高考数学一轮复习专练42基本立体图形及几何体的表面积与体积

四十二基本立体图形及几何体的表面积与体积(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知正三角形ABC的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是 ()A.62a2 B.64C.68a2 D.616【解析】选D.因为正三角形ABC的边长为a,所以其面积S=34a2,又因为直观图面积S'与原图形面积之比为24,即S'S=24,所以S'=24×342.(5分)(2023·太原模拟)碌碡(liùzhou)是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具,如图,近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上,当人推动木柄时,碌碡在圆盘上滚动.若人推动木柄绕圆盘转动1周,碌碡恰好滚动了3圈,则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为 ()A.3∶1 B.3∶2 C.1∶3 D.2∶3【解析】选B.由题意可设圆柱形碌碡的高为h,其底面圆的直径为d,则有2πh=πd×3,所以h∶d=3∶2.3.(5分)某圆锥的侧面积为1,用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台,若圆台上底面和下底面半径之比为12,则该圆台的侧面积为 (A.12 B.22 C.34 【解析】选C.设圆台的上底面半径为r,下底面半径为2r,设圆台的母线为l,则圆锥的底面半径为2r,圆锥的母线为2l,圆锥的侧面积记为S1=12·2π·2r·2l=4πrl=1⇒πrl=14,截去的小圆锥的侧面积记为S2=12·2πr·l=πrl故圆台的侧面积为S1S2=114=3【加练备选】若一个圆台的高为3,母线长为2,侧面积为6π,则该圆台的体积为 ()A.53π3 C.53π D.73π【解析】选B.设圆台的上底面半径为r',下底面半径为r,母线为l,则圆台的侧面积S=πr'+rl=6π,可得r'+r=3,又因为圆台的高h为3,可知rr'=22-3圆台的体积V圆台=13πhr'2+r'r+r4.(5分)已知长方体所有棱的长度之和为28,一条体对角线的长度为17,则该长方体的表面积为 ()A.32 B.20 C.16 D.12【解析】选A.设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,因为长方体所有棱的长度之和为28,所以4a+b+c=28,即a+因为一条体对角线的长度为17,所以a2+b2+c2=17,因a+b+c2=a2+b2+c2+2ab解得ab+ac+bc=16,所以该长方体的表面积为2ab+2ac+2bc=32.5.(5分)等体积的球和正方体的表面积分别为S1与S2,则S1与S2的大小关系是 ()A.S2>S1 B.S2<S1C.S2=S1 D.无法确定【解析】选A.若球体的半径为r,则S1=4πr2,若正方体的棱长为a,则S2=6a2,因为球和正方体的体积相等,所以43πr3=a3则a=r34π3,故S2=6r2所以S1S2=2π33即S2>S1.6.(5分)(多选题)如图所示,圆锥SO的底面半径r=3,高SO=1,AB是底面圆的一条直径,M为底面圆周上与B不重合的一点,则下列命题正确的是 ()A.圆锥SO的体积为πB.圆锥SO的表面积为(23+3)πC.△SBM的面积的最大值是3D.有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为3π【解析】选AB.圆锥SO的底面半径r=3,高SO=1,所以母线长为2;对于A选项,圆锥SO的体积为V=13×π×(3)2×1=π,所以A正确对于B选项,圆锥SO的表面积为S=π×(3)2+π×3×2=23+3π,所以B对于C选项,由轴截面为等腰三角形SAB,且顶角为∠ASB=2∠BSO=2×60°=120°,当等腰△SBM的顶角为90°时,△SBM的面积取得最大值为:S△MSB=12×2×2×sin90°=2,所以C错误对于D选项,圆锥的底面圆周长为23π,所以侧面展开图的圆心角为α=3π,所以圆锥侧面展开图中AB的长lAB=3π2×2=3π,蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为线段AB,且AB<lAB=3π,7.(5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.

【解析】正六棱柱体积为6×34×22×2=123(cm3),圆柱体积为π(12)2·2=π2(cm3),所求几何体体积为(123π答案:123π8.(5分)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=5,点E是棱CC1上的一个动点,若平面BED1交棱AA1于点F,则四棱锥B1BED1F的体积为________,截面四边形BED1F的周长的最小值为________.

【解析】由题意可得D1F∥BE,利用切割法可得VB1-BED1F=VB1-BED1+VB1-BFD1=VD1-BEB1=13×1将长方体侧面展开,如图所示,当点E为BD1与CC1的交点、点F为BD1与AA1的交点时,截面周长最小,此时截面的周长为2BD1,而在△BDD1中,BD1=52+3+42=74,答案:202749.(10分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=2+2,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC,AB分别相切于点C,M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体:(1)求该几何体中间空心球的表面积S的大小;【解析】(1)连接OM,则OM⊥AB,设OM=r,OB=2+2r,在△BMO中,sin∠ABC=r2+2-r=22⇒r=2,9.(10分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=2+2,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC,AB分别相切于点C,M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体:(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积V.【解析】(2)由已知AC=BC=2+2,设圆锥的体积为V1,球的体积为V2,所以V=V1V2=13π(2+2)343π23【能力提升练】10.(5分)(2023·青岛模拟)中国古代数学著作《九章算术》中,记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分),现有一个如图所示的曲池,它的高为2,AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为180°,则该几何体的表面积为 ()A.15π2+2 B.15πC.7π+2 D.9π+4【解析】选D.此几何体为一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱,S表=12×2π22-111.(5分)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,一为阳马,一为鳖臑.”即一个长方体沿对角面斜解(图1).得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).若长方体的体积为V,由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1,V2,V3,则下列选项正确的是 ()A.V1+V2+V3=32V B.V1=2VC.V2=3V3 D.V3=16【解析】选D.设长方体的长宽高分别为a,b,c,V=abc,则V1=V2=12abc,V2=13×abc=13abc,V3=13×12×abc=16abc,故V1+V2+V3=abc=V,V1=32V2,V2=2V3,V3=112.(5分)已知直平行六面体的底面是菱形,若过不相邻的两对侧棱的截面面积分别是3和4,则这个平行六面体的侧面积是________.

【解析】如图,因为六面体A'B'C'D'ABCD是直平行六面体,则截面A'ACC',B'BDD'均为矩形,设侧棱A'A=B'B=h,因为截面A'ACC',B'BDD'的面积分别是4和3,则AC=4h,BD=3设AC与BD相交于点O,则由底面ABCD是菱形得AC⊥BD,AO=12AC=2h,BO=12BD则在Rt△AOB中,有AB=AO2+BO所以直平行六面体A'B'C'D'ABCD的侧面积为4×52h×h答案:1013.(5分)已知一个正方体与一个圆柱的高度均为1,且正方体的表面积与圆柱的侧面积相等,则圆柱的体积为________.

【解析】设圆柱底面圆半径为r,由正方体的表面积与圆柱的侧面积相等得2πr=6,故r=3π,故圆柱的体积为π×3π2答案:914.(10分)如图,半球内有一内接正方体(即正方体的一个面在半球的底面圆上,其余顶点在半球上).若正方体的棱长为6,求半球的表面积和体积.【解析】因正方体的棱长为6,则在半球上的正方体4个顶点所在小圆半径r=12×6×2=3,而半球球心到此截面小圆距离d=6,因此半球半径R=d所以半球的表面积S=2πR2+πR2=27π,体积V=23πR3=18π【素养创新练】15.(5分)某餐厅为了追求时间效率,推出一种液体“沙漏”免单方案(即点单完成后,开始倒转“沙漏”,“沙漏”漏完前,客人所点的菜需全部上桌,否则该桌免费用餐).“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图(1)所示,已知圆锥体底面半径是6cm,高是6cm;圆柱体底面半径是3cm,液体高是7cm.计时结束后如图(2)所示,此时“沙漏”中液体的高度为 ()A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【解析】选B.如图,圆锥的底面半径是6cm,高是6