12重难点题型突破训练整式运算及应用-2023年中考数学一轮大单元复习

1.2重难点题型突破训练：整式运算及应用题型分类结构图（本专题共100题102页）题型1：数字规律探究典例：（2022·河北石家庄·九年级期中）如图为年月的日历表，在其中用一个方框圈出个数（如图中虚框所示），设这个数从小到大依次为，，，．(1)若用含有的式子分别表示出，，，其结果应为：______；______；____；(2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为_______________；(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数与最大数的乘积为．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．解：（1）同一行，左右相差，同列，上下相差，∴，，，∴答案是：，，．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，即的最大值为．（3）解：由（1）可知，，，∴嘉嘉的说法是：，使得的值为，∴，解方程得，，（舍去）则虚框圈出的四个数应为，它在日历表中不存在，所以嘉嘉的说法不正确；淇淇的说法是：，即，解方程得，，（舍去），则虚线圈出的四个数为，在日历表中存在，所以淇淇的说法正确．巩固练习1．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．【详解】原数据可转化为：，∴，，，..．∴第n个数为：，∴第10个数为：．故选：A．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．2．（2021·广西百色·二模）将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列：，2，，，；，，4，，；…若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．【详解】解：这组数据可表示为：,…∵，∴为第4行，第3个数字．故选：C．【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．3．（2022·重庆市第一一〇中学校模拟预测）有依次排列的个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，，，则称它为整式串；将整式串按上述方式再做一次操作，可以得到整式串；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：整式串为：，，，，，，，，；整式串共个整式；整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小；整式串的所有整式的和为；上述四个结论正确的有（

）个．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法则进行计算，从而作出判断．【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：，，，，，共个整式，第一次操作后的整式串的和为：，∴第二次操作后的整式串为，，，，，，，，，共个整式，故的结论正确，符合题意；第二次操作后所有整式的和为：第三次操作后整式串为，，，，，，，，，，，，，，，，，共个整式，故的结论正确，符合题意；第三次操作后整式串的和为：；故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：，即整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小，故结论正确，符合题意；第次操作后所有整式的积为，∴第次操作后，所有的整式的和为，故的说法不正确，不符合题意；正确的说法有，共个．故选：．【点睛】此题主要考查了整式的加减，数字的规律，解题关键是从所给的式子分析出所存在的规律．4．（2022·重庆南开中学九年级期中）有依次排列的两个整式，，第1次操作后得到整式串，，；第2次操作后得到整式串，，，；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），下列说法：①第次操作后的整式串为，，，，﹣b，；②第次操作后的整式串各项之和为；③第次操作增加的项与第次操作增加的项一定互为相反数．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），列举中有限次的结果，并进行对比，找到字母间的规律，即可求解．【详解】解：由题意可得，第1次操作后得到整式串，，；各项之和为；第2次操作后得到整式串，，，；各项之和为；第3次操作后得到整式串，，，，；各项之和为；第4次操作后得到整式串，，，，，；各项之和为；故说法①错误；第5次操作后得到整式串，，，，，，；各项之和为；第6次操作后得到整式串，，，，，，，；各项之和为；第7次操作后得到整式串，，，，，，，，；各项之和为；•••所以，各项之和以次操作为一个周期依次循环．∵，∴第次操作后的整式串各项之和与第次操作后的整式串各项之和相同，为，故说法②正确；∵，∴第次操作后的整式串各项之和为，而第次操作后的整式串各项之和为，∴第次操作增加的项为．∵，∴第次操作后的整式串各项之和为，而第次操作后的整式串各项之和为，∴第次操作增加的项为，∴第次操作增加的项与第次操作增加的项一定互为相反数，故说法③正确．故选：．【点睛】本题主要考查数字（字母）规律问题，利用列举法把有限次的结果表示出来，找到字母见的规律，是解题的关键．5．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）按顺序观察下列五个数1，5，7，17，31……，找出以上数据依次出现的规律，则第个数是_____________．【答案】【分析】所给的数可转化为：1=121，5=1+22，7=123，17=1+24，31=125，…据此即可得第n个数，从而可求解．【详解】解：∵1=121，5=1+22，7=123，17=1+24，31=125，…，∴第奇数个数为：12n；第偶数个数为：1+2n；∴第n个数为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律．6．（2022·全国·七年级专题练习）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第____行第___列．【答案】

64

6【分析】根据每一行最后一个数得到规律：第n行最后一个数是1+2+3++n=，计算第63行最后一个数，由此得到答案．【详解】解：第一行最后一个数是1，第二行最后一个数是3=1+2，第三行最后一个数是6=1+2+3，第四行最后一个数是10=1+2+3+4，∴第n行最后一个数是1+2+3++n=，=2080，∴第63行最后一个数是2016，∴2022是第64行第6个数，故答案为：64，6．【点睛】此题考查了数字的排列规律，正确理解各行数字的排列规律并总结规律运用是解题的关键．7．（2022·江苏·常州市北郊初级中学二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了_____米．【答案】45【分析】根据走路规律，求出走的次数即可解得．【详解】解：设第n次转动面向西方，第二次面向西方时一共转了，当时第二次面向西方，一共走了（米）；故答案为：45．【点睛】此题考查了行程规律问题，解题的关键时根据规律列式求出走的次数．8．（2022·湖北恩施·九年级期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1．若我们规定一个新数i，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数n，我们可以得到，同理可得，，，那么的值为______．【答案】【分析】，，，，，，从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可．【详解】解：由题意得，，，，，，，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．9．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图2所示，则a+b+c+d+e+f+g+h=_____．【答案】23或32##32或23【分析】观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可【详解】解：观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方．第2行数是40，所以原数的十位数字和个位数字的乘积是40÷2=20，那么这两个数就应该是4和5，所以这两位数是45或54，即或，所以a+b+c+d+e+f+g+h=1+6+2+5+2+0+2+5=23；或a+b+c+d+e+f+g+h=2+5+1+6+2+9+1+6=32；故答案为：23或32．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键．10．（2022·全国·九年级专题练习）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；，2的乘方的个位数字4个一循环，，的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；，，且，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．11．（2022·全国·九年级专题练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：第2行的第一个数字：第3行的第一个数字：第4行的第一个数字：第5行的第一个数字：…..，设第行的第一个数字为，得设第行的第一个数字为，得设第n行，从左到右第m个数为当时∴∵为整数∴∴∴故答案为：．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．12．（2022·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．根据此规律，则第个图中的______．【答案】【分析】通过观察图形可得出，，，代入即可得到答案．【详解】解：观察图形可知：，，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了数字变化规律型题．关键是由特殊到一般，找出数字算式运算规律．13．（2022·台湾·模拟预测）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：(1)假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成个绿藻细胞，则之值为何？(2)承（1），已知60亿介于与之间，请判断个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？【答案】(1)18(2)足够【分析】（1）根据题意，分别写出从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，经过40小时分裂成个绿藻细胞，即可得出答案；（2）根据题意可得制作8公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞，再估算出亿的范围，并与进行比较，即可判断．(1)15天小时小时，个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，经过（小时），分裂成个绿藻细胞，经过（小时），分裂成个绿藻细胞，．经过（小时），分裂成个绿藻细胞，之值为18；(2)每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，制作8公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞，亿介于与之间，亿，即亿，而，亿，个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」．【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出的值．14．（2022·重庆·三模）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”；理由见解析(2)m的值为9909或2110或6422【分析】（1）根据“筋斗数”的定义即可判断；（2）设m的个位数为a，十位数为b，根据是“筋斗数”，则m的百位数为a+b，千位数为2b+a，再根据与13的和能被11整除，即可解答．(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；∵6=4+2，，∴2642不是“筋斗数”；(2)设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为0＜b≤9，且a、b为整数∵是“筋斗数”，∴m的百位数为a+b，千位数为2b+a；∴m=1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a=1100a+110b+2000b+a∵与13的和能被11整除，∴1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，∵2b+a≤9且a、b为整数∴b≤4.5∵1100a+110b能被11整除，∴2000b+a+13能被11整除，∴b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2或b=3，a=4，或b=4，a=6，∴a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10（舍去）或a+b=10，2b+a=14（舍去）∴的值为9909或2110或6422【点睛】本题是一道新定义题目，考查了有理数整除的相关性质，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果，解题的关键是能够理解定义．15.（2022·全国·九年级专题练习）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，故答案为：；（2）解：第n个等式为，证明如下：等式左边：，等式右边：，故等式成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．16．（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；③当a＝3时，352＝1225＝；……(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．【答案】(1)③；(2)相等，证明见解析；(3)【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；③当a＝3时，352＝1225＝；（2）解：相等，理由如下：100a(a＋1)＋25=（3）与100a的差为2525，整理得：即解得：1≤a≤9，【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．题型2：图形规律探究典例：（2022·湖北宜昌·九年级期末）（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．①求三角形点阵中前10行的点数和；②若三角形点阵中前a行的点数之和为300，求a的值；③三角形点阵中前b行的点数之和是600吗？（填“能”或“不能”）（2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，①求这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）；②这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由．解：（1）①三角形点阵中前10行的点数和为：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55；②由题意可得：1＋2＋3＋4＋5＋…＋a＝300，即，整理得a2＋a－600＝0，（a＋25）（a－24）＝0，∴a1＝－25，a2＝24，∵a为正整数，∴a＝24；

③由（1）得b（b+1）＝600×2，即，方程无整数解，三角点阵中前b行的点数的和不能是600．（2）①这个三角形点阵中前n行点数和为：2＋4＋6＋…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）＝n（n＋1）；②三角点阵中前n行的点数的和能是600．理由如下：依题意，得n（n＋1）＝600，即n2＋n－600＝0，△＝49，开平方得出整数，故三角点阵中前n行的点数的和能是600．n＝24巩固练习1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有4个黑点，第②个图形中一共有9个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，…，则第⑩个图形中黑点的个数是（

）A．44 B．48 C．49 D．54【答案】C【分析】仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可．【详解】解：观察图形发现：第①个图形有个黑点；第②个图形有个黑点；第③个图形有个黑点；第④个图形有个黑点；…第n个图形有个黑点；当时，有个黑点，故选：C．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．2．（2022·重庆市丰都县平都中学校九年级期中）观察下列图形规律，其中第1个图形由6个〇组成，第2个图由14个〇组成，第3个图由24个〇组成，，照此规律下去，则第6个图由〇的个数一共是（）A．64 B．65 C．66 D．67【答案】C【分析】根据第1个图形由6个〇组成，第2个图形由14个〇组成，第3个图形由24个〇组成，得出第个图形〇的个数是，进而得到第6个图形〇的个数．【详解】解：第1个图形由6个〇组成，，第2个图形由14个〇组成，，第3个图形由24个〇组成，，第个图形〇的个数是，第6个图形〇的个数．故选：C．【点睛】此题考查了图形类规则的探索，解题的关键是根据题意，找出图形的规律．3．（2022·浙江·北大附属台州书生学校二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（

）次可到达的位置．A．887 B．903 C．90 D．1024【答案】B【分析】由题意得：从点P从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可；【详解】解：由题意得：从点P从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为，∵，∴点从跳到跳动了：，故选：B．【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．4．（2022·重庆南开中学九年级期中）用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（）A．42 B．52 C．56 D．63【答案】B【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．【详解】解：第①个图案中有个五角星，第②个图案中有个五角星，第③个图案中有个五角星，第④个图案中有个五角星，∴第n个图案中有个五角星，当时，个五角星，故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律．5．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，且，则符合条件的n有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据勾股定理计算出，，，，…，，然后根据的值是整数，且，写出符合条件n的值，即可得到答案．【详解】依据题意可得：∴，，则，，…，∵的值是整数，且，∴，∴n=5或20或45，符合条件的n有3个．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，图形的变化规律，最简二次根式等相关内容，解题关键是发现数字的变化特点，利用勾股定理的知识进行解答．6．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.【答案】【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．【详解】解：∵第一个图形有根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有木料，∴第个图形有根木料，故答案为：．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．7．（2022·甘肃·平凉市第七中学二模）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是___________．【答案】【分析】通过前面四个图形，总结出黑色棋子个数的规律，即可求解．【详解】解：第1个图形，黑色棋子的个数为，第2个图形，黑色棋子的个数为，第3个图形，黑色棋子的个数为，第4个图形，黑色棋子的个数为……第个图形，黑色棋子的个数为故答案为：【点睛】此题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据所给图形，总结出规律，从而求解．8．（2022·甘肃·嘉峪关市明珠学校一模）如图，平面直角坐标系内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第二次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，动点P第次运动到的点的坐标是_______．【答案】【分析】根据图形分析点P的运动规律：第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次为一个循环，即可得到答案．【详解】解：第1次运动到点，第二次运动到点，第3次运动到点，，第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次一个循环，从第一次运动到的纵坐标开始，分别为、、、、，动点第次运动到的点的坐标是，故答案为：．【点睛】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形运动坐标变化规律，得到点P的坐标是解题的关键．9．（2022·山东枣庄·九年级期中）如下图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒⋯若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为__．图1

图2

图3【答案】253【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论．【详解】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要根小木棒，第3个图形需要根小木棒，按此规律，第个图形需要根小木棒，当时，解得，故答案为：253．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．10．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期中）如图是由同样大小的五角星按一定规律组成，其中第①个图形有2个五角星，第②个图形有4个五角星，第③个图形有8个五角形，第④个图形有14个五角形，则第10个图形有_____个五角星．【答案】【分析】根据题意，观察图中五角星个数，得到规律为，当时，求出五角形个数即可得到答案．【详解】解：根据题意，可知：第①个图形有2个五角星，个数为；第②个图形有4个五角星，个数为；第③个图形有8个五角形，个数为；第④个图形有14个五角形，个数为；第个图形五角形个数为；当时，五角形个数为，故答案为：．【点睛】本题考查图形与数字结合的规律问题，从个数中找到规律为是解决问题的关键．11．（2022·宁夏·银川外国语实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边做正方形，再以正方形的对角线为边做正方形……以此类推，则正方形的边长是_____________【答案】【分析】首先先求出的长度，找出正方形边长的变化规律，然后根据规律获得答案即可．【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，……可知正方形的边长为，所以，正方形的边长是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定每次正方形的边长变为原来的倍．12．（2022·山东·禹城市教育和体育局二模）如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时，______．【答案】【分析】根据题意作出圆心与切点的连线，表示出直线原点O与圆心之间的线段关系，然后寻找规律得出答案．【详解】解：分别过半圆，半圆，…，半圆的圆心作，如图，∵半圆与直线l相切，∴，当直线l与x轴所成锐角为时，，在中，，∴，在中，，即，∴，同理可得，，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了规律型、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，找出规律是解题的关键．13．（2022·广东佛山·九年级期中）如图，中，，，边上的高，点分别在边上，且四边形为矩形，，点分别在边上，且四边形为矩形，，…按此规律操作下去，则线段的长度为_____．【答案】【分析】设，则可得，由相似可得，由条件可求得的值，再由勾股定理可求得的长，再由可求得，类似地可求得,进而求得，继续这一过程可得，最后求得结果．【详解】∵，∴设，则可得，∵四边形为矩形，∴，，∴，∴，即，∴，∵∴，∴；由勾股定理得，∵，∴∴；由于，且四边形为矩形，，类似地得：,∴，，…，，∴．故答案为：．【点睛】本题是图形规律的探索问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识，由特殊入手，得到一般规律是关键．14．（2022·广西南宁·九年级期中）如图，已知点，，，在函数位于第二象限的图象上，点，，，在函数位于第一象限的图象上，点，，，在轴的正半轴上，若四边形、，，都是正方形，则正方形的对角线长为_____．【答案】【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可．【详解】解：是正方形，与轴的夹角为，的解析式为，联立方程组得：，解得或，点的坐标是：；，，，∴直线的解析式为：，联立方程组得：，解得或，点的坐标是：；，，依此类推，则正方形的边长为，故答案为：．【点睛】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．15．（2022·安徽·铜陵市第十五中学九年级期中）如图，用同样规格黑白亮色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题．(1)在第n个图中，第一横行共有_________块瓷砖，第一竖列共有__________块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为__________；（用含n的式子表示）(2)上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；(3)黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，求问题（2）中，共需要多少钱购买瓷砖．【答案】(1)在第n个图中，每一横行共有块，每一竖列共有块，铺设地面所用瓷砖的总块数为或(2)此时(3)共需要1604元钱购买瓷砖【分析】（1）通过观察可知第n个图中，第一横行共块瓷砖，第一竖列共有块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为或；（2）根据题意可得，解关于n的一元二次方程即可；（3）观察图形可知，每一横行有白砖块，每一竖列有白砖n块，因而白砖总数是块，时，白砖为（块），黑砖数为（块），即可得答案．【详解】（1）解：通过观察得：时，横行有块，竖列有块，时，横行有块，竖列有块，时，横行有块，竖列有块，…，在第n个图中，每一横行共有块，每一竖列共有块，铺设地面所用瓷砖的总块数为或；（2）解：根据题意得：，解得：（不符合题意，舍去）此时；（3）解：观察图形可知，每一横行有白砖块，每一竖列有白砖n块，所以白砖总数是块，时，白砖为（块），黑砖数为（块），所以总钱数为（元），共需要1604元钱购买瓷砖．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是寻找规律，列出方程．16．（2022·山西忻州·九年级期中）阅读与思考方法介绍：同学们、生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合，建立数学模型的方式来解决．例如：我校七年级有五个班在落实“双减“政策，丰富课余生活，每个班只能组建一个球队，代表该班参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图1所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数、这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有（条）线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛．学以致用：(1)由于七年级学生积极性高涨，还要求再比赛，体育组为了让更多的同学参加，体现班级的凝聚力，这次要求每班组建2个球队，且每个队与其他各队比赛一场且本班的两个球队也要比赛．学校一共安排20场比赛，对吗？请借助图2直接判断，若不正确，请直接写出学校一共安排的场数；(2)根据规律，直接写出如果学校准备组织n个篮球队参加比赛，每两个球队之间都比赛场，若比賽场数用m表示，直接写出m与n的数量关系式；(3)D53670是从大同南开往运城北的高铁，若途中任两站的距离都不相等，在这趟高铁中共设有45种不同的票价，求途中有多少个停车点，【答案】(1)不正确，45(2)(3)途中有8个停车点【分析】（1）根据题目给出的例子求解即可；（2）根据题意和第一问找出规律即可；（3）根据第二问的结论进行计算即可．（1）不正确，理由如下，由题意得，七年级总共有（个）球队，作如图：由图得一共有10个点，且每个点都要与另外9点连接一条线段，这样10个点应该有（条）线段，∵而每两个点之间的线段都重复计算了一次，∴实际只有45条线段，∴学校一共安排20场比赛不正确，学校一共要安排45场比赛；（2）根据以上规律可知：学校准备组织n个篮球队参加比赛，则该校一共要安排；（3）设途中有x个停车点．根据题意，得．解这个方程，得（不合题意，舍去）．答：途中有8个停车点．【点睛】本题考查了找规律，解决本题的关键是根据题意和图形找规律．题型3：图形周长探究问题典例：（2022·河北唐山·二模）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．（1）①用含m的代数式表示S甲＝_______________，S乙＝_______________．②用“<”、“＝”或“＞”号填空S甲_______________S乙，（2）若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为S正，①该正方形的边长是____________．（用含m的代数式表示）；②小方同学发现，“S正与S乙的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．解：（1）①，；故答案为m2+10m+16；；②∵，∴，故答案为＜；（2）①∵正方形的周长＝乙长方形的周长＝2（m+4+m+6）=4m+20，∴该正方形的边长是：故答案为：；②正确，理由：∵，∴与的差是1，与无关．巩固练习1．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（

）A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积【答案】C【分析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为xy，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．【详解】根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为xy，所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG==2xy，所以根据题意，已知条件为xy的值，A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；B.四边形EFGH的面积=y2，根据条件无法求出，不符合题意；C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意；D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）两张全等的矩形（非正方形）纸片先后按如图①呈轴对称方式，按如图②呈中心对称方式放置在同一个正方形中，若知道图形①与图形④的面积差，则一定能求出（

）A．图形②与③的面积差 B．图形②与③的周长差C．图形②与③的面积和 D．图形②与③的周长和【答案】B【分析】根据题意设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，先用字母表示出图形①、④的面积，根据题意得到（xy）为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项．【详解】解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，图形④的面积=（2xa）（2ya）=（4xy2ax2ay+a2），图形①的面积=（x+ya）（x+ya）=（x2+y2+2xy+a22ax2ay），∴图形①与图形④的面积差=（x2+y2+2xy+a22ax2ay）（4xy2ax2ay+a2）=（x2+y22xy）=（xy）2，图形②的面积=（ay）2=a22ay+y2，图形③的面积=（ax）2=a22ax+x2，∴图形②与图形③的面积差=a22ay+y2（a22ax+x2）=2ay+y2+2axx2，故A选项不符合题意；图形②与图形③的面积和=a22ay+y2+（a22ax+x2）=2a22ay+y22ax+x2，故C选项不符合题意；图形②的周长=4（ax），图形③的周长=4（ay），∴图形②与图形③的周长和=4（ax）+4（ay）=8a4y4x，故D选项不符合题意；∴图形②与图形③的周长差=4（ax）4（ay）=4（yx），又∵图形①与图形④的面积差=（xy）2，为已知，即（xy）为已知，故B选项符合题意，故选：B．【点睛】本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质、全等图形和正方形的性质，解题的关键是根据用字母根据矩形和正方形的性质表示出各条线段．3．（2022·浙江金华·一模）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（

）A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长【答案】D【分析】设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，则长方形面积为：，再分析选项即可．【详解】解：设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，则长方形面积为：，∵（1）（2）是两个面积相等的梯形，∴，∴，即，∴长方形面积为：，∵（1）与（2）的周长之差为：，∴A选项的条件不能求出长方形面积；∵（3）的面积为：，∴B选项的条件不能求出长方形面积；∵（1）与（3）的面积之差为：，∴C选项的条件不能求出长方形面积；长方形的周长为：，∴D选项的条件能求出长方形面积．故选：D【点睛】本题考查正方形面积，梯形面积，长方形面积和周长，整式的混合运算，掌握面积的计算公式及整式混合运算法则是解题的关键．4．（2022·湖北恩施·一模）如图叫做雪花曲线，它可以从一个等边三角形（图①）开始画：把一个等边三角形的每边分成相同的三段，再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形，这样一来就做成了一个六角星（图②）．然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，出现了一个有18个尖角的图形（图③）．如此继续下去，就能得到分支越来越多的曲线（图④）．继续重复上面的过程，图形的外边界逐渐变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致，越来越复杂，越来越像雪花、越来越美丽了．若图①中等边三角形的边长为1，则第4个图形的周长为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】首先根据前面几个图形找到相邻周长之间的关系，再进一步得到和第一个图形的周长之间的关系．【详解】解：图①中等边三角形的边数是3，边长为1，周长为1×3=3；图②中的“雪花曲线”的边数是12，边长是，周长为12×=4=×3；图③中的“雪花曲线”的边数是48，边长是，周长为48×==×3；∴图④中的“雪花曲线”的边数是48×4=192，边长是，周长为192×=×3=；故选C．【点睛】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律．5．（2022·全国·七年级专题练习）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的的长方形中．设正方形C的边长为，正方形D的边长为．则下结论中正确的是（

）A．正方形C的边长为 B．正方形A的边长为C．正方形B的边长为 D．阴影部分的周长为【答案】D【分析】根据题意表示出正方形A、B的边长，长方形E的长和宽，通过图1的周长得到x、y的关系，在表示出阴影部分的周长求解即可；【详解】解：由题意正方形A的边长为：x+y正方形B的边长为：x+2y长方形E的长为：x+3y长方形E的宽为：xy∴图1中长方形周长为：2(x+x+y+x+y+x+2y)=16cm∴x+y=2图2阴影部分的周长为：24(2x+2y+x+3y+xy+x+2y+x+y+x+y)+2x+2y+xy+x+2y+x+y+y+y=242（x+y）=244=20cm故选：D【点睛】本题主要考查代数式的化简及求值，解本题的关键在于结合图形正确列出代数式．6．（2022·浙江·宁波市第七中学九年级期中）图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则的值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为d，表示出S2，S1，l1，l2，再代入S2S1=即可求解．【详解】解：设大长方形的宽短边长为d，∴由图2知，d=bc+a，∴l1=2（a+b+c）+（da）+（dc）+（ab）+（bc）=2a+2b+2d，S1=d（a+b+c）a2b2c2，l2=a+b+c+d+a+c+（ab）+（bc）=3a+b+c+d，S2=d（a+b+c）a2b2+bc，∴S2S1=bc+c2，l1l2=bca+d，∴bc+c2=()2，∴bc+c2=（bc）2，∴3bc=b2，∴b=3c，∴b：c的值为3，故选：D．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．7．（2022·全国·九年级专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造一组正方形（如图1）；再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个拼成如图2长方形并记为①，②，③，④若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是（）A．110 B．100 C．105 D．90【答案】A【分析】结合图形分析可得：①的周长为，②的周长为，③的周长为，④的周长为，由此推断即可；【详解】由分析可得：①的周长为，②的周长为，③的周长为，④的周长为，第⑤个的周长为：2×（8+13），第⑥的周长为：2×（13+21），第⑦个的周长为：2×（21+34）＝110；故选：A．【点睛】本题主要考查了图形规律题，准确计算是解题的关键．8．（2022·辽宁·沈阳市实验学校九年级期中）长方形的长为，宽长为a，则这个长方形的周长是_________．【答案】【分析】根据题意和长方形的周长公式，可以用含a、b的代数式表示这个长方形的周长．【详解】解：∵长方形的长为，宽长为a，∴这个长方形的周长是．故答案为：．【点睛】本题考查整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】【分析】根据矩形性质和矩形周长，得到，然后设，然后根据列出代数式即可求解阴影部分面积．【详解】∵矩形的周长为，∴，设，则，，，，故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质，和列代数式及整式的化简，关键是读懂题目，列出代数式．10．（2022·北京·九年级单元测试）如图1，小长方形纸片的长为2，宽为1，将4张这样的小长方形按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形A和B，设长方形A和B的周长分别为和，则______________（填“>”、“=”或“<”）【答案】=【分析】设图2中大长方形长为x，宽为y，再表示出长方形A和B的长和宽，进而可得周长，然后可得答案．【详解】解：设图2中大长方形长为x，宽为y，则长方形A的长为x﹣1，宽为y﹣3，周长＝2（x﹣1+y﹣3）＝2x+2y﹣8，长方形B的长为x﹣2，宽为y﹣2，周长＝2（x﹣2+y﹣2）＝2x+2y﹣8，则＝，故答案为：=．【点睛】本题主要考查整式的加减，关键是正确设出未知数，表示出长方形A和B的长和宽．11．（2022·安徽六安·七年级期中）如图1是长为a，宽为b的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形（长为4，宽为3）的盒子底部（如图2），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长之和为__________（填具体数值）【答案】【分析】根据题意，找出阴影部分的长和宽与长方形盒子的关系，列出式子，即可得解．【详解】由题意得：两块阴影部分的周长之和为，故答案为：．【点睛】本题主要考查整式的加减的实际应用，熟练掌握即可解题．12．（2022·安徽·一模）某校数学小组开展了趣味剪纸活动。【观察】如图，图①是一块边长为，周长记为的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第块纸板的周长为(1)【了解】_______________________；_______________________．(2)【实践】如果一个正三角形纸板面积为6，通过两次这种方法裁剪，得到最小的正三角形的面积为？【答案】(1)；(2)最小的正三角形的面积为【分析】（1）利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案；（2）每次裁剪出的三角形与原来的三角形都相似，根据相似三角形的性质求解即可．（1）解：∵P1＝a＋a＋a＝3a，P2＝a＋a＋＝，P3＝a＋a＋＝，P4＝…∴，，…则；故答案为：；．（2）解：∵通过两次这种方法裁剪后，最小的正三角形的边长为原来三角形边长的，又∵最小三角形与原三角形相似，∴相似比为，∵相似三角形的面积比为相似比的平方，∴最小三角形的面积为：．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问题．13．（2022·浙江·八年级单元测试）将一根长为的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为，腰为．(1)求剪掉部分的铁丝长度．(2)若围成的等腰三角形的周长为，求铁丝的长度．【答案】(1)剪掉部分的铁丝长度为(2)铁丝的长度为【分析】（1）根据题意列出代数式，再进行整式的加减运算即可得解；（2）根据（1）的结果，代入周长即可求解．（1）等腰三角形的周长为：．故剪掉部分的铁丝长度为．（2）根据（1）中的结论等腰三角形的周长为：，则，∴，故铁丝的长度为．【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式．14．（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十七中学九年级期中）下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，……按此规律排列，回答下列问题：（1）第4个图形的周长为___________；（2）第个图形的周长为_________；（3）第个图形的周长能否为155？如能求出的值，如不能，请说明理由．【答案】（1）28；（2）；（3）不能，理由见解析．【分析】（1）观察不难发现，从第2个图形开始，每个图形的周长就是一个矩形的周长，根据周长公式计算即可得到答案；（2）由（1）可发现周长是n（n+3）；（3）代入（2）中的式子，解方程可得结论．【详解】（1）如图，由平移的性质可得第2个和第3个图形的边长就是第1个图形的周长为4，如图，由平移得：第2个图形的周长就是长为3，宽为2的矩形的周长，为2（2+3）=4+6=10=2×5，同理得：第3个图形的周长为：2（3+6）=6+12=18=3×6，∴第4个图形的周长为2（4+10）=8+20=28=4×7，故答案为：28；（2）第n个图形的周长为：n（n+3）=n2+3n；故答案为：n2+3n；（3）假设第个图形的周长为155时，则有n2+3n=155，n2+3n155=0，解得，，∵n是自然数，∴不能求出的值．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察出每个图形的周长是一组规律数是解题的关键．15．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）现有甲乙两个矩形，其边长如图所示（a＞0），周长分别为C甲和C乙，面积分别为S甲和S乙．(1)用含a的代数式表示C甲＝；C乙＝；S甲＝；S乙＝．(2)通过观察，小明发现“甲、乙两个矩形的周长相等，与a值无关”；小亮发现“a值越大，甲、乙两个矩形的面积之差越大”．你认为两位同学的结论都正确吗？如果不正确，请对错误同学的结论说明理由．【答案】(1)4a+24；4a+24；；；(2)小明的结论正确，小亮的结论错误，见解析【分析】（1）根据周长和面积公式计算即可；（2）利用（1）的结论解答即可．（1）解：C甲＝2（a+9+a+3）=4a+24；C乙＝2（a+7+a+5）=4a+24；S甲＝（a+9）（a+3）=；S乙=（a+7）（a+5）=；故答案为：4a+24；4a+24；；；（2）由（1）知；，∴甲、乙两个矩形的周长相等，与a值无关；甲、乙两个矩形的面积之差为定值8，与a值无关，故小明的结论正确，小亮的结论错误．【点睛】此题考查了整式的计算，整式的加减法，整式的乘除法，正确掌握整式的计算法则是解题的关键．题型4：与整式有关的图形面积问题典例：（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的相同的小长方形，且．(1)该大长方形纸板的长为___________厘米，宽为___________厘米．（用含、的代数式表示）(2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________．(3)若图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积．解：（1）根据题意可得：大长方形纸板的长为厘米，宽为厘米，故答案为：，；（2）根据题意可知即为整个图形的面积，则，故答案为：；（3）根据题意可得，，∴，，∴，∴，∴，∴空白部分的面积为平方厘米．巩固练习1．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，有足够多的完全相同的小长方形（图1）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为a，b，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为，．(1)如图2，若，，，直接写出的面积________，的面积________；(2)如图2，当，时，直接写出和的周长和是________；(3)如图3，若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是2，分别求大长方形的两邻边AB，AC的长．【答案】(1)40；10(2)60(3)，．【分析】（1）根据图形，利用矩形面积公式即可求解；（2）由题意得出，，，，根据矩形周长公式列式计算即可求解；（3）设，用m分别表示各正方形的边长，列式计算即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴；；故答案为：40；10；（2）解：如图，和的周长和是∵，，，，∴故答案为：60；（3）解：如图，，设，，，，，∵，∴，解得，∴，．【点睛】本题考查整式加减，涉及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键．2．（2022·福建省厦门第二中学八年级期中）如图，4张长为x，宽为y(x>y)的长方形纸片拼成一个正方形．(1)当正方形的周长是正方形周长的3倍时，求的值；(2)用含x，y的代数式表示图中所有阴影部分面积的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正方形的周长是正方形周长的3倍列等式可得：，从而得结论；（2）利用面积差可得阴影部分的面积和．【详解】（1）解：由题意得：，解得：，∴．（2）解：【点睛】本题主要考查了完全平方式和整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：问题一：，（1）则______，________；（2）计算：．问题二：已知，（1）则________，________；（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．【答案】问题一：（1），；（2）；问题二：（1），；（2）39【分析】问题一：（1）将yz看成整体即可解答；（2）将（2a+b）看成整体，根据平方差公式解答；问题二：（1）根据完全平方公式展开整理得出答案；（2）根据已知条件得出，再根据（1）中的结论代入计算即可．【详解】问题一：（1）因为,所以，．故答案为：x，yz；（2）计算：原式===；问题二：（1）因为，，所以，；故答案为：，；（2）由题意得：，整理得：，则将，代入得：原式．故的值为39．【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，用整体思想理解两个公式是解题的关键．4．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）从前，有一位庄园主把一块边长为m米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，相邻的另一边减少5米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”．如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（

）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定【答案】C【分析】分别求出变化前后2次的面积，比较大小即可．【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为，∵，∴面积变小了，故选：C．【点睛】本题主要平方差公式与几何图形的知识，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．5．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级期中）已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为______．【答案】##【分析】根据长方形的面积公式求出长方形的宽，再根据周长公式求出即可．【详解】∵长方形的面积为，长为，∴长方形的宽为：，∴长方形的周长为：，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，根据面积公式求出长方形的宽，正确化简多项式都是解决此题的关键．6．（2022·山东青岛·七年级期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为______．【答案】【分析】，，图①中阴影部分的面积为，②中阴影部分面积为，且，由此即可求解．【详解】解：如图所示，图①中阴影部分面积为∴，且，，，∴；如图所示，图②中阴影部分面积为∴，且，，，∴，∴，当时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查图像变换与面积的关系，理解图形变换中边与边的和与差的关系是解题的关键．7．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心七年级期中）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）．(1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的周长C和面积S；(2)若米，米，修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W的值．【答案】(1)周长，面积(2)840000元【分析】（1）所有的边数之和即是广场的周长；求出大长方形的面积，再减去空白部分的面积即可求出广场的面积；（2）代入求值得出阴影部分面积，总面积乘以每平米费用即可得出总费用．【详解】（1）根据题意有，解：广场的周长：，广场的面积：；∴；（2）解：当米，米时，（平方米），（元），∴修建广场的总费用W的值为840000元．【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，单项式与多项式的乘法，以及代数式求值知识点，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．8．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；(2)若，，求比多出的使用面积．【答案】(1)(2)50【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．【详解】（1）解：中能使用的面积为，故答案为：．（2）解：中能使用的面积为，则比多出的使用面积为，，，，答：比多出的使用面积为50．【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．9．（2022·陕西咸阳·七年级期中）如图，为了美化小区环境，某小区在一块长方形空地的两角修建扇形花园，然后在中间修建一条宽为米的小路，剩下的部分修建成草坪，已知空地的长为a米，宽为b米，扇形花园半径为r米．(1)花园的面积为___________，小路的面积为___________；（用含a，b，r的代数式表示，结果保留）(2)用含a、b、r的代数式表示草坪的面积；(3)当，，时，求草坪的面积．（取3.14，结果精确到1平方米）【答案】(1)；(2)(3)草坪的面积约为28平方米【分析】（1）根据两个扇形面积和等于半圆面积，列代数式表示花园的面积，根据长方形面积公式列代数式表示小路的面积即可；（2）利用长方形的面积减去半圆面积，再减去小路的面积表示即可；（3）将已知条件代入（2）中的代数式计算即可得出结论．【详解】（1）解：花园的面积，小路的面积；故答案为：，；（2）解：草坪的面积，∴草坪的面积为；（3）解：当，，时，(平方米)，答：草坪的面积约为28平方米．【点睛】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用长方形的面积减去半圆面积面积，再减去小路的面积来表示草坪的面积是解题的关键．10．（2022·广东·广州大学附属中学七年级期中）由两块的长方形和一块边长为的正方形拼成如下图形．(1)如图1，用含、、的式子表示出该图形的面积________（直接写出结果）(2)已知，．①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的二个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三角形的面积分别记作和，试通过计算比较与的大小关系；②如图3，是边长为的正方形边上一个点，、是图形上如图所示的两个顶点，点为线段上一动点，当三角形的面积不随点位置变化而变化，求的长度．（用含的式子表示）【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式即可得出答案；（2）①作出辅助线如图所示，用长方形面积减去三个三角形面积即可得出和，然后作差比较即可；②设的长度为x，根据三角形的面积不随点位置变化而变化，可得，据此列出等式，即可求出的长度．【详解】（1）解：正方形的面积为：，两个长方形的面积为：，因此该图形面积为：，故答案为：；（2）解：①如图所示：，，，；②如图，设的长度为x，则．，，点为线段上一动点，三角形的面积不随点位置变化而变化，，，解得，即的长度为．【点睛】本题考查代数式的应用，整式的加减运算，解一元一次方程，能够用代数式表示出相关三角形的面积是解题的关键．11．（2022·河南省鹤壁市淇滨区鹿鸣中学七年级期中）如图，长为60cm，宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A、B外，其余5块是形状大小完全相同的小长方形，其中小长方形的较短一边长度为10cm．(1)从图可知，每块小长方形的较长的一边长度是______cm．(2)代数式，中，哪一个代数式的值为正数？______（填“”或“”）(3)请你先用含x的代数式表示阴影A、B的面积，并说明：阴影A的面积一定比阴影B的面积大．【答案】(1)30(2)(3)，，见解析【分析】（1）根据“大长方形较长边的长小长方形较长边的长小长方形较短边的长”变形后求出小长方形较长边的长；（2）根据（1）的结论即可判断；先用含x的代数式分别表示阴影A、B的宽，再利用整式的运算法则计算出A、B的面积并说明A、B的面积差为．【详解】（1）解：根据题意得：小长方形较长边的长．故答案为：30；（2）解：∵阴影长方形B的宽，∴．故答案为：；（3）解：∵，，∴．【点睛】本题考查了列代数式及整式的运算，看懂题图理解题意是解决本题的关键．12．（2022·江苏徐州·七年级期中）将5张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．(1)当时，长方形的面积是，的值为；(2)当时，请用含a、b的式子表示的值；(3)若长度为定值，的长度不确定，将这5张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内．当的长度改变时（），的值总保持不变，则a、b满足的什么关系？【答案】(1)225，1(2)(3)【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可．求出和的面积，再相减即可；（2）用含a、b的式子表示出和的面积，再相减即可；（3）用含a、b、的式子表示出，进而可表示出，再根据的值总保持不变，说明与的值无关，整理后，即让的系数为0即可，从而即可得出a、b满足的关系．【详解】（1）长方形的长为，宽为，∴；∵，，∴．故答案为：225，1；（2）由（1）可知，，∴；（3）由（1）可知，，∴，．∵若的长度为定值，长度改变时，的值总保持不变，∴，即．∴a、b满足的关系是．【点睛】此题考查整式的加减运算，列代数式，代数式求值．利用数形结合的思想是解题关键．13．（2022·福建泉州·八年级期中）波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系”，这就是“算两次”原理，也称富比尼原理．例如：计算如图中正方形的面积，可以是，也可把图中正方形看做是由个长方形和个小正方形组成的，则它的面积是，由此得到：．(1)如图，正方形是由四个边长分别是、的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图中正方形的面积进行计算，可得等式______；（用含、的代数式表示）(2)已知：两数、满足，，求的值；(3)如图，正方形的边长是，它由四个直角边长分别是、的直角三角形和中间一个小正方形组成，对图中正方形的面积进行计算，可得等式______（用含、、的代数式表示，结果尽可能化简，不带括号）；(4)在（3）的条件下，当，时，；当，时，，求、的值．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)、的值分别为，．【分析】（1）根据正方形面积的不同计算方法可得等式；（2）根据（1）中所得等式，代入数据计算即可；（3）根据正方形面积的不同计算方法可得等式；（4）根据（3）中所得等式，结合题意可得关于，的方程组，进而求得，的值．【详解】（1）解：如图，正方形的面积可以表示为，也可以表示为，∴可得等式故答案为：；（2）解：∵，且，，∴，∴，∴的值为；（3）解：如图3，正方形的面积可以表示为，也可以表示为，∴可得等式，整理得：，故答案为：；（4）解：∵，时，；当，时，，且，∴，解得：，即、的值分别为，．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解二元一次方程组，解决问题的关键是运用面积法得出等式，注意数形结合思想的运用．14．（2022·陕西汉中·七年级期末）某村小麦种植面积是a公顷．水稻种植面积比小麦种植面积的3倍少5公顷，玉米种植面积比小麦种植面积的2倍多8公顷．(1)水稻的种植面积为__________公顷（用含a的代数式表示）；(2)水稻的种植面积比玉米的种植面积多__________公顷（用含a的代数式表示）；(3)求该村种植小麦、水稻和玉米三种农作物的总面积（单位：公顷）（用含a的代数式表示），当时，求该村种植这三种农作物的总面积【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根据“水稻种植面积比小麦种植面积的3倍少5公顷”即可得；（2）先根据玉米种植面积比小麦种植面积的2倍多8公顷可得玉米种植面积为公顷，再利用减去即可得；（3）将该村小麦、水稻和玉米三种农作物种植面积求和即可得，再将代入计算即可得．【详解】（1）因为小麦种植面积是亩，水稻种植面积比小麦种植面积的3倍少5公顷，所以水稻种植面积为公顷，故答案为：；（2）由题意得：玉米种植面积为公顷，则，即水稻的种植面积比玉米的种植面积大公顷，故答案为：；（3）根据题意可得：，当时，，答：该村小麦、水稻和玉米三种农作物种植的总面积；当时，的值为公顷．【点睛】本题考