高考数学（理）一轮课时达标22正弦定理和余弦定理

课时达标第22讲［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判断三角形的形状，求三角形的面积等.三种考查内容均有呈现，一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度中等偏易.一、选择题1．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，则B＝(B)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)解析根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(\r(3),sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).2．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为(C)A．eq\r(2) B．2C．eq\r(3) D．3解析∵AC2＋BC2≥2AC·BC，∴AC·BC≤4.∵cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(4,2AC·BC)，∴cosC≥eq\f(1,2)，∴0°<C≤60°.∵S＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC，∴由不等式的性质可知当AC＝BC＝2时，面积S有最大值，Smax＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故选C．3．在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝eq\r(2)，则边长AC为(B)A．eq\r(3)－1 B．1C．2 D．eq\r(3)＋1解析根据题意有∠B＝180°－105°－45°＝30°，根据正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，得AC＝eq\f(\r(2)×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝1，故选B．4．在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(B)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(\r(3)＋\r(6),2) D．eq\f(\r(3)＋\r(39),4)解析设AC＝b，BC＝a，AB＝c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得7＝4＋c2－2c，解得c＝3.设BC边上的高为h，则h＝csinB＝eq\f(3\r(3),2).5．钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，则AC＝(B)A．5 B．eq\r(5)C．2 D．1解析S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).当B＝eq\f(3π,4)时，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝eq\r(5)，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝eq\f(π,4)时，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意，故AC＝eq\r(5).6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是(C)A．3 B．eq\f(9\r(3),2)C．eq\f(3\r(3),2) D．3eq\r(3)解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝eq\f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab.②由①②，得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).二、填空题7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列.若sinB＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(12,ac)，则a＋c的值为3eq\r(7).解析∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.∵sinB＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(12,ac)，∴ac＝13，∴b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2＋c2＝37，∴(a＋c)2＝63，∴a＋c＝3eq\r(7).8．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，则△ABC的面积等于2eq\r(3).解析如图所示，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(4,sinB)，解得sinB＝1，所以B＝90°.所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×2eq\r(3)＝eq\f(1,2)×eq\r(42－（2\r(3)）2)×2eq\r(3)＝2eq\r(3).9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b－c＝eq\f(1,4)a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为－eq\f(1,4).解析由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝eq\f(3,2)c.又∵b－c＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)a，即a＝2c.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c2)＝eq\f(－\f(3,4)c2,3c2)＝－eq\f(1,4).三、解答题10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2cosA－1)sinB＋2cosA＝1．(1)求A的大小；(2)若5b2＝a2＋2c2，求eq\f(sinB,sinC)的值.解析(1)∵(2cosA－1)sinB＋2cosA＝1，∴(2cosA－1)(sinB＋1)＝0.∵0<B<π，∴sinB>0，∴cosA＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc.∵5b2＝a2＋2c2，∴5b2＝b2＋c2－bc＋2c2，∴4b2＋bc－3∴4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\f(b,c)－3＝0.解得eq\f(b,c)＝－1(舍)或eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c)＝eq\f(3,4).11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面积.解析(1)由倍角公式，原等式可化为eq\f(cos2A＋1,2)－eq\f(cos2B＋1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6))).∵a≠b，∴A≠B.又∵A，B∈(0，π)，∴2B－eq\f(π,6)＋2A－eq\f(π,6)＝π，解得A＋B＝eq\f(2,3)π，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理可求得a＝eq\f(8,5).∵a<c，∴A<C＝eq\f(π,3)，∴cosA＝eq\f(3,5).∴sinB＝sin［π－(A＋C)］＝sin(A＋C)＝eq\f(4＋3\r(3),10)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25).12．(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝eq\f(tanA,cosB)＋eq\f(tanB,cosA).(1)证明：a＋b＝2c(2)求cosC的最小值.解析(1)由题意知2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinA,cosA)＋\f(sinB,cosB)))＝eq\f(sinA,cosAcosB)＋eq\f(sinB,cosAcosB)，化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB．因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC．从而sinA＋sinB＝2sinC．由正弦定理得a＋b＝2c(2)由(1)知c＝eq\f(a＋b