举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题6.9 平面向量的应用（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题6.9平面向量的应用（重难点题型精讲）1．平面几何中的向量方法(1)用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面几何中常见的应用①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0(≠0).

②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.

③求夹角问题，利用夹角公式：==.

④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”2．向量在物理中的应用(1)力学问题的向量处理方法向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.(2)速度、位移问题的向量处理方法速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.(3)向量与功、动量

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.

①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数,它可正,可负,也可为零.

②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.【题型1用向量解决平面几何中的平行问题】【方法点拨】用向量法解决平面几何中的平行问题，一般来说有两种方法.(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，将平行问题进行转化求解.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的平行问题转化为代数运算.【例1】（2022·高一课前预习）在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求证：MN//【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在四边形ABCD中，AB=DC，N，M是求证：CN=【变式1-2】（2022春·高一课时练习）如图，已知AD,BE,CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H，求证：HG//【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，分别在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F和点E，使DF=BE.试用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形.【题型2用向量解决平面几何中的垂直问题】【方法点拨】用向量法解决平面几何中的垂直问题，一般来说有两种方法.(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的垂直问题转化为代数运算.【例2】（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F,G是AD,BC的三等分点（AF=23AD，BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【变式2-1】（2022·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.【变式2-3】（2022·高二课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.【题型3利用向量求线段间的长度关系】【方法点拨】利用向量知识，结合具体条件，将平面几何中的长度关系进行转化求解.【例3】（2021·高一课时练习）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.【变式3-1】（2022·高一课时练习）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是BD，AC的中点，求证：【变式3-2】（2022·高一课前预习）如图，在△ABC中，点E为边AB上一点，点F为线段AC延长线上一点，且BEAB=CFAC，连接EF交BC于点【变式3-3】（2022·高一单元测试）如图，在△OAB中，点C分OA为1:3，点D为OB中点，AD与BC交于P点，延长OP交AB于E，求证：AE=3EB.【题型4用向量解决夹角问题】【方法点拨】利用向量知识，结合具体条件，利用向量的夹角公式进行转化求解.【例4】（2022春·山东菏泽·高一期末）如图，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【变式4-1】（2022春·重庆·高一期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，点D在BC上，且BD=2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于(1)求线段AD，BE的长；(2)求∠EOD的余弦值.【变式4-2】（2022春·广东河源·高一阶段练习）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：【变式4-3】（2022·高二课时练习）已知梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E为BC的中点，F为BD与AE的交点，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA与BD【题型5用向量解决物理中的相关问题】【方法点拨】平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.【例5】（2022·高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和43【变式5-1】（2023·高一课时练习）已知两个力F1=5i+4j，F2=−2i+j，F1，F2作用于同一质点，使该质点从点(1)F1，F(2)F1，F2的合力【变式5-2】（2022·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|=10km/ℎ，水流速度的大小为|v(1)当cosθ(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？【变式5-3】（2022·高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为π3，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则F1【题型6向量与几何最值】【方法点拨】根据具体条件，利用向量知识，将平面几何中的最值问题进行转化求解即可.【例6】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求QM⋅(2)若P是平面上一点，且满足2OP=λOB【变式6-1】（2022春·广西柳州·高一阶段练习）在△ABC中，CA=6，AB=8，∠BAC=π2，D为边(1)求AD⋅(2)若点P满足CP=λCAλ∈R【变式6-2】（2022·高一课前预习）梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90∘，点(1)当点P是线段BC的中点时，求BC⋅(2)求PB⋅【变式6-3】（2022春·广东佛山·高一期中）如图，E,F分别是矩形ABCD的边CD和BC上的动点，且AB=2,AD=1.（1）若E,F都是中点，求EF→（2）若E,F都是中点，N是线段EF上的任意一点，求AN→（3）若∠EAF=45°，求AE→专题6.9平面向量的应用（重难点题型精讲）1．平面几何中的向量方法(1)用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面几何中常见的应用①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0(≠0).

②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.

③求夹角问题，利用夹角公式：==.

④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”2．向量在物理中的应用(1)力学问题的向量处理方法向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.(2)速度、位移问题的向量处理方法速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.(3)向量与功、动量

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.

①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数,它可正,可负,也可为零.

②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.【题型1用向量解决平面几何中的平行问题】【方法点拨】用向量法解决平面几何中的平行问题，一般来说有两种方法.(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，将平行问题进行转化求解.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的平行问题转化为代数运算.【例1】（2022·高一课前预习）在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求证：MN//【解题思路】设AB=a，AC=b，即可表示出BC，再由AM=23【解答过程】证明：设AB=a，AC=又AM=2MB，AN=2NC.所以AM=23在△AMN中，MN=所以MN=23BC，即MN与【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在四边形ABCD中，AB=DC，N，M是求证：CN=【解题思路】利用AB=DC，可得四边形ABCD是平行四边形，结合DN=MB，即可证明【解答过程】∵AB=DC，∴AB=DC且∴四边形ABCD是平行四边形，∴CB=DA,∵DN=MB又∵CM∥NA，∴四边形CNAM是平行四边形，∴CN=又CN与MA方向相同，∴CN=【变式1-2】（2022春·高一课时练习）如图，已知AD,BE,CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H，求证：HG//【解题思路】先由题意，得到GD//AE，设OA=λOD(λ≠0)，根据三角形相似，推出AE【解答过程】证明：由题意，DG⊥BE，AE⊥BE设OA=λOD(λ≠0)同理AF=λ于是FE=∴FE//HG，∴【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，分别在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F和点E，使DF=BE.试用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形.【解题思路】由题知AE→=AB→+【解答过程】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB→=DC因为AE→=AB所以AE→=FC→，即所以四边形AECF是平行四边形.【题型2用向量解决平面几何中的垂直问题】【方法点拨】用向量法解决平面几何中的垂直问题，一般来说有两种方法.(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的垂直问题转化为代数运算.【例2】（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F,G是AD,BC的三等分点（AF=23AD，BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【解题思路】（1）利用平面向量基本定理表示出EF,（2）利用EF→,EG【解答过程】（1）因为点E是AB的中点，所以AE=因为AF=23AD，BG=所以EF=AF−（2）由（1）可得：EF=23因为a=所以EF⋅所以EF⊥EG.【变式2-1】（2022·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．【解题思路】设AB=a，AD=b，则a＝【解答过程】证明：设AB=a，因为四边形ABCD为菱形，所以a＝又AC则AC→⋅BD所以AC⊥BD.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.【解题思路】利用平面向量加法、数乘的几何意义有DE·AF＝(DA+12AB)·【解答过程】∵DE·AF＝(DA+12AB)·(AB+12AD)＝1∴DE·AF＝0，∴DE⊥AF，即DE⊥AF.【变式2-3】（2022·高二课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.【解题思路】以AC,CB为基底，表示AD=AC+【解答过程】AD==−1因为CA=CB，所以−13CA故AD⊥CE.【题型3利用向量求线段间的长度关系】【方法点拨】利用向量知识，结合具体条件，将平面几何中的长度关系进行转化求解.【例3】（2021·高一课时练习）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.【解题思路】由于R,T是对角线AC上的两点，要判断AR,RT,TC之间的关系，只需分别判断AR,RT,TC与AC之间的关系即可.【解答过程】设AB=a，AD=b，由AR//AC又EB=AB−AE=∵AR=∴r=综上，有n(a+b由于a与b不共线，则{n−m=0n+m−1∴AR=13AC.同理，∴AR=RT=TC.【变式3-1】（2022·高一课时练习）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是BD，AC的中点，求证：【解题思路】由题意可知EF=BC−AD2，又BC>AD，AD则|EF【解答过程】因为点E，F分别是BD，AC的中点，所以EB=12所以EF=因为BC+所以DB+所以EF=因为BC>AD，AD//BC，且AD与所以|EF即EF=BC−AD【变式3-2】（2022·高一课前预习）如图，在△ABC中，点E为边AB上一点，点F为线段AC延长线上一点，且BEAB=CFAC，连接EF交BC于点【解题思路】以点B为原点建立平面直角坐标系，设BEAB=CFAC=λ，利用CF=λAC可得F(λ(1−a)+1,−λb)【解答过程】证明：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设BC=1设BEAB=CFAC=λ，C(1,0)，A(a,b)，D(d,0)所以CF=λAC=(λ(1−a),−λb)所以ED=(d−λa,−λb)，DF因为E，D，F共线，所以ED//所以−λb(d−λa)=−λb[λ(1−a)+1−d]化简得2d=λ+1.因为ED−DF=(d−λa,−λb)−(λ−λa+1−d,−λb)所以ED=所以ED=DF.【变式3-3】（2022·高一单元测试）如图，在△OAB中，点C分OA为1:3，点D为OB中点，AD与BC交于P点，延长OP交AB于E，求证：AE=3EB.【解题思路】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(1,0)，B(a,b)，P(m,n)，AE=λEB，依题意可求出点C,D,E的坐标，再根据点A，P，D共线可得n12a−1=12(m−1)b，由点B，P，C共线，可得na−1【解答过程】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.设A(1,0)，B(a,b)，P(m,n)，AE=λEB，则因为点C分OA为1:3，所以OC因为点D为OB的中点，所以OD=因为点A，P，D共线，所以AP//又AP=(m−1,n)，AD=1同理由点B，P，C共线，可得na−由点O，P，E共线，可得m⋅λb1+λ=n⋅λa+11+λ【题型4用向量解决夹角问题】【方法点拨】利用向量知识，结合具体条件，利用向量的夹角公式进行转化求解.【例4】（2022春·山东菏泽·高一期末）如图，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【解题思路】根据向量线性运算结合已知PA+PB+PC=0可得故【解答过程】由题意得|AB|=3,|AC|=1，PA+PB+又AB=PB−故PA=−1于是|PA∴|PA|=1∴=−【变式4-1】（2022春·重庆·高一期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，点D在BC上，且BD=2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于(1)求线段AD，BE的长；(2)求∠EOD的余弦值.【解题思路】（1）由BE2=BE（2）由AD与BE的夹角即为∠EOD，利用向量的夹角公式即可求解.【解答过程】(1)解：由题意，AB=2,AE=AC2=2又BE=所以BE2=BE∴BE=23，即∵AD=∴AD2=∴AD=2(2)解：∵BE∴AD⋅BE=(23∵AD与BE的夹角即为∠EOD，∴cos【变式4-2】（2022春·广东河源·高一阶段练习）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：【解题思路】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，证明DA,DB的夹角与【解答过程】如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.设A0， 2，C2，设AF=λAC，则又因为DA=−1， 2，所以−2λ+22−2λ=0，解得λ=所以DF=又因为DC=所以cos∠ADB=DA⋅又因为∠ADB，∠FDC∈0，π，所以∠ADB=∠FDC【变式4-3】（2022·高二课时练习）已知梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E为BC的中点，F为BD与AE的交点，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA与BD【解题思路】（1）由向量的运算得出AD=−32AB+2（2）由向量的运算得出EA=12CB+BA，BD=【解答过程】（1）根据题意，梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E为则AD=AB又由AD=λAB+μAE（2）∠AFD是EA与BD所成的角，设向量EA与BD所成的角为θEA=EBBD=BC则|EA|=因为EA=−1所以cos所以EA与BD所成角的余弦值为−10【题型5用向量解决物理中的相关问题】【方法点拨】平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.【例5】（2022·高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和43【解题思路】根据题意，用向量的方法求解，作出对应的受力分析图，得到OA+OB=【解答过程】解：如图，∵OA+∴OA2∴|OA即42∴cos∠AOB=∵0<∠AOB<π，∴∠AOB=π【变式5-1】（2023·高一课时练习）已知两个力F1=5i+4j，F2=−2i+j，F1，F2作用于同一质点，使该质点从点(1)F1，F(2)F1，F2的合力【解题思路】（1）由已知可得两个力F1，F2和位移（2）先计算F1，F【解答过程】（1）依题意有F1=5,4，F则F1做的功为WF2做的功为W（2）由F=所以F做的功为W=F【变式5-2】（2022·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|=10km/ℎ，水流速度的大小为|v(1)当cosθ(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？【解题思路】（1）由题意，v=v1+v（2）设船航行到对岸所需的时间为th，则t=dv1sin【解答过程】（1）解：船垂直到达对岸，即v=v1+v所以v1⋅v所以40cosθ+16=0，解得（2）解：设船航行到对岸所需的时间为th，则t=所以当θ=90°时，船的航行时间最短为120而当船垂直到达对岸时，由（1）知sinθ=所需时间t=dv1故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．【变式5-3】（2022·高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为π3，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则F1【解题思路】由题可得F1=F2=F3，且F1，【解答过程】由题可知F1=F2=F3，且F又F1+F∴F1∴6F∴F1即F1，F2，F3【题型6向量与几何最值】【方法点拨】根据具体条件，利用向量知识，将平面几何中的最值问题进行转化求解即可.【例6】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求QM⋅(2)若P是平面上一点，且满足2OP=λOB【解题思路】（1）由向量的加法和数量积运算将QM⋅QN转化为QO2−OM（2）令OT=2OP=λOB+(1−λ)OC可得点T在BC上，再将PM⋅【解答过程】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．所以O为MN的中点，所以OM=−所以QM⋅QN=(因为Q是BC的中点，所以|QO|=1，所以−1≤QO即的QM⋅QN取值范围为（2）令OT=2OP，则∴OT=λOB∴CT∴点T在BC上，又因为O为MN的中点，所