举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题6.10 平面向量的应用（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题6.10平面向量的应用（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一专题练习）以A4,1，B1,5，C−3,2，D(0,−2)A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形2．（3分）（2022春·宁夏银川·高一期中）在四边形ABCD中，若AB+CD=A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形3．（3分）（2021春·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点，且处于平衡状态．已知F1=1N,A．7 B．7 C．102 4．（3分）（2022春·辽宁锦州·高一期末）已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，点D在BC边上且BD=13BC，则ADA．3 B．32 C．33 5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，点E满足CE=215CA+15CB，直线CE与直线A．1010 B．31010 C．−6．（3分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）在△ABC中，满足AB⊥AC，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且AB=A．0 B．−32 C．−17．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知四边形ABCD是矩形，AB=2AD，DF=λDC，BE=μBC，λ+μ=1，AE⊥AF，则A．533 B．539 C．6538．（3分）（2022春·北京海淀·高一阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60∘,AB=2,AD=3,E为线段CD的中点，F为线段ABA．BC=B．若F为线段AB的中点，则λ+μ=1C．FC⋅FDD．μ的最大值比最小值大8二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022春·广东佛山·高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则（A．当该物体处于平衡状态时，FB．当F2与F1方向相反，且FC．当物体所受合力为F1时，D．当F2=210．（4分）（2022秋·广东佛山·高二期中）已知点A−2,1，B3,−2，C5,185A．AB//CD B．AB⊥ADC．AC=BD 11．（4分）（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（

）A．ABB．若F为AE的中点，则BFC．若AB⋅AC=0，AB=1，D．若AB+AC=312．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π2，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD=1，点E为AB⏜A．OE⋅AB的最小值为0 B．EAC．EC⋅ED的最大值为1 D．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022春·贵州·高二期末）如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|=1，|F2|=2，14．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知两点E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点，且AB=3，CD=2，∠ABC=45∘，∠BCD=75∘，则线段EF的长为是15．（4分）（2022·高二课时练习）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，BC=2BM，AC=3AN，线段AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为.16．（4分）（2022秋·天津·高三阶段练习）如图，在△ABC中，B=π3，AB=2，点M满足AM=13AC，BM⋅AC=43，O为BM四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD中，AB→=DC→，N，M是AD，BC上的点，且CN→=MA→.求证：18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.19．（8分）（2022·全国·高一专题练习）如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为v1=10km/h，水流速度v2的大小为v2=4km/h，设v1和v(1)当θ=120°时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A'(2)当cosθ多大时，游船能到达A20．（8分）（2022秋·广东广州·高三阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=1，AC=3，点D在线段BC上，且(1)求AD的长；(2)求cos∠DAC21．（8分）（2022春·浙江台州·高一期中）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且BE=λBC，DF=(1)当AE⋅BC=0(2)当λ=23时，求(3)求AF+22．（8分）（2022春·江苏常州·高一阶段练习）在ΔABC中，满足：AB⊥AC，M是（1）若AB=AC，求向量AB+2（2）若O是线段AM上任意一点，且AB=AC=（3）若点P是∠BAC内一点，且AP=2，AP⋅AC=2，专题6.10平面向量的应用（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一专题练习）以A4,1，B1,5，C−3,2，D(0,−2)A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形【解题思路】利用向量的坐标表示可得AB=【解答过程】∵A4,1，B1,5，C−3,2∴AB=(−3,4),∴AB=DC，即四边形ABCD为平行四边形，又∴AB⋅BC=(−4,−3)⋅(−3,4)=0，即AB则四边形ABCD为矩形，又AB则四边形ABCD为正方形.故选：D.2．（3分）（2022春·宁夏银川·高一期中）在四边形ABCD中，若AB+CD=A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【解题思路】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状.【解答过程】由AB+CD=0，可得AB=又由AC⋅BD=0，可得AC⊥BD故选：D.3．（3分）（2021春·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点，且处于平衡状态．已知F1=1N,A．7 B．7 C．102 【解题思路】根据三力平衡得到F1+F【解答过程】根据三力平衡得F1+F两边同平方得F1即F即12解得F2故选：D.4．（3分）（2022春·辽宁锦州·高一期末）已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，点D在BC边上且BD=13BC，则ADA．3 B．32 C．33 【解题思路】利用向量数量积去求AD长度即可.【解答过程】△ABC中，点D在BC边上且BD=1则AD=又AB=1，AC=2，则AD=19×4+49故选：D.5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，点E满足CE=215CA+15CB，直线CE与直线A．1010 B．31010 C．−【解题思路】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出B0,0、C6,0、A3,4，然后根据A、B、D三点共线以及C、E、D三点共线得出CD=25CA【解答过程】如图所示，以B点为原点，BC为x轴构建直角坐标系，因为AB=AC=5，BC=6，所以B0,0，C6,0，设CD=x因为A、B、D三点共线，所以x>0，y>0，x+y=1，因为CE=215CA+15CB，联立215x=15yx+y=1因为CB=−6,0，CA=−3,4，所以因为BA=所以cos∠ADE=故选：A.6．（3分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）在△ABC中，满足AB⊥AC，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且AB=A．0 B．−32 C．−1【解题思路】由已知可得△ABC为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得最值.【解答过程】由AB⊥AC，∴△ABC为等腰直角三角形，以A为原点，AB，AC为x轴和y轴建立直角坐标系，如图所示，∴A0,0，B2,0∵M是BC的中点，M2O是线段AM上任意一点，∴可设Ox,x，0≤x≤∴OB=2−x,−x，∴OB∴OA故当x=24时，OA⋅故选：C．7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知四边形ABCD是矩形，AB=2AD，DF=λDC，BE=μBC，λ+μ=1，AE⊥AF，则A．533 B．539 C．653【解题思路】方法一：根据题意，建立平面直角坐标系，设AB=2AD=2，进而利用坐标法求解即可；解法二：用BC,AB为基底表示向量AE，AF，再根据AE⊥AF得AE⋅AF=0得λ=−13【解答过程】解：解法一如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设AB=2AD=2，则A0,0，B2,0，D0,1∴AB=2,0，AD=0,1，∴DF=λDC=∴AE=AB+∵AE⊥AF，∴AE⋅AF=0又λ+μ=1，所以λ=−13，∴EF=∴EF=∵AD=1，∴EFAD故选：C.解法二：∵AE=AF=∴AE⋅AF=∵AE⊥AF，∴1+3λ=0，得λ=−13.∴EF=AB∴EFAD=65故选：C.8．（3分）（2022春·北京海淀·高一阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60∘,AB=2,AD=3,E为线段CD的中点，F为线段ABA．BC=B．若F为线段AB的中点，则λ+μ=1C．FC⋅FDD．μ的最大值比最小值大8【解题思路】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.【解答过程】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则△CDH∼△BCM，因为AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60所以∠CDH=60°，设HD=x，则CH=3x，则BM=AH=3则DHCM=CHBM，即x2−则A0,0,B2,0BC=B若F为线段AB的中点，则F1,0所以EF=则58=54μ设Fm,0则FC⋅故当m=38时，FC⋅EF=m−3因为0≤m≤2，则m−38∈解得：μ∈−310所以μ的最大值比最小值大85故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022春·广东佛山·高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则（A．当该物体处于平衡状态时，FB．当F2与F1方向相反，且FC．当物体所受合力为F1时，D．当F2=2【解题思路】根据向量的加法法则作图可判断AB；根据题意分析G与F2的合力大小可判断C；由F2与【解答过程】A选项：由题知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图知B选项：如图，物体所受合力应等于向量AD与F2C选项；当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以D选项：由上知，重力G与水平拉力F1的合力为AD，AD=5N，易知当F2即3N故选：ACD.10．（4分）（2022秋·广东佛山·高二期中）已知点A−2,1，B3,−2，C5,185A．AB//CD B．AB⊥ADC．AC=BD 【解题思路】根据点A−2,1，B3,−2，C5,185【解答过程】因为点A−2,1，B3,−2，C5,所以AB=因为5×125=因为5×3+−3×5=0，所以因为AC=72因为7×−2+13故选：AB.11．（4分）（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（

）A．ABB．若F为AE的中点，则BFC．若AB⋅AC=0，AB=1，D．若AB+AC=3【解题思路】取BC的中点M，则M也是DE的中点，根据向量的加法运算即可判断A；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断C；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D.【解答过程】解：对于A，取BC的中点M，则M也是DE的中点，则有AM=12对于B，若F为AE的中点，则BF=对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以AD⋅AE=AB+对于D，由A选项得，AB+由AB−AC=所以AM=32因为AB=AC，所以AM⊥BC，AM平分∠BAC，在Rt△AMC中，tan∠ACB=AMCM所以△ABC为等边三角形，所以∠CAB=60°，故选：D.故选：ACD.12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π2，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD=1，点E为AB⏜A．OE⋅AB的最小值为0 B．EAC．EC⋅ED的最大值为1 D．【解题思路】以O为原点建立如图所示的直角坐标系，得B0，1，A1，0，设∠EOA=θ，则求出EA、EB的坐标，由EA⋅EB=1−2sinθ+π4，利用θ的范围可判断B；设Ct,0t∈0,1，可得D0,1−t2【解答过程】以O为原点建立如图所示的直角坐标系，所以B0，1设∠EOA=θ，则Ecosθ，sinAB=−1，因为θ∈0,π2，所以θ−所以AB⋅OE∈−1,1，EA=1−cos所以EA⋅因为θ∈0,π2，所以θ+所以1−2sinθ+EA⋅EB的最小值为设Ct,0t∈0,1，又CD=1，所以EC=t−cos所以EC=1−sinθ+φ，其中又t∈0,1，所以cosφ,sinφ∈0,1sinφ+θ∈0,1，−EC⋅故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022春·贵州·高二期末）如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|=1，|F2|=2，【解题思路】利用共点力的平衡条件，得到F1【解答过程】F1,F2,则|=1+2×1×故答案为：1.14．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知两点E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点，且AB=3，CD=2，∠ABC=45∘，∠BCD=75∘，则线段EF的长为是【解题思路】作AH//CD，交BC于点H，可知∠BAH=60∘；利用向量线性运算可得到2EF【解答过程】作AH//CD，交BC于点H，则∴∠BAH=180∘−∵EF=EA又EA=−ED，BF=−∴EF2=∴EF故答案为：19215．（4分）（2022·高二课时练习）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，BC=2BM，AC=3AN，线段AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为1313【解题思路】依次算出BN⋅AM、|AM【解答过程】由已知，AB=2，AN=2，∠BAC=60°，得BN=2，又由AM=12因为BN=所以BN⋅所以cos∠MPN=故答案为：131316．（4分）（2022秋·天津·高三阶段练习）如图，在△ABC中，B=π3，AB=2，点M满足AM=13AC，BM⋅AC=43，O为BM【解题思路】本题采用建系法，设C(t,0)，利用向量共线得到Mt+23,233，再写出BM=t+23,233，AC=(t−1,−3)，从而得到方程(t+2)(t−1)3【解答过程】以B为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设C(t,0)，t>0，∵AB=2,B=π设M(x,y)，∴AM=(x−1,y−3∵AM=13ACy−3=13×(−∴BM=t+2∵BM⋅AC=4∴M53,233，因为设Nn,0，0≤n≤3，∴OA=∴OA⋅所以当n=0时16n−29故答案为：−29四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD中，AB→=DC→，N，M是AD，BC上的点，且CN→=MA→.求证：【解题思路】可得四边形ABCD是平行四边形，同理可证，四边形CNAM是平行四边形，即可得证.【解答过程】因为AB→=DC→，所以|AB→|=|DC所以四边形ABCD是平行四边形.所以|DA→|=|CB→|且DA同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以|CM→|=|NA→|，所以|MB→|=|DN→|，DN∥MB，即所以DN→=MB18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.【解题思路】设AB→=a→，AC→=b→，AD→=e→，DB→=c→，DC→=d→，根据向量加法得a→计算a→2﹣b→2结合条件可得e→·c→=【解答过程】设AB→=a→，AC→=b→，AD→=e→，DB→则a→=e→+c→，b→=所以a→2﹣b→2=(e→+c→)2-(e→+d→)2=c→2+2e·c→由条件知：a→2=c→2﹣d→2+所以e→·c→=e→·d→，即e→即AD→所以AD⊥BC.19．（8分）（2022·全国·高一专题练习）如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为v1=10km/h，水流速度v2的大小为v2=4km/h，设v1和v(1)当θ=120°时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A'(2)当cosθ多大时，游船能到达A【解题思路】(1)θ=120°时，游船水平方向的速度大小为v1(2)若游船能到A'处，则有v2=v1【解答过程】(1)θ=120°时，游船水平方向的速度大小为v1cos(180°−θ)−v2(2)若游船能到A'处，则有v则有cosθ=−此时游船垂直江岸方向的速度v=v1时间t=d20．（8分）（2022秋·广东广州·高三阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=1，AC=3，点D在线段BC上，且(1)求AD的长；(2)求cos∠DAC【解题思路】（1）用a、b表示AD，再根据a、b的长度和夹角可求出结果；（2）根据夹角公式可求出结果.【解答过程】（1）设AB=a，则AD=AD=49×1+2×（2）因为cos=2所