2025届高考数学一轮复习第八章立体几何第三节空间点线面之间的位置关系学案理含解析

PAGE第三节空间点、线、面之间的位置关系[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简洁命题.以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点.1.直观想象2.数学运算‖学问梳理‖1．平面的基本性质(1)公理1：假如一条直线上的eq\x(1)两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过eq\x(2)不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：假如两个不重合的平面有eq\x(3)一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．►常用结论三点不肯定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有多数个，所以必需是不在一条直线上的三点才能确定一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(4)平行,\x(5)相交)),异面直线：不同在\x(6)任何一个平面内，没有公共点))(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的eq\x(7)锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：eq\x(8)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．(3)公理4：平行于eq\x(9)同一条直线的两条直线相互平行．(4)定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角eq\x(10)相等或互补．►常用结论1．“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．不能把异面直线误会为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．3．异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不肯定是异面直线．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有eq\x(11)相交、eq\x(12)平行、eq\x(13)在平面内三种状况．(2)平面与平面的位置关系有eq\x(14)平行、eq\x(15)相交两种状况．‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)假如两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的随意一条直线．()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC．()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()(5)没有公共点的两条直线是异面直线．()(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×二、走进教材2．(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案：C3．(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形肯定是()A．梯形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B三、易错自纠4．(2025届江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂α B．b∥αC．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：选Db与α相交或b⊂α或b∥α都可能．6．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．解析：如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB＝eq\r(2)AB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.答案：60°eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(平面的基本性质及应用))|题组突破|1.如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．故选A．2．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中随意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B①正确，可以用反证法证明：若其中随意三点共线，则四点必共面；②不正确，若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不肯定共面；③不正确，构造长方体或正方体，如图明显b，c异面；④不正确，空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．►名师点津推断线共面或点共面的3种方法(1)干脆法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)协助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最终证明平面α，β重合．eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(空间两条直线的位置关系))|题组突破|3．(2024年全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：选B取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD．又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD．设正方形ABCD的边长为2，则EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，解得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋22＝7，解得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，故选B．4．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的序号是________．解析：图①中，直线GH∥MN，因此GH与MN共面；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．答案：②④►名师点津异面直线的判定方法eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(异面直线所成的角——变式探究))【例】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1(或其补角)即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AA1＝2AB＝2，底面为正方形，得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f(4,5).故选D．[答案]D|变式探究|1．将本例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，问题不变．解：由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，得AA1＝1.此时正四棱柱变为正方体ABCD－A1B1C1D1，由图知(图略)A1B与AD1所成角为∠A1BC1(或其补角)，连接A1C1，则△A1BC1为等边三角形，∴∠A1BC1＝60°，∴cos∠A1BC1＝eq\f(1,2)，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f(1,2).2．将本例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等，若存在，存在几条？若不存在，说明理由．解：由条件知，此时正四棱柱为正方体．如图，连接对角线AC1，明显AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等．因为BB1∥AA1，BC∥AD，所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满意，故这样的直线可以作4条．►名师点津用平移法求异面直线所成角的3个步骤(1)一作：依据定义作平行线，作出异面直线所成的角．(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．(3)三求：解三角形，求出作出的角，假如求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，假如求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(空间两直线位置关系的创新应用问题))【例】(2024年全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________(填写全部正确结论的编号)．[解析]由题意知，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B．作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝eq\r(2)，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝eq\r(2).又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝eq\r(2)，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝eq\r(2)，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，②正确，①错误；当a为AB在圆锥底面的射影时，所成角为45°，③正确；很明显，可以满意平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．∴正确的说法为②③.[答案]②③►名师点津把a，b平移到圆锥底面构造线线角，解决问题使问题直观．|跟踪训练|(2025届武汉市武昌区高三三调)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列结论：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点动身的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点动身的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确结论的序号是________．(写出全部正确结论的序号)解析：对于①，如图1，AE，CF分别为BD边上的高，由三角形全等可知DE＝BF，当且仅当AD＝AB，CD＝BC时，E，F重合，此时AC⊥BD，所以只有当四面体ABCD为正四面体时，每组对棱才相互垂直，故①错误；对于②，因为AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，所以四面体ABCD的四个面全等，所以四面体ABCD每个面的面积相等，故②