举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）（含答案及解析）

专题4.13等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022·江苏南通·高二期中）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a6(1)求an(2)若an为an−3与a2n−12．（2022·广东·高二期中）已知等差数列an满足，a1=10，且a2+10(1)求数列an(2)若数列bn的通项公式为bn=2n3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a(1)求an(2)若ba=an⋅2n−14．（2022·四川·高三期中）已知等差数列an​和等比数列bn​满足a1=b(1)求an(2)求和：b15．（2022·广东·高二期中）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=32n(1)求数列an、b(2)设an、bn的前n项和分别为Sn，Tn，求6．（2022·江苏·高二阶段练习）等差数列an满足a1+(1)求an的通项公式和前n项和S(2)设等比数列bn满足b2=a3，b3=7．（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列an满足：a1=3，且对任意的n∈N∗，都有1(1)证明：数列an(2)已知：bn=an−12n+1求数列8．（2022·福建·高二阶段练习）已知等差数列an中，a1=1(1)求a5(2)若数列bn满足：bn=9．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列an，bn满足a1(1)若数列an为等比数列，公比为q，a1−(2)若数列an为等差数列，an+2−an+1=2，求10．（2022·贵州贵阳·高三期中（文））已知an是以1为首项的等差数列，bn是以2为首项的正项等比数列，且满足(1)求an与b(2)求1anan+1的前n项和Sn11．（2022·全国·模拟预测）已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足S4=10，a1，a(1)求数列bn(2)设cn=log2anb12．（2022·浙江省高三阶段练习）已知正项等比数列{an}满足a1+a2+a(1)求数列{an}(2)求数列{|an−bn13．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列an的首项a1=1，公比为q，bn是公差为dd>0的等差数列，b1=a1(1)求数列an(2)设bn的前n项和为Sn，数列cn满足ncn=a14．（2022·全国·模拟预测）己知Sn为等比数列an的前n项和，若4a2，2a(1)求数列an(2)若bn=anan+2an+115．（2023·重庆·高三阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，且满足(1)求an(2)求数列an16．（2022·黑龙江·高二期中）已知等差数列{an}中，a10=10，a17=17(1)求数列{an}(2)求数列{anbn}17．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已知数列an满足a1=1，an+1=2an，n∈(1)求数列an，bn(2)设cn=an−bn18．（2022·广西·模拟预测（文））数列an满足2a2k+1=a2k−1+a2k+3，a(1)求数列an(2)求数列an的前n项和S19．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，满足3Sn=2an(1)求数列an(2)令cn=anbn，求数列20．（2022·黑龙江·模拟预测）已知等比数列an的公比q>1，且a2+a3+a4=14，a3+1是a(1)求数列an、b(2)若cn=an+bn，d21．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列an满足a4=4a1，a6+(1)求数列an，b(2)令cn=1an22．（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=1(1)求数列an(2)求数列2an+an23．（2022·黑龙江·高三阶段练习（文））已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=log2a24．（2022·全国·模拟预测）在数列an中，a1=2，a2=8(1)证明：an+1−2a(2)若bn=nan,n=2k−1,k∈N25．（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知等差数列an的前n项和为Sn，n∈N*，再从条件①、条件条件①：a2=4；条件②：an+1−a(1)求数列an(2)设等比数列bn满足b3=a2，b4=26．（2022·上海高二期中）已知数列an中，a1(1)判断数列1an是否为等差数列？并求数列(2)设数列bn满足：bn=2nan27．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=1，a(1)求数列{a(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k=1,2,⋯)之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn28．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列an中，Sn为其前n项和，a1=1，a3(1)求an(2)若bn=log2Sn+1，数列b29．（2023·山东省高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列an满足a2=3(1)求数列an(2)设数列bn满足bn=1ana30．（2022·上海·高二期中）已知等差数列an公差为dd≠0，前n项和为(1)若a1=−1，S3(2)若a1=1，a1、a3、a13成等比数列，且存在正整数p、qp≠q，使得(3)若fx=2x−1专题4.13等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022·江苏南通·高二期中）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a6(1)求an(2)若an为an−3与a2n−1【解题思路】（1）由已知条件，列式后解方程组，求数列的首项和公差，再求通项公式；（2）首先由题意得an2=an−3【解答过程】（1）设等差数列an公差为d，S5=5a6=a1+5d=15an（2）由题意：an2=an−3化简得：2n解之得n=6或n=−12（舍），故2．（2022·广东·高二期中）已知等差数列an满足，a1=10，且a2+10(1)求数列an(2)若数列bn的通项公式为bn=2n【解题思路】（1）设等差数列an的公差为d，由题意可得到a3+82=（2）根据错位相减法求和即可.【解答过程】（1）等差数列an的首项a1=10由a2+10，a3+8，即a1即18+2d2=20+d所以an（2）由题意，anbn=2n+8⋅2则Sn2S两式相减得−即−S化简得Sn3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a(1)求an(2)若ba=an⋅2n−1【解题思路】（1）设an的公差为d，则由已知条件列方程组可求出a（2）由（1）得bn=2n−3【解答过程】（1）设an的公差为d由2a得2(a化简得−3a解得a1所以数列an的通项公式为a（2）由（1）知bn所以Tn=则2Tn由①－②得：−=−1+=−5+=−5−2n−5所以数列bn的前n项和T4．（2022·四川·高三期中）已知等差数列an​和等比数列bn​满足a1=b(1)求an(2)求和：b1【解题思路】（1）设等差数列an的公差为d，利用a1=1，a（2）设等比数列bn的公比为q，则奇数项构成公比为q2的等比数列，利用b2b4=b32=9求出b3【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d由a1=1，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以an的通项公式a（2）设等比数列bn的公比为q，则奇数项构成公比为q由（1）可得a5=9，等比数列bn满足b由于b1=1>0，可得b3所以q2则b2n−1是公比为3，首项为1b15．（2022·广东·高二期中）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=32n(1)求数列an、b(2)设an、bn的前n项和分别为Sn，Tn，求【解题思路】（1）根据an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2求出a（2）利用等差数列和等比数列的公式求出答案.【解答过程】（1）当n=1时，a1当n≥2时，an又3×1−1=2，满足上式故an的通项公式为a设等比数列bn的公比为q因为b1+b所以b1,b解得：b1=2b因为等比数列单调递增，所以b1故q3=16故bn的通项公式为b（2）因为an=3n−1，所以故an由等差数列求和公式得：Sn由等比数列求和公式得：Tn6．（2022·江苏·高二阶段练习）等差数列an满足a1+(1)求an的通项公式和前n项和S(2)设等比数列bn满足b2=a3，b3=【解题思路】（1）设等差数列an的公差为d，根据题意可求得d、a1的值，利用等差数列的通项公式可求得an（2）设等比数列bn的公比为q，求出q、b1的值，利用等比数列的的求和公式可求得【解答过程】（1）解：设等差数列an的公差为d，则2d=a6∴a1+a2所以，Sn（2）解：设等比数列bn的公比为q，则q=b3所以，Tn7．（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列an满足：a1=3，且对任意的n∈N∗，都有1(1)证明：数列an(2)已知：bn=an−12n+1求数列【解题思路】（1）由条件可知1+an+1=2an（2）bn【解答过程】（1）证明：由条件可知1+an+1=2∴an+1−1=2∴an−1是以a（2）由（1）知an−1是以a1∴an−1=∴S2S两式相减可得，−S即−S化简得Sn8．（2022·福建·高二阶段练习）已知等差数列an中，a1=1(1)求a5(2)若数列bn满足：bn=【解题思路】（1）由等差数列的性质易得a3=3，由等差数列的通项公式求得公差（2）由（1）求得通项公式an，从而可得bn，计算【解答过程】（1）∵a2+a4∵a∴a（2）由（1）可知an∴b∵b∴数列bn9．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列an，bn满足a1(1)若数列an为等比数列，公比为q，a1−(2)若数列an为等差数列，an+2−an+1=2，求【解题思路】(1)由已知条件求出等比数列an的公比和通项，得到数列b(2)由等差数列an的通项利用累乘法求得数列bn的通项，再用裂项相消求bn的前n【解答过程】（1）数列an为等比数列，公比为q，且a1=1，a1−由q=a2a1，由an+2bn+1−a即数列bn是以1为首项，1故bn=1（2）依题意得等差数列an公差d=2，则a由an+2bn+1从而b=aTn10．（2022·贵州贵阳·高三期中（文））已知an是以1为首项的等差数列，bn是以2为首项的正项等比数列，且满足(1)求an与b(2)求1anan+1的前n项和Sn【解题思路】（1）根据已知条件求得an的公差，bn的公比，从而求得an（2）利用裂项求和法求得Sn，然后将Sn代入【解答过程】（1）依题意，an是以1为首项的等差数列，b设an的公差为d，bn的公比为q（由已知得a6−b消去d，可得5q2−9q−2=0，解得q=2所以，q=2，则d=1.所以，anbn（2）由（1）知，1a所以Sn=a1+由nSn>2022知，n解得，n<1011−1011×1013，或n>1011+又1011−1011×1013<0，2022<1011+1011×1013所以，最小正整数n为2023.11．（2022·全国·模拟预测）已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足S4=10，a1，a(1)求数列bn(2)设cn=log2anb【解题思路】(1)设等差数列an的公差为d，根据题意列出关于a1和d的方程组求解即可；(2)根据题意可得【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d由题意可得：S4=2a整理得2a1+3d=5所以an∵an=log（2）∵cn∴T=n故Tn12．（2022·浙江省高三阶段练习）已知正项等比数列{an}满足a1+a2+a(1)求数列{an}(2)求数列{|an−bn【解题思路】（1）根据条件，列方程求出a1和q，运用累加法求出b（2）令cn=a【解答过程】（1）设数列{an}的公比为qq>0即6a1=a1q+abnb=2+1−∴bn=3n−1所以bn（2）令cn=a又cn+1当n≥3时，cn+1>cn，当又当n≤4时，cn<0，当n≥5时，∴n≤4时，Snn≥5时，Sn=2Sn13．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列an的首项a1=1，公比为q，bn是公差为dd>0的等差数列，b1=a1(1)求数列an(2)设bn的前n项和为Sn，数列cn满足ncn=a【解题思路】（1）根据b2是b1与b7的等比中项，利用基本量法可得d=4，进而得到bn=4n−3，再根据b1=（2）由（1）Sn=n2n−1，化简可得c【解答过程】（1）第一步：求数列bn因为bn是公差为dd>0的等差数列，b1=a1=1所以1+d2解得d=4或d=0（舍去），（注意d>0）所以数列bn的通项公式为b第二步：求数列an所以a3=b3=9所以数列an的通项公式为an=（2）第一步：求数列cn由（1）得Sn=n2n−1，a由ncn=第二步：利用错位相减法求和于是Tn9T则−8T即−8T整理得Tn所以数列cn的前n项和T14．（2022·全国·模拟预测）己知Sn为等比数列an的前n项和，若4a2，2a(1)求数列an(2)若bn=anan+2an+1【解题思路】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；（2）求出bn，然后运用裂项相消法求出T【解答过程】（1）设数列an的公比为q由4a2，2a3，故4+q2=4q由S4=8a解得a1=2，故an=2（2）由（1）可得bn故Tn当n=1时，12n+1+2取得最大值16∴0<1故11215．（2023·重庆·高三阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，且满足(1)求an(2)求数列an【解题思路】（1）由等差数列的公式列方程组即可求解；（2）分类讨论即可求解.【解答过程】（1）由题意可得：2a解得a1=−15d=4故an（2）由（1）可知：Sn设数列an的前n项和为T易知当n≤4时，an<0，an当n≥5时，an>0，Tn所以T3016．（2022·黑龙江·高二期中）已知等差数列{an}中，a10=10，a17=17(1)求数列{an}(2)求数列{anbn}【解题思路】（1）由等差数列的a10=10，a17=17即可求出（2）表示出{anbn}的通项公式，用错位相减法即可求解数列【解答过程】（1）解：设an的公差为d，则d=a解得a1=1，所以由题设等比数列bn的公比为q>0，由题得b1=2，b3=8，∴所以bn=2×2（2）由题得an所以T则2两式相减得−所以Tn17．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已知数列an满足a1=1，an+1=2an，n∈(1)求数列an，bn(2)设cn=an−bn【解题思路】（1）根据等比数列的定义，直接写出an，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得b1与公差，即可求得（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式，直接求解即可.【解答过程】（1）因为数列an满足a1=1，a所以数列an是以1为首项，公比q=2所以an=a1q设等差数列bn的公差为d，由b1=得b1=2b1+2d=14即数列bn的通项公式为b（2）由（1）可知cn所以数列cn的前n项和=1−2n1−2−18．（2022·广西·模拟预测（文））数列an满足2a2k+1=a2k−1+a2k+3，a(1)求数列an(2)求数列an的前n项和S【解题思路】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为d，且偶数项成等比数列，公比为q(q>0)，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式；（2）讨论n为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.【解答过程】（1）数列an满足2a2k+1可得a2k−1,a且偶数项成等比数列,公比为q(q>0),且a2=2a1=2可得(1+d)2=2⋅2q解得d=3,q=2,则an=1+3⋅（2）当n为偶数时,数列an的前nS=1=3当n为奇数时(n≥3),S=3当n=1时S1综上:Sn19．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，满足3Sn=2an(1)求数列an(2)令cn=anbn，求数列【解题思路】（1）根据an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2，求出a【解答过程】（1）由3Sn=2an−1，取所以3a1=2当n≥2时，由条件可得3Sn=2an所以anan−1=−2，所以数列an是首项为−2因为b1=a1=−2，设等差数列bn的公差为d，则b2=−2+d,b故bn（2）cnTn−2T相减得3T所以3Tn所以Tn20．（2022·黑龙江·模拟预测）已知等比数列an的公比q>1，且a2+a3+a4=14，a3+1是a(1)求数列an、b(2)若cn=an+bn，d【解题思路】对于（1），设an首项为a1，公比为q.由a2+a3+a4=14，a3+1是a2，a对于（2），由（1）可得cn=2n−1+n+1【解答过程】（1）设an首项为a1，公比为q.由a2+a3+a4两式相除得q2+q+1q2−2q+1=7将q=2代入a1qq2+q+1=14，得设an⋅bn的前n项和为T得an⋅bn则an⋅bn=n⋅2n综上：an通项公式为an=2n−1，n∈N+（2）由（1）可得，cn=2则dn=2注意到2n−1则S==13−故Sn=121．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列an满足a4=4a1，a6+(1)求数列an，b(2)令cn=1an【解题思路】（1）利用定义法即可求出等差数列和等比数列的通项公式（2）通过（1）求出的an，bn的通项公式，表达数列【解答过程】（1）由题意，n∈N在等差数列an中，设a4=∴a等比数列bn中，设bb1=1∴b（2）由题意及（1）得，n∈N∗，n≥4，a在cn=设Tn当n为奇数时，Tn在Kn∵1∴K∴K在SnSn34解得：Sn∴Sn∴Tn当n为偶数时，Tn同理可得，Tn综上，c122．（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=1(1)求数列an(2)求数列2an+an【解题思路】（1）根据等比数列性质得到a1（2）利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算即可.【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，因为a2,a解得d=2或d=0（舍去）.故an（2）由（1）可得2a故Sn23．（2022·黑龙江·高三阶段练习（文））已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=log2a【解题思路】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{an}的通项公式代入bn=log2【解答过程】（1）{an}由a1=2，a3=2a2+16，得2q2∴an（2）bn=log2a∴数列{b则数列{bn}的前n24．（2022·全国·模拟预测）在数列an中，a1=2，a2=8(1)证明：an+1−2a(2)若bn=nan,n=2k−1,k∈N【解题思路】（1）由an+2=4an+1−4an，可得an+2−2an+1=2a（2）bn=12n,n=2k−1,k∈N【解答过程】（1）证明：因为a1=2，a2因为an+2=4a又a2−2a1=4≠0所以an+2所以an+1所以an+1所以an+1又a12=1所以an2n（2）由（1）知bn=n则bn的奇数项为以b1=12为首项，1所以当n为偶数，且n≥2时，Tn==12×1−1当n为奇数，且n≥3时，n−1为偶数，Tn=Tn−1+n=1时，T1所以，当n为奇数，且n≥1时，有Tn综上，Tn25．（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知等差数列an的前n项和为Sn，n∈N*，再从条件①、条件条件①：a2=4；条件②：an+1−a(1)求数列an(2)设等比数列bn满足b3=a2，b4=【解题思路】（1）若选①②，则a1+d=4d=2，解出a1,d，则可求得an；若选②③，则d=22a1+d=6解出a1（2）由（1）得b3=a2=4，b4=【解答过程】（1）选①②，由已知a2=4，得a1+d=4d=2∴数列an∴数列an的通项公式为a选②③，由已知an+1−a得d=22a1∴数列an∴数列an的通项公式为a选①③，由已知a2=4，得a1+d=42∴数列an∴数列an的通项公式为a（2）由（1）知，an=2n，∴b3∴等比数列bn的公比q=b4∴等比数列bn的通项公式为b∴数列an+bn=2+2n26．（2022·上海高二期中）已知数列an中，a1(1)判断数列1an是否为等差数列？并求数列(2)设数列bn满足：bn=2nan【解题思路】（1）对已知等式变形可得1an+1−（2）由（1）可得bn【解答过程】（1）∵a1=1，an+1=an1+3又1a1=1，∴∴1a∴an（2）∵bn∴Tn2T∴−=2+=−10+5−3n∴Tn27．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=1，a(1)求数列{a(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k=1,2,⋯)之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn【解题思路】（1）公式法解决即可；（2）ak与ak+1（k=1，2，…）之间插入2k，说明在数列bn中有10项来自【解答过程】（1）设数列{an}因为a4是a2和所以a42=因为a1所以d=1或d=0（舍），所以an所以通项公式an（2）由（1）得an因为ak与ak+1（k=1,2,3......所以在数列bn中有10项来自an，10项来自所以T2028．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列an中，Sn为其前n项和，a1=1，a3(1)求an(2)若b