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文档简介
第2课时两平面垂直的判定学习目标1.了解二面角及其平面角的概念,能确定二面角的平面角.2.初步掌握面面垂直的定义及两个平面垂直的判定定理.知识点一二面角思考1观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角?答案二面角.思考2平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?答案二面角的平面角.梳理(1)二面角的概念①定义:一般地,一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形.②相关概念:(ⅰ)这条直线叫做二面角的棱;(ⅱ)每个半平面叫做二面角的面.③画法:④记法:二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.(2)二面角的平面角①定义:一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.②表示方法:若有(ⅰ)O∈l;(ⅱ)OA⊂α,OB⊂β;(ⅲ)OA⊥l,OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”,用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,则说明墙和地面什么关系?此时铅锤线与地面什么关系?答案都是垂直.梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直①定义:一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.②画法:③记作:α⊥β.(2)判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β类型一面面垂直的判定例1如图所示,在四棱锥S—ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.求证:平面EBD⊥平面ABCD.证明如图,连结AC,与BD交于点F,连结EF.因为F为平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,所以F为AC的中点.又E为SA的中点,所以EF为△SAC的中位线,所以EF∥SC.又SC⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面EBD,所以平面EBD⊥平面ABCD.反思与感悟(1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只需转证线面垂直,关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.(2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法,只需要证明两个平面构成的二面角为直二面角即可.跟踪训练1如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=eq\f(1,2)AA1,D是棱AA1的中点.证明:平面BDC1⊥平面BDC.证明由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.类型二与面面垂直有关的探索性问题例2如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,PA⊥底面ABCD,PA=eq\r(3).在CD上确定一点E,使得平面PBE⊥平面PAB.解取CD的中点E,连结PE,BE,BD.由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.所以当E为CD的中点时,平面PBE⊥平面PAB.反思与感悟存在性问题是将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明,变成开放性和探究性问题.需要先找到相应的点、线、面之间平行与垂直关系再进行证明,但也可能不存在对应的点、线、面平行与垂直关系.跟踪训练2如图,已知直角梯形ABCD中,E为CD的中点,且AE⊥CD,又G,F分别为DA,EC的中点,将△ADE沿AE折起,使得DE⊥EC.(1)求证:AE⊥平面CDE;(2)求证:FG∥平面BCD;(3)在线段AE上找一点R,使得平面BDR⊥平面DCB,并说明理由.(1)证明由已知得DE⊥AE,AE⊥EC.∵DE∩EC=E,DE,EC⊂平面DCE,∴AE⊥平面CDE.(2)证明取AB的中点H,连结GH,FH,∴GH∥BD,FH∥BC.∵GH⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,∴GH∥平面BCD.同理,FH∥平面BCD,又GH∩FH=H,∴平面FHG∥平面BCD,∵GF⊂平面FHG,∴GF∥平面BCD.(3)解取线段AE的中点R,DC的中点M,DB的中点S,连结MS,RS,BR,DR,EM,则MS綊eq\f(1,2)BC.又RE綊eq\f(1,2)BC,∴MS綊RE,∴四边形MERS是平行四边形,∴RS∥ME.在△DEC中,ED=EC,M是CD的中点,∴EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE,AE∥BC,∴BC⊥平面CDE.∵EM⊂平面CDE,∴EM⊥BC.∵BC∩CD=C,∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS,∴RS⊥平面BCD.∵RS⊂平面BDR,∴平面BDR⊥平面DCB.1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面有________个.答案无数解析由面面垂直的判定定理知,所有过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.2.下列说法中正确的是________.(填序号)①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β;②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β;③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β;④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.答案③解析①中,α与β还可能平行或相交且不垂直,所以①不正确;因为由平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,得α⊥β,所以②④不正确,③正确.3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示),图中互相垂直的平面有________对.答案5解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB.又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.4.如图所示,在三棱锥D—ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是________.(填序号)①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.答案③解析由AB=CB,AD=CD,E为AC的中点知,AC⊥DE,AC⊥BE.又DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.5.如图所示,在圆锥PO中,AB是⊙O的直径,C是上的点,D为AC的中点.证明:平面POD⊥平面PAC.证明如图所示,连结OC,因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC,AC⊂底面ABC,所以AC⊥PO.因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线,所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义.(2)利用面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.课时作业一、填空题1.在空间四边形ABCD中,如果AD⊥BC,BD⊥AD,那么下列判断正确的是________.(填序号)①平面ABC⊥平面ADC; ②平面ABC⊥平面ADB;③平面ABC⊥平面DBC; ④平面ADC⊥平面DBC.答案④解析∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.2.下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是________.(填序号)答案②④解析①不符合二面角定义;③从运动的角度演示可知,二面角的平面角不是最小角.3.如图所示,已知PA垂直于圆O所在平面.AB是圆O的直径,C是圆周上一点,则图中面面垂直的共有______对.答案3解析∵PA⊥平面ABC,PA⊂平面PAC,PA⊂平面PAB,∴平面PAC⊥平面ABC,平面PAB⊥平面ABC.又BC⊥AC,PA⊥BC,∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PCB,∴平面PCB⊥平面PAC.∴共3对.4.如图,已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中正确的是________.(填序号)①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面ABC.答案①②④解析如图所示,∵BC∥DF,∴BC∥平面PDF.∴①正确.∵BC⊥PE,BC⊥AE,PE∩AE=E,∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE,∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE).∴②④正确.5.以下角:①异面直线所成的角;②直线和平面所成的角;③二面角的平面角.可能为钝角的有________个.答案1解析异面直线所成角的范围为(0°,90°],直线和平面所成角的范围为[0°,90°],二面角的平面角的范围为[0°,180°],只有二面角的平面角可能为钝角.6.如果规定:x=y,y=z,则x=z,叫做x,y,z关于相等关系具有传递性,那么空间三个平面α,β,γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________.答案平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理知,平面平行具有传递性,相交、垂直都不具有传递性.7.已知α,β是两个不同的平面,m,n分别是平面α与平面β之外的两条不同的直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________.(用序号表示)答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析当m⊥α,m⊥n时,有n∥α或n⊂α.∴当n⊥β时,α⊥β,即①③④⇒②.当α⊥β,m⊥α时,有m∥β或m⊂β.∴当n⊥β时,m⊥n,即②③④⇒①.8.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是CC1的中点,则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________.(填“垂直”“不垂直”其中的一个)答案垂直解析如图,在正方体中,∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD.又AC⊥BD,CC1∩AC=C,∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面AA1C1C.9.如图,在三棱柱A1B1C1—ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是________.(填序号)①CC1与B1E是异面直线;②直线AC⊥平面ABB1A1;③直线A1C1与平面AB1E不相交;④∠B1EB是二面角B1—AE—B的平面角.答案④解析CC1与B1E都在平面BB1C1C内,即①不正确;若AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥AB,与△ABC是正三角形矛盾,即②不正确;若直线A1C1与平面AB1E不相交,则A1C1∥平面AB1E,取B1C1的中点E1,则A1E1∥平面AB1E,又A1C1∩A1E1=A1,于是平面A1B1C1∥平面AB1E,这与平面A1B1C1和平面AB1E都过点B1矛盾,所以③不正确;由已知可得AE⊥平面BCC1B1,所以∠B1EB是二面角B1—AE—B的平面角,即④正确.10.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析连结AC.∵底面各边都相等,∴AC⊥BD.又PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.二、解答题11.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE=eq\f(1,2)PA=3,EF=eq\f(1,2)BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC,又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.12.如图所示,在四棱锥S—ABCD中,SD⊥平面ABCD,AD⊥CD,BC⊥BD,∠BAD=60°,SD=AD=AB,E是SB的中点.求证:(1)BC⊥DE;(2)平面SBC⊥平面ADE.证明(1)∵SD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥SD.又∵BC⊥BD,SD∩BD=D,∴BC⊥平面SBD,∵DE⊂平面SBD,∴BC⊥DE.(2)∵SD=AD=AB,∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,∴SD=BD,∵E为SB的中点,∴DE⊥SB,又∵BC⊥DE,SB∩BC=B,∴DE⊥平面SBC,又DE⊂平面ADE,∴平面SBC⊥平面ADE.13.如图所示,三棱台DEF—ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.证明因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形E
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