·m,则F与s的夹角θ为 ()A.135° B.90° C.60° D.45°【解析】选D.由题意可知:W=F·scosθ,即2502=10×50cosθ,解得cosθ=22,θ=45°3.(5分)(2023·哈尔滨模拟)一条河两岸平行,河的宽度为1560m,一艘船从河岸边的某地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为v1=13km/h,水流速度v2的大小为v2=5km/h,若船的航程最短,则行驶完全程需要的时间t(min)为(A.7.2 B.7.8 C.120 D.130【解析】选B.若使得船的航程最短,则船的实际速度v=v1+v2与水流速度v2垂直,作OA=v1,OB=v2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示:由题意可知,OC⊥OB,且BC=OA=v1=13,OB=v由勾股定理可得v=OC=BC2因此,若船的航程最短,则行驶完全程需要的时间t=1.5612则t=0.13×60=7.8(min).4.(5分)(多选题)(2023·开封模拟)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知F1=4N,F2=2N,F1与F2的夹角为120°,则下列说法正确的是(A.F3=23B.F1与F3的夹角为90°C.F2与F3的夹角为90°D.(F1+F3)·F2=4【解析】选AC.如图所示,设F1,F2,F3分别为OA,OB,OC,将向量进行平移,OA平移至AB',将OA反向延长至点则∠AOB=120°,∠OAB'=∠DOB=180°∠AOB=60°,在△OAB'中,由余弦定理得,OB'2=AB'2+OA22AB'·OAcos60°=4+162×2×4×12所以OB'=23,即F3=23N,故A正确显然,在△OAB'中,OB'2+AB'2=12+4=16=OA2,即∠AB'O=90°,所以∠COD=∠AOB'=30°,所以F1与F3的夹角∠AOC=180°∠COD=150°,故B错误;F2与F3的夹角∠BOC=∠DOB+∠COD=60°+30°=90°,故C正确;(F1+F3)·F2=(OA+OC)·OB=(OA+B'O)·OB=B'A·OB=OB2=5.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为 ()A.2116 B.32 C.2516 【解析】选A.解法一:(坐标法)如图,以D点为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.所以A(1,0),B(32,32),在平面四边形ABCD中知CD=所以设DE=t(t∈[0,3]),所以E(0,t).所以AE·BE=(1,t)·(32,t32)=32+t232t=(t34所以当t=34时,(AE·BE)min=解法二:(基向量法)连接AC(图略),易知DC=3,∠CAD=60°,设DE=x(0≤x≤3),则AE·BE=(AD+DE)·(BA+AD+DE)=1×1×cos60°+12+0+x×1×cos150°+0+x2=(x34)2+2116≥解法三:(基向量法)如图,取AB的中点F,连接EF,则AE·BE=EA·EB=(EF+FA)·(EFFA)=EF2FA2=EF214.可知当且仅当|EF|最小时,AE·BE取最小值.分别过点F,B作CD的垂线,垂足分别为H,G,当点E与H重合时,EF取到最小值,易知HF为梯形DABG的中位线,由已知得|BG|=则|HF|=12(|BG|+|AD|)=54,故|EF|的最小值为54.故AE·BE6.(5分)(2023·南昌模拟)如图,AB是圆O的一条直径,且AB=6,C,D是圆O上任意两点,CD=3,点P在线段CD上,则PA·PB的取值范围是 (A.[274,9] B.[34C.[94,0] D.[【解题指南】连接OP,根据数量积的运算律得到PA·PB=PO29,再根据点P在线段CD上,求出PO的取值范围即可得解【解析】选C.如图,连接OP,则PA·PB=(PO+OA)·(PO+OB)=PO2+PO·OB+PO·OA+OA·=PO2+PO·(OB+OA)OA2=PO29.因为点P在线段CD上且CD=3,则圆心到直线CD的距离d=32-322=332所以94≤PO29≤0,即PA·PB的取值范围是[947.(5分)已知两个力F1,F2的夹角为π2,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为π4,那么F1的大小为【解析】因为两个力F1,F2的夹角为π2,所以F1·F2又因为它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为π4所以cosπ4=(F1+F2)·F1F1答案:52N8.(5分)在△ABC中,E为AC的中点,D是线段BE上的动点,若AD=xAB+yAC,则1x+2y的最小值为【解析】如图,因为AD=xAB+yAC,E为边AC的中点,所以AD=xAB+2yAE,因为B,E,D三点共线,所以x+2y=1(x>0,y>0),则1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+22yx·2xy=9,当且仅当x=答案:99.(10分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解析】(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,3),a∥b,所以3cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0,于是tanx=33.又x∈[0,π],所以x=5π(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,3)=3cosx3sinx=23cos(x+π6)因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而1≤cos(x+π6于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取得最小值2【能力提升练】10.(5分)(2023·福州模拟)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为380N,则该学生的体重(单位:kg)约为 ()(参考数据:取重力加速度大小为10m/s2,3≈1.732)A.68 B.66 C.64 D.62【解析】选B.由物理定理可得,该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反,两只胳膊的拉力的合力大小为380=3803,则该学生的体重约为380310=38311.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)设点D是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的有 ()A.若AD=12(AB+AC),则点D是边BCB.若AD=13(ABABcosB+ACACcosCC.若AD=2ABAC,则点D在边BC的延长线上D.若AD=xAB+yAC,且x+y=12,则△BCD的面积是△ABC【解析】选ABD.对于A,因为AD=12(AB+AC),即12AD12即BD=DC,即点D是边BC的中点,故A正确;对于B,AD·BC=13(AB·BCABcosB+AC·BC即AD⊥BC,故AD过△ABC的垂心,故B正确;对于C,因为AD=2ABAC,即ADAB=ABAC,即BD=CB,即点D在边CB的延长线上,故C错误;对于D,因为AD=xAB+yAC,且x+y=12故2AD=2xAB+2yAC,且2x+2y=1,设AM=2AD,则AM=2xAB+2yAC,且2x+2y=1,故M,B,C三点共线,且AM=2AD,故△BCD的面积是△ABC面积的一半,故D正确.12.(5分)如图,在扇形COD及扇形AOB中,∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在CD(含端点)上,则PA·PB的最小值是 (A.112 B.6 C.132 【解析】选A.建立如图所示平面直角坐标系,则A(1,0),B(12,32设P(3cosθ,3sinθ),θ∈[0,2π3],则PA=(3cosθ+1,3sinθPB=(3cosθ12,3sinθ+32则PA·PB=(3cosθ1)(3cosθ+12)+3sinθ(3sinθ32)=1723sin(θ+其中θ+π6∈[π6,5π6],所以PA·PB=1723sin(θ+π6)当且仅当θ=π3时,取“=”13.(5分)已知非零向量a,b,c满足a=4,a·b=2b,c2=32a·c5,则对任意实数t,c-tb【解析】因为a=4,a·b=2b,则|a||b|cos<a,b>=2|b|,而|b|≠0,于是cos<a,b>=12.又0≤<a,b>≤π,则<a,b>=π3.作OA=a,OB=b,使∠AOB=π3由c2=32a·c5,得(c-34a)2=4,即|c34a|=2,令OD=34因此OC的终点C在以点D为圆心,2为半径的圆上,显然对∀t∈R,tb的终点的轨迹是线段OB确定的直线l,于是c-tb是圆D上的点与直线l上的点的距离,过D作线段DE⊥l于E,交圆D于F,所以c-tbmin=EF=DE2=|OD|sin答案:3314.(10分)如图所示,矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合,B,D分别在x,y轴正半轴上,AB=4,AD=2,点E为AB上一点,(1)若DE⊥AC,求AE的长;(2)若E为AB的中点,AC与DE的交点为M,求cos∠CME.【解析】(1)由题可得,A(0,0),B(4,0),D(0,2),C(4,2),则AC=(4,2).设E(x,0)(0≤x≤4),则DE=(x,2).因为DE⊥AC,则DE·AC=4x4=0⇒x=1,则E(1,0),故AE的长为1;(2)若E为AB的中点,则E(2,0),DE=(2,2),又AC=(4,2),所以cos∠CME=cos<AC,DE>=AC·DEACDE=15.(10分)(2023·齐齐哈尔模拟)已知向量a=(cos32x,sin32x),向量b=(cos12x,sin12x),x∈[(1)求a·b及a+(2)若f(x)=a·b2ta+b的最小值为32,求【解析】(1)由题意可得,a·b=cos32xcos12xsin32xsin12x=cos(32x+1a=cos232x+所以a+b=(a+b)2又因为x∈[0,π2],则cosx≥0,可得a+b=2cosx,所以a·b=cos2x,(2)由(1)可得,f(x)=cos2x4tcosx=2cos2x4tcosx1,因为x∈[0,π2],令m=cosx∈0,1,原题意等价于g(m)=2m24tm1在0,1上的最小值为32,注意到函数g(m)开口向上,对称轴为m=t,则有:若t≥1,则g(m)在[0,1]上单调递减,可得当m=1时,函数g(m)取到最小值g(1)=14t=32,解得t若0<t<1,则g(m)在[0,t]上单调递减,在(t,1]上单调递增,可得当m=t时,函数g(m)取到最小值g(t)=2t21=32,解得t=12或t=12(舍去);若t≤0,则g(m)在可得当m=0时,函数g(m)取到最小值g(0)=1≠32,不合题意,舍去综上所述,t的值为12【加练备选】如图,向量OA,OB为单位向量,∠AOB=2π3,点P在∠AOB内部,OP=mOA+nOBOP=3,∠AOP=α.(1)当OP·OB=0时,求m,n的值;(2)求m+n的取值范围.【解析】(1)以O为原点,以OA所在的直线为x轴,以过点O垂直x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为向量OA,OB为单位向量且∠AOB=2π3,可得A(1,0),B(12,3设P(x,y),其中y>0,可得OA=(1,0),OB=(12,32),OP=(x,又因为OP·OB=0,可得12x+32y=0,即x3由OP=3,可得x2+y2=3,联立得x-3y=0x2+y2=3又由OP=mOA+nOB,可得(32,32)=m(1,0)+n(12,32),可得m(2)因为OP=3且∠AOP=α,可得P(3cosα,3sinα),所以OP=(3cosα,3sinα),其中α∈(0,2π3),又因为OP=mOA+nOB,可得(3cosα,3sinα)=m(1,0)+n(12,可得m-12n=3cosα32n=3sin所以m+n=3cosα+3sinα=23sin(α+π6).因为α∈(0,2π3),可得α+π6∈(π6当α+π6=π2,即α=π3时,sin(α+π6)=1,可得m+n又由m