2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换二课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE简洁的三角恒等变换(二)(20分钟35分)1.函数y=QUOTEsin2x+sin2x,x∈R的值域是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.y=QUOTEsin2x+sin2x=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x+QUOTE=QUOTEsinQUOTE+QUOTE,因为-1≤sinQUOTE≤1,所以y=QUOTEsin2x+sin2x的值域为QUOTE.2.QUOTE等于 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.1【解析】选A.原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.若tanQUOTE=3,则QUOTE= ()A.3 B.-3 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.因为tanQUOTE=QUOTE=3,所以tanθ=-QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=3.4.(2024·金昌高一检测)若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=θ时取得最小值,则cosθ等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.f(x)=5cosx+12sinx=13QUOTE=13sin(x+α),其中sinα=QUOTE,cosα=QUOTE,由题意知θ+α=2kπ-QUOTE(k∈Z),得θ=2kπ-QUOTE-α(k∈Z),所以cosθ=cosQUOTE=cosQUOTE=-sinα=-QUOTE.5.函数f(x)=QUOTEsinQUOTEx-2sin2QUOTExQUOTE的最小值是.

【解析】f(x)=QUOTEsinQUOTEx-QUOTE=2sinQUOTE-1,又QUOTE≤x≤QUOTE,所以QUOTE≤QUOTEx+QUOTE≤QUOTE,所以f(x)min=2sinQUOTE-1=QUOTE-1.答案:QUOTE-16.设函数f(x)=2cos2ωx+sinQUOTE+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为QUOTE.(1)求ω的值.(2)设f(x)在区间QUOTE上的最小值为QUOTE,求a的值.【解析】f(x)=1+cos2ωx+QUOTEsin2ωx-QUOTEcos2ωx+a=sinQUOTE+a+1.(1)由2ωx+QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z)得ωx=kπ+QUOTE(k∈Z).又ω>0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x=QUOTE=QUOTE,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=sinQUOTE+a+1,由QUOTE≤x≤QUOTE,得QUOTE≤2x≤QUOTEπ,QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以当2x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE时,f(x)取得最小值为QUOTE+a+1.由QUOTE+a+1=QUOTE,得a=QUOTE-QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知cosα,sinα是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,则sin2α= ()A.2-2QUOTE B.2QUOTE-2C.QUOTE-1 D.1-QUOTE【解析】选A.因为cosα,sinα是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,所以sinα+cosα=t,sinαcosα=t,由sin2α+cos2α=1,得(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1,即t2-2t=1,解得t=1-QUOTE,或t=1+QUOTE(舍).所以sin2α=2sinαcosα=2t=2-2QUOTE.2.若sinQUOTE+cosQUOTE=QUOTE,则sinQUOTE=()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.因为sinQUOTE+cosQUOTE=sinQUOTE+cosQUOTE=2cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=cosQUOTE=QUOTE,则cosQUOTE=1-2sin2QUOTE=1-2×QUOTE=QUOTE,因为cosQUOTE=cosQUOTE=-sinQUOTE=QUOTE,故sinQUOTE=-QUOTE.3.要使QUOTEsinα+cosα=QUOTE有意义,则应有 ()A.m≤QUOTE B.m≥-1C.m≤-1或m≥QUOTE D.-1≤m≤QUOTE【解析】选D.QUOTEsinα+cosα=2QUOTE=2sinQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,由于-1≤sinQUOTE≤1,所以-1≤QUOTE≤1,所以-1≤m≤QUOTE.4.(2024·大连高一检测)在斜三角形ABC中,sinA=-QUOTEcosBcosC,且tanB·tanC=1-QUOTE,则角A的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题意知,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-QUOTEcosBcosC,在等式-QUOTEcosBcosC=sinBcosC+cosBsinC两边同除以cosBcosC,得tanB+tanC=-QUOTE,又tan(B+C)=QUOTE=-1=-tanA,即tanA=1,因为0<A<π,所以A=QUOTE.5.(2024·江门高一检测)函数f(x)=sinQUOTE-3cosx的一个单调递增区间是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为f(x)=sinQUOTE-3cosx,=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1,令t=cosx,则t∈[-1,1],则f(t)=-2t2-3t+1,开口向下,对称轴为t=-QUOTE,当x∈QUOTE,y=cosx不单调,不符合题意,当x∈QUOTE时,y=cosx单调递减且cosx∈QUOTE,即t∈QUOTE,依据二次函数的性质可知,当t∈QUOTE,函数f(t)单调递减,依据复合函数的单调性可知,f(x)在QUOTE上单调递增.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=来截.

【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,又a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE.因为0<x<QUOTE,QUOTE<x+QUOTE<QUOTE,所以x+QUOTE=QUOTE或QUOTE,x=QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE7.(2024·泰安高一检测)设α为第四象限角,且QUOTE=QUOTE,则tan2α=.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cos2α+1=QUOTE,所以cos2α=QUOTE,又α是第四象限角,所以sin2α=-QUOTE,tan2α=-QUOTE.答案:-QUOTE8.已知A+B=QUOTE,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是.

【解析】因为A+B=QUOTE,所以cos2A+cos2B=QUOTE(1+cos2A+1+cos2B)=1+QUOTE(cos2A+cos2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cosQUOTEcos(A-B)=1-QUOTEcos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值QUOTE;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值QUOTE.答案:QUOTEQUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知cosQUOTE=QUOTE,QUOTE<α<QUOTE,求QUOTE的值.【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=sin2α·QUOTE=sin2α·tanQUOTE.由QUOTE<α<QUOTE,得QUOTE<α+QUOTE<2π,又cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=-QUOTE.cosα=cosQUOTE=-QUOTE,sinα=-QUOTE,sin2α=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE×QUOTE=-QUOTE.10.已知函数f(x)=2cos2QUOTE,g(x)=QUOTE.(1)求证:fQUOTE=g(x).(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π])的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值.【解析】(1)f(x)=2cos2QUOTE=1+cosx,g(x)=QUOTE=1+2sinQUOTEcosQUOTE=1+sinx.因为fQUOTE=1+cosQUOTE=1+sinx,所以fQUOTE=g(x).(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cosx-sinx=QUOTE=QUOTEcosQUOTE.因为x∈[0,π],所以QUOTE≤x+QUOTE≤QUOTE,当QUOTE≤x+QUOTE≤π,即0≤x≤QUOTE时,h(x)递减,当π<x+QUOTE≤QUOTE,即QUOTE<x≤π时,h(x)递增.所以函数h(x)的单调递减区间为QUOTE,单调递增区间为QUOTE,依据函数h(x)的单调性,可知当x=QUOTE时,函数h(x)取到最小值.【补偿训练】已知函数f(x)=QUOTEsinQUOTE+2sin2QUOTE(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.【解析】(1)因为f(x)=QUOTEsinQUOTE+2sin2QUOTE=QUOTEsinQUOTE+1-cosQUOTE=2QUOTE+1=2sinQUOTE+1=2sinQUOTE+1,所以T=QUOTE=π.(2)当f(x)取得最大值时,sinQUOTE=1,则2x-QUOTE=2kπ+QUOTE,即x=kπ+QUOTE(k∈Z),所以所求x的集合为QUOTE.1.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(QUOTEsinA,sinB),n=(cosB,QUOTEcosA),若m·n=1+cos(A+B),则C=.

【解析】因为m·n=1+cos(A+B)=QUOTEsinAcosB+QUOTEcosAsinB,所以QUOTEsin(A+B)=1+cos(A+B).又A+B=π-C,所以整理得sinQUOTE=QUOTE.因为0<C<π,所以QUOTE<C+QUOTE<QUOTE.所以C+QUOTE=QUOTE.所以C=QUOTE.答案:QUOTE2.如图,矩形ABCD的长AD=2QUOTE,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.【解析】过点B作BH⊥OA,