举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题5.3 导数的运算（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题5.3导数的运算（重难点题型精讲）1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则3．复合函数的导数(1)复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).(2)复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【题型1求函数的导数的方法】【方法点拨】1.总原则：先化简解析式，再求导.2.具体方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.(3)复杂分式：将分子凑成与分母相关的形式，化为简单分式的和、差，再求导.【例1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））下列求导运算正确的是（

）A．lnx'=xC．cosx'=sinx【变式1-1】（2021·广西·高二期中（文））下列各式正确的是（

）.A．sin10°'=cosC．sinx'=【变式1-2】（2022·陕西·高二期末（理））已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=lnx+xA．323 B．−323 C．4【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知函数f(x)=t2，g(x)=2A．f'x=0,C．f'x=0【题型2复合函数的求导方法】【方法点拨】(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；(2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；(3)相乘：把上述求导的结果相乘；(4)变量回代：把中间变量回代.【例2】（2022·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（）A．sinπ5'C．tanx'=【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列求导运算正确的是（

）A．x+1x'C．x2ex【变式2-2】（2022·河南南阳·高二期末（理））下列求导正确的为（

）A．2e−x'C．sinπ5'【变式2-3】（2022·广东广州·高二期末）下列求导运算结果正确的是（

）A．x−1x'C．tanx'=【题型3求曲线的切线】【方法点拨】求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.(1)若“在”，则该点为切点.(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点.【例3】（2022·陕西·西安市高二期末（理））曲线y=sinx+ex在A．x−3y+3=0 B．x−2y+2=0 C．2x−y+1=0 D．3x−y+1=0【变式3-1】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数fx=x2−4A．x+4y+12=0 B．4x+y+3=0 C．x−4y−12=0 D．4x−y−3=0【变式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲线f(x)=xlnx在x=e（其中eA．y=2x−e B．y=2x+e C．y=−x 【变式3-3】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知函数fx=sinx1−2cos2A．0 B．−14 C．32【题型4已知切线方程求参数】【方法点拨】当曲线的切线方程是已知条件时，常合理选择以下三个条件的表达式解题：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切点在横坐标处的导数等于切线的斜率.【例4】（2022·宁夏·高三阶段练习（文））函数fx=ex+ax在x=0处的切线与直线2x−y−5=0A．−1 B．1 C．12 D．【变式4-1】（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））若函数f(x)=ax−2lnx在(1,f(1))处切线方程为x+y+m=0，则实数m=（A．−1 B．−2 C．2 D．0【变式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函数f(x)=a2x2+blnxA．2 B．1 C．0 D．﹣2【变式4-3】（2022·湖北·高三阶段练习）若直线x+y+m=0是曲线y=x3+nx−52与曲线y=x2A．−30 B．−25 C．26 D．28【题型5函数图象的应用】【方法点拨】结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.【例5】（2022·江西·高三开学考试（理））已知fx=14x2+sinπA． B．C． D．【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知二次函数fx=ax2+bx+c，设gx=A．a<b，b<c B．a>b，b>cC．ba>1，b=c D．b【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为()A．2 B． C．－ D．－【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）函数fx=16xA． B．C． D．【题型6与导数有关的新定义问题】【方法点拨】与导数有关的新定义问题，一般先理解所给定义与已有的函数、运算的关联性，再通过所给新定义转化为所学过的知识与方法去转化问题，进而解决问题.【例6】（2022·河北·高二阶段练习）给出以下新定义：若函数fx在D上可导，即f'x存在，且导函数f'x在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导函数，记f''x=fA．fx=ex B．fx=2x【变式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定义满足方程f'x+fx=1的实数解xA．fx=xC．fx=ln【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）定义在区间∃ξ∈[a,b]上的函数f(x)，其图象是连续不断的，若∃ξ∈[a,b]，使得f(b)−f(a)=f'(ξ)(b−a)，则称ξ为函数f(x)在区间[a,b]以上的“中值点”．则下列函数：①f(x)=x；②2f(x)=x2；③f(x)=ln(x+1)；A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）定义方程fx=f'x的实数根x0叫做函数fx的“新驻点”，若函数gx=2x，ℎx=lnx，φx=A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c专题5.3导数的运算（重难点题型精讲）1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则3．复合函数的导数(1)复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).(2)复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【题型1求函数的导数的方法】【方法点拨】1.总原则：先化简解析式，再求导.2.具体方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.(3)复杂分式：将分子凑成与分母相关的形式，化为简单分式的和、差，再求导.【例1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））下列求导运算正确的是（

）A．lnx'=xC．cosx'=sinx【解题思路】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.【解答过程】lnx'=1xcosx'=−sinx故选：D.【变式1-1】（2021·广西·高二期中（文））下列各式正确的是（

）.A．sin10°'=cosC．sinx'=【解题思路】由基本函数求导公式，依次对四个选项求导验证，只有C正确，故答案为C.【解答过程】根据基本函数求导公式，sin10°cosxsinxx−5故选：C.【变式1-2】（2022·陕西·高二期末（理））已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=lnx+xA．323 B．−323 C．4【解题思路】将fx求导，将1代入导数得f'1的值，再将−1【解答过程】因为fx所以f'所以f'1=2+2f'x=故选：C.【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知函数f(x)=t2，g(x)=2A．f'x=0,C．f'x=0【解题思路】根据基本初等函数求导公式，可得答案.【解答过程】由题意，f'故选：A.【题型2复合函数的求导方法】【方法点拨】(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；(2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；(3)相乘：把上述求导的结果相乘；(4)变量回代：把中间变量回代.【例2】（2022·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（）A．sinπ5'C．tanx'=【解题思路】根据导函数四则运算法则和简单复合函数求导法则计算出结果.【解答过程】对于A，sinπ对于B，x2对于C，tanx对于D，ln2x−1故选：C.【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列求导运算正确的是（

）A．x+1x'C．x2ex【解题思路】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则即可求解.【解答过程】解：x+1x'=1−1x2故选：B.【变式2-2】（2022·河南南阳·高二期末（理））下列求导正确的为（

）A．2e−x'C．sinπ5'【解题思路】根据导数的运算法则和导数基本公式对选项一一判断即可得出答案.【解答过程】对于A，2e对于B，ln2+对于C，sinπ对于D，ex故选：D.【变式2-3】（2022·广东广州·高二期末）下列求导运算结果正确的是（

）A．x−1x'C．tanx'=【解题思路】由导数的求导法则及复合函数的导数依次判断即可.【解答过程】对于A，x−1x'对于C，tanx对于D，ln2x−1故选：C.【题型3求曲线的切线】【方法点拨】求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.(1)若“在”，则该点为切点.(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点.【例3】（2022·陕西·西安市高二期末（理））曲线y=sinx+ex在A．x−3y+3=0 B．x−2y+2=0 C．2x−y+1=0 D．3x−y+1=0【解题思路】求出函数y=sin【解答过程】y=sinx+ex的导数为y'即有在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1，即2x−y+1=0.故选：C.【变式3-1】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数fx=x2−4A．x+4y+12=0 B．4x+y+3=0 C．x−4y−12=0 D．4x−y−3=0【解题思路】先求导，再求出f'0和【解答过程】因为fx=x2−4ex+1，所以f'故选：B.【变式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲线f(x)=xlnx在x=e（其中eA．y=2x−e B．y=2x+e C．y=−x 【解题思路】求导，切线斜率等于切点处的导函数值，点斜式求解即可.【解答过程】由题知，f(x)=xln所以f'(x)=ln当x=e时，f(e)=所以切点为e,所以切线方程为y−e=2x−故选：A.【变式3-3】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知函数fx=sinx1−2cos2A．0 B．−14 C．32【解题思路】由导数的几何意义求解即可【解答过程】由fx可知f'所以f'故选：D．【题型4已知切线方程求参数】【方法点拨】当曲线的切线方程是已知条件时，常合理选择以下三个条件的表达式解题：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切点在横坐标处的导数等于切线的斜率.【例4】（2022·宁夏·高三阶段练习（文））函数fx=ex+ax在x=0处的切线与直线2x−y−5=0A．−1 B．1 C．12 D．【解题思路】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于a的方程，可求出a的值.【解答过程】函数fx=e函数在x=0处的切线的导数即为切线的斜率为f'且切线与直线2x−y−5=0平行，则有1+a=2，可得a=1.故选：B.【变式4-1】（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））若函数f(x)=ax−2lnx在(1,f(1))处切线方程为x+y+m=0，则实数m=（A．−1 B．−2 C．2 D．0【解题思路】求导，利用导数的几何意义得到f'(1)=a−2=−1，求出a=1，得到切点坐标，代入切线方程中，求出【解答过程】f'(x)=a−2x，则所以f(x)=x−2lnx，所以切点坐标为1,1，将其代入x+y+m=0中，故1+1+m=0，解得：m=−2.故选：B.【变式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函数f(x)=a2x2+blnxA．2 B．1 C．0 D．﹣2【解题思路】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论.【解答过程】解：函数f(x)=a2x可得在点(1,f(1))处的切线斜率为f'因为在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−1=0，所以f'(1)=a+b=2，解得a=2，b=0，所以ab=0故选：C.【变式4-3】（2022·湖北·高三阶段练习）若直线x+y+m=0是曲线y=x3+nx−52与曲线y=x2A．−30 B．−25 C．26 D．28【解题思路】设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx−52切于点(a,−a−m)，与曲线y=【解答过程】设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx−52与曲线y=x2−3对于函数y=x2−3解得b=1或−3所以1−3ln1=−1−m，即对于函数y=x则3a整理得a3=−27,a=−3，所以n=−3a故选：C.【题型5函数图象的应用】【方法点拨】结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.【例5】（2022·江西·高三开学考试（理））已知fx=14x2+sinπA． B．C． D．【解题思路】对函数fx求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将x=【解答过程】解：∵fx∴f'∴f∴f∴f'将x=π6代入f'故选：A．【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知二次函数fx=ax2+bx+c，设gx=A．a<b，b<c B．a>b，b>cC．ba>1，b=c D．b【解题思路】求出函数g'x，再根据给定图象与【解答过程】依题意，gx=e−x(a观察g'x的图像得：g'0=c−b=0，即b=c，g所以有ba<1，故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为()A．2 B． C．－ D．－【解题思路】求出函数的导函数，利用导函数的周期π，求出ω，利用振幅求出A，利用导函数经过（3π8，-1），求出φ，得到函数的解析式，进而求得f（π的值.【解答过程】依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象，则T＝2πω＝4（3π8-π8∵f′（3π8）＝cos（3π4＋φ）＝－1，且0<φ<π，∴3π4<3π4＋φ<7π4，∴3π4＋φ＝π，即φ＝π4，f(x)＝12sin（2x+π4），所以f（π2）＝故选D.【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）函数fx=16xA． B．C． D．【解题思路】求导得到f'x=13x+【解答过程】fx=16x导函数f'x当x∈0,π时，f'当x∈π,+∞时，f'故x∈0,+∞时，f'故选：A.【题型6与导数有关的新定义问题】【方法点拨】与导数有关的新定义问题，一般先理解所给定义与已有的函数、运算的关联性，再通过所给新定义转化为所学过的知识与方法去转化问题，进而解决问题.【例6】（2022·河北·高二阶段练习）给出以下新定义：若函数fx在D上可导，即f'x存在，且导函数f'x在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导函数，记f''x=fA．fx=ex B．fx=2x【解题思路】求出每一个函数的二阶导数，判断是否f'【解答过程】对于A选项，fx=e对于B选项，fx=2x,f对于C选项，fx=x对于D选项，fx=ln故选：D.【变式6-1】（2022·云南昭通·高二期末