2024-2025学年高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式2.2建立概率模型学案含解析北师大版必修3

PAGE2古典概型2．1古典概型的特征和概率计算公式2．2建立概率模型考纲定位重难突破1.通过实例理解古典概型的两个特征及古典概型的定义.2.驾驭古典概型的概率计算公式.3.理解概率模型的特点及应用.重点：古典概型的概念及其概率公式的应用条件.难点：古典概型的概率的计算.授课提示：对应学生用书第43页[自主梳理]1．古典概型2．古典概型的概率计算公式对于古典概型，通常试验中的某一事务A是由几个基本领件组成的．假如试验的全部可能结果为n，随机事务A包含的基本领件数为m，那么事务A的概率规定为P(A)＝eq\f(事务A包含的全部可能结果数,试验的全部可能结果数)＝eq\f(m,n).3．建立古典概率模型的要求(1)在建立概率模型时，假如每次试验有且只有一个基本领件出现．(2)基本领件的个数是有限的．(3)并且它们的发生是等可能的．满意上述三个条件的概率模型就是一个古典概型．4．古典概率模型的解决方案从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的全部可能结果越少，问题的解决就变得越简洁．[双基自测]1．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面随意摸2个小球，下列事务不是基本领件的是()A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}解析：至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球．答案：D2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，视察点的位置，则事务“点落在x轴上”包含的基本领件的个数共有()A．7个 B．8个C．9个 D．10个解析：符合要求的基本领件是(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)．答案：C3．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的全部点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只运用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．解析：①不属于，缘由是全部横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满意有限性；②不属于，缘由是命中0环，1环，…，10环的概率不肯定相同，不满意等可能性；③属于，缘由是满意有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，缘由是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满意有限性；⑤不属于，缘由是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不肯定相同，不满意等可能性．答案：③授课提示：对应学生用书第44页探究一基本领件的计数问题[典例1]做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本领件；(2)事务“出现点数之和大于8”[解析](1)这个试验的基本领件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)事务“出现点数之和大于8”基本领件的两个探求方法：(1)列表法：将基本领件用表格的方式表示出来，通过表格可以清晰地看出基本领件的总数，以及要求的事务所包含的基本领件数，列表法适合于较简洁的试验的题目，基本领件较多的试验不适合用列表法．(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本领件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本领件间的结构关系，对于较困难的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较困难的试验的题目．1．连续掷3枚硬币，视察落地后这3枚硬币出现正面还是反面：(1)写出这个试验的全部基本领件；(2)求这个试验的基本领件的总数；(3)记A＝“恰有两枚正面对上”这一事务，则事务A包含哪几个基本领件？解析：(1)作树状图如图．故全部基本领件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)基本领件的总数是8.(3)“恰有两枚正面对上”包含以下3个基本领件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．探究二古典概型概率问题的求法[典例2]袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中随意取出两球，求下列事务的概率：(1)事务A：取出的两球都是白球；(2)事务B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．[解析]设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个的取法总数，共有6种，为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．所以取出的两球都是白球的概率为P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)共8种．所以取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝eq\f(8,15).求古典概型概率的计算步骤：(1)求出基本领件的总个数n.(2)求出事务A包含的基本领件的个数m.(3)求出事务A的概率P(A)＝eq\f(事务A所包含的基本领件数,试验的基本领件总数)＝eq\f(m,n).2．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取出1只，求连续2只取出的都是正品的概率；(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．解析：(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b1，画出树状图如图．基本领件总数为9，连续2次取得正品的基本领件数是4，所以其概率是P＝eq\f(4,9).(2)“从中一次任取2只”得到的基本领件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1(a1a2表示一次取出正品a1，a2)，“2只都是正品”的基本领件数是1，所以其概率是P＝eq\f(1,3).探究三与古典概型有关的综合问题[典例3]设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析]设事务A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的条件为a≥b.基本领件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b的取值．事务A包含9个基本领件，为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，故事务A发生的概率为P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(1)留意放回与不放回的区分．(2)在古典概型下，当基本领件总数为n时，每个基本领件发生的概率均为eq\f(1,n)，要求事务A的概率，关键是求出基本领件总数n和事务A所包含的基本领件数m，再由古典概型概率公式P(A)＝eq\f(m,n)求事务A的概率．3．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练竞赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间10～2020～3030～40人数(2)从得分在20～30内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出全部可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解析：(1)由得分记录表，从左到右应填4，6，6.(2)①得分在20～30内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，全部可能的抽取结果有：(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A10)，(A3，A11)，(A3，A13)，(A4，A5)，(A4，A10)，(A4，A11)，(A4，A13)，(A5，A10)，(A5，A11)，(A5，A13)，(A10，A11)，(A10，A13)，(A11，A13)，共15种．②从得分在20～30内的运动员中随机抽取2人，将“这2人得分之和大于50”记为事务B，则事务B的全部可能结果有：(A4，A5)，(A4，A10)，(A4，A11)，(A5，A10)，(A10，A11)，共5种，所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).树形图的应用[典例]某盒子中有红、黄、蓝、黑色调笔各1支，这4支笔除颜色外完全相同，4个人按依次依次从盒中抽出1支，求基本领件总数．[解析]把这4支笔分别编号为1，2，3，4，则4个人按依次依次从盒中抽取1支彩笔的全部可能结果用树状图直观地表示如图所示．由树状图知共有24个基本领件．[感悟提高]利用树形图(表格)找寻基本领件的个数形象直观且不易出错.[随堂训练]对应学生用书第45页1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；②每个事务出现的可能性相等；③每个基本领件出现的可能性相等；④已知基本领件总数为n，若随机事务A包含k个基本领件，则事务A发生的概率P(A)＝eq\f(k,n).其中全部正确说法的序号是()A．①②④ B．①③C．③④ D．①③④解析：②中所说的事务不肯定是基本领件，所以②不正确；依据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D.答案：D2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1解析：列举基本领件，从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种；甲被选中的可能结果是(甲，乙)，(甲，丙)，共2种，所以P(“甲被选中”)＝eq\f(2,3).答案：C3．从集合A＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，－3，4}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过其次象限的概率为________．解析：依题意k和b的全部可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2，4)，(3，－2)，(3，－3)，(3，4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4，4)，共9种，当直线y＝kx＋b不经过其次象限时，应有k>0，b<0，满意条件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－3)，共4种，所以所求概率为eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)4．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的3个黑球，从中随意摸出2个球．(1)共有多少个不同的基本领件，这样的基本领件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？(2)摸出的两个球都是黑球记为事务A，问事务A包含几个