举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题6.1 平面向量的概念（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题6.1平面向量的概念（重难点题型精讲）1．向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．2．向量的表示法(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量的表示方法:①字母表示法：如等.(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 注：①用字母表示向量便于向量运算；②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．3．向量的有关概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).注：①向量的模．②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.注：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．4．向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.【题型1向量的基本概念】【方法点拨】根据向量的基本概念，进行求解即可.【例1】（2022秋·广东珠海·高一期中）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）以下选项中，都是向量的是（

）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度【变式1-2】（2022秋·福建·高一阶段练习）下列说法错误的是（

）A．长度为0的向量叫做零向量B．零向量与任意向量都不平行C．平行向量就是共线向量D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量【变式1-3】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列说法错误的是（

）A．向量CD与向量DC长度相等B．单位向量都相等C．向量的模可以比较大小D．任一非零向量都可以平行移动【题型2向量的几何表示与向量的模】【方法点拨】第一步：已给定向量的起点、方向和长度；第二步：在坐标纸上找准方向、长度；第三步：画出对应的向量.【例2】（2022秋·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量AB,（2）求|AD【变式2-1】（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)OA=3，点A在点O(2)OB=22，点B在点【变式2-2】（2022·高一课时练习）已知飞机从A地按北偏东30∘方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30∘方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10002km到达D地．画图表示向量【变式2-3】（2022·高一课时练习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标（1）a=2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°（2）a=4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°（3）a=42，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是【题型3向量相等或共线】【方法点拨】判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.【例3】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若AB与CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P，且EF//A．AD=BC C．PE=PF 【变式3-2】（2022秋·全国·高一期末）如图，在正△ABC中，D,E,F均为所在边的中点，则以下向量和FC相等的是（

）A．EF B．BE C．DF D．ED【变式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（

）A．AB与AC共线 B．DE与CB共线C．CD与AE相等 D．AD与BD相等【题型4用向量关系研究几何图形的性质】【方法点拨】(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合.【例4】（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点.(1)写出与向量FC共线的向量；(2)求证：BE=【变式4-1】（2022·高一课时练习）已知点E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=【变式4-2】（2022·江苏·高一专题练习）如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，AB=DC且CN=【变式4-3】（2022·高一课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：专题6.1平面向量的概念（重难点题型精讲）1．向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．2．向量的表示法(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量的表示方法:①字母表示法：如等.(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 注：①用字母表示向量便于向量运算；②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．3．向量的有关概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).注：①向量的模．②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.注：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．4．向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.【题型1向量的基本概念】【方法点拨】根据向量的基本概念，进行求解即可.【例1】（2022秋·广东珠海·高一期中）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解题思路】既有方向，又有大小的量为向量【解答过程】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C.【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）以下选项中，都是向量的是（

）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度【解题思路】根据向量的定义判断．【解答过程】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故选：D．【变式1-2】（2022秋·福建·高一阶段练习）下列说法错误的是（

）A．长度为0的向量叫做零向量B．零向量与任意向量都不平行C．平行向量就是共线向量D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量【解题思路】由平面向量的相关概念判断.【解答过程】A.规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；C.平行向量就是共线向量，故正确；D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；故选：B.【变式1-3】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列说法错误的是（

）A．向量CD与向量DC长度相等B．单位向量都相等C．向量的模可以比较大小D．任一非零向量都可以平行移动【解题思路】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.【解答过程】A.CD和DC长度相等，方向相反，故正确；B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.故选：B.【题型2向量的几何表示与向量的模】【方法点拨】第一步：已给定向量的起点、方向和长度；第二步：在坐标纸上找准方向、长度；第三步：画出对应的向量.【例2】（2022秋·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量AB,（2）求|AD【解题思路】（1）根据题设以AB为正东方向，过A垂直于AB向上为正北方向，结合题设画出向量即可.（2）由题设知AB//CD，易知ABCD为平行四边形，即可求【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量AB,（2）根据题意，向量AB与CD方向相反，故向量AB//CD，又∴在ABCD中，AB//CD,AB=CD，故ABCD为平行四边形，∴AD=BC，则【变式2-1】（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)OA=3，点A在点O(2)OB=22，点B在点【解题思路】(1)根据描述找出终点A即可；(2)根据描述找出终点B即可.【解答过程】(1)∵OA=3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A(2)∵OB=22=22+22，点B在点O正南方向，∴以【变式2-2】（2022·高一课时练习）已知飞机从A地按北偏东30∘方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30∘方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10002km到达D地．画图表示向量【解题思路】根据方向角及飞行距离可作出向量AB,BC,【解答过程】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．由题意知B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量AB,由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC=2000km．又∠ACD=45∘，所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD=10002km，故向量AD的模为10002【变式2-3】（2022·高一课时练习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标（1）a=2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°（2）a=4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°（3）a=42，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是【解题思路】利用向量的定义直接求解即可60【解答过程】如图所示.（1）终点坐标为1,3（2）终点坐标为23,−2（3）终点坐标为−4,−4.【题型3向量相等或共线】【方法点拨】判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.【例3】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若AB与CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【解题思路】根据向量相等与共线的概念即可解决.【解答过程】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；AB与CD是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A.【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P，且EF//A．AD=BC C．PE=PF 【解题思路】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出P为EF的中点，可判断CD选项.【解答过程】在等腰梯形ABCD中，AD、BC不平行，AC、BD不平行，AB均错；因为AB//CD，则DPPB=CD即BDPD=AC∵EF//AC，则PEAB=PDBD=所以，EP=故选：D.【变式3-2】（2022秋·全国·高一期末）如图，在正△ABC中，D,E,F均为所在边的中点，则以下向量和FC相等的是（

）A．EF B．BE C．DF D．ED【解题思路】根据相等向量的定义直接判断即可.【解答过程】∵EF,BE,DF与FC∵ED与FC方向相同，长度相等，∴故选：D.【变式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（

）A．AB与AC共线 B．DE与CB共线C．CD与AE相等 D．AD与BD相等【解题思路】根据向量共线概念即可求解结果．【解答过程】因为AB与AC不平行，所以AB与AC不共线，A错因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故DE与CB共线，B正确；因为CD与AE不平行，所以CD与AE不相等，C错；因为AD=故选：B.【题型4用向量关系研究几何图形的性质】【方法点拨】(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合.【例4】（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点.(1)写出与向量FC共线的向量；(2)求证：BE=【解题思路】1根据条件，可得四边形AFCE为平行四边形，即可写出与向量FC共线的向量；2根据题意可得出四边形BFDE是平行四边形，从而得出BE=FD，BE//FD，进而得出结论.【解答过程】（1）解：因为在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，CE//AF，CE=AF，所以四边形A