432等比数列的前n项和公式教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性

4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）教学设计内容解析本节内容选自选择性必修二第四章《数列》第4.3.2节《等比数列的前n项和公式》第1课时.本节内容的本质是等比数列定义的代数变形.本节蕴含的思想方法是归纳推理、分类讨论.本节既是特殊的函数，又是后续研究微积分问题的有力工具.本节内容的育人价值为提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学素养.学情分析1.认知基础（1）经历了探索等差数列通项公式、求和公式以及等比数列通项公式的过程，积累了特殊数列求和的研究经验.（2）初步具备了从函数与方程的角度看待数列问题的思维习惯.2.认知困难（1）等比数列的前n项和公式导出（2）“倒序相加法”和“错位相减法”思维方法不同，容易产生知识的负迁移.教学目标1.能够从情境中抽象并建立等比数列前n项和的数学模型.2.能够说明错位相减的意义，并能够推导公式.3.能够运用公式解决具体的、简单的问题.教学重难点重点：掌握等比数列前n项和公式推导方法.难点：等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）的理解及解决一些简单的实际问题.教学过程设计（一）情景导入视频引入：国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言.【设计意图】：用视频的形式进行情景引入，从中提出研究课题，激发学生的好奇心和求知欲.（二）猜想公式问题1：故事里可以提炼出一个什么数学问题？将麦粒总数为？一般化等比数列前n项和问题.探究：等比数列如何求和？猜想.问题2：公比为q，首项为1的等比数列的前n项和？举例：归纳猜想：找出统一的形式结构，用基本量表示，得，所以.检验公式：当q=3，q=4时，公式是否成立？猜想公式：一般地，首项为，公比为的等比数列的前n项和.如何推导证明公式？【设计意图】：教师引导学生从特殊到一般归纳公式、检验公式，在归纳猜想的基础上进行推导证明，先猜后证，基于最近发展区进行后续思维活动.（三）推导公式任务1：分组讨论公式的推导过程？教师板书：①①×q得②①②得，即．当时，我们就得到了等比数列的前项和公式 ; 当时，等比数列的前项和.小结：该方法称为错位相减法.任务2：为什么乘以q，可以乘以其它数吗？①×得①×得你选择乘以哪个数？【设计意图】：教师在学生尝试证明公式受挫后，组织学生带着任务阅读教材，理解错位相减法.教师引导学生深入思考方法的本质，构建错位相减法与等比数列定义之间的认知结构，形成定义与应用之间的高阶认知，进而突出重点、突破难点.（四）分析公式已知则；已知则；特殊情况：当时，.【设计意图】：首先分析公式的基本结构和特征要素，促进学生更新已有认知、形成完整结构.结合等比数列定义得到等比数列前n项和的第二种形式，并强调特殊情况下的求和公式，实现思维的高通路迁移.（五）应用公式1.回归情景：棋盘上米粒数量.1000粒小麦的质量约为40g，麦粒的总质量超过了7000亿吨.如果按2022年世界小麦年产量26.28亿吨计算，是连续270多年产量总和；如果按人均每天吃1kg粮食计算，可供全世界80亿人吃上约240年.就算国王凑齐了小麦，这些小麦可以从地球到太阳累计成一个长10米，宽5米的“巨柱”.2.我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？翻译：已知数列是等比数列，，，，求？【设计意图】：回归情境解决问题，既形成首尾呼应，又学以致用，激发学生的获得感.解决我国明代数学家记载的问题，让学生翻译诗文、转化条件，既做到学科融合，又激发文化自信，在课堂落实文化育人的立德树人目标.3.类比（六）课堂小结由错位相减法，得到.特殊情况：当时，.思想方法：特殊到一般，分类讨论，归纳猜想.【设计意图】：整个教学过程中，教师通过问题串激发学生思考，引导学生层层深入、逐步递进.在活动探究中抓住课堂生成的契机，进行互评、他评，实施过程性评价、表现性评价；在目标达成中进行自评、师评，实施形成性评价、激励性评价，推进“教、学、评”一体化的落实.（七）课后作业1.复习巩固（必做）：课本第37页第1题2.综合应用（必做）：课本第41页第7题3.拓广探索（选做）：（美育作业）收集古今中外有关等比数列求和的历史成就，制作一幅画报，画报中至少含一个我国古代数学家的历史成就.（发展性作业）请查阅“芝诺悖论”“康托尔三分集”“一尺之锤”等材料，探究等比数列的前n项和的极限问题，并将你的思考写成一篇小论文.【设计意图】：分层设置作业，关注层次化差异和兴趣化导向，注重作业设计的