2024-2025学年高中数学第一章统计案例1.1回归分析学案含解析北师大版选修1-2

PAGE§1回来分析授课提示：对应学生用书第1页[自主梳理]一、线性回来方程y＝a＋bx的求法1．平均值的符号表示假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，在统计上，用eq\x\to(x)表示一组数据x1，x2，…，xn的平均值，即eq\x\to(x)＝________＝________；用eq\x\to(y)表示一组数据y1，y2，…，yn的平均值，即eq\x\to(y)＝________＝________.2．参数a、b的求法b＝eq\f(lxy,lxx)＝______________＝______________，a＝______________.二、相关系数1．相关系数r的计算假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，，yn)，则变量间线性相关系数r＝eq\f(lxy,\r(lxxlyy))＝______________＝______________.2．相关系数r的性质(1)r的取值范围为________；(2)|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越________；(3)|r|值越接近0，Q越大，变量之间的线性相关程度越________．3．相关性的分类(1)当________时，两个变量正相关；(2)当________时，两个变量负相关；(3)当________时，两个变量线性不相关．三、可线性化的回来分析曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lny______y＝aebxc＝lnau＝lny______y＝aeeq\f(b,x)c＝lnav＝eq\f(b,x)u＝lnyy＝a＋______blnxv＝lnxu＝y______[双基自测]1．下列变量是相关关系的是()A．人的身高与视力B．圆心角的大小与其所对的圆弧长C．直线上某点的横坐标与纵坐标D．人的年龄与身高2．已知回来方程y＝1.5x－15，则下面正确的是()A.eq\x\to(y)＝1.5，eq\x\to(x)＝15 B．15是回来系数aC．1.5是回来系数a D．当x＝10时，y＝03．对于线性相关系数r，下列叙述正确的是()A．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越大，反之，相关程度越小B．r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越大，反之，相关程度越小C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小D．以上说法都不对4．对于指数曲线y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，经过非线性化回来分析之后，可以转化成的形式为________．[自主梳理]一、1.eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)ieq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i2.eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)二、1.eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))2．(1)[－1,1](2)高(3)低3.(1)r>0(2)r<0(3)r＝0三、u＝c＋bvu＝c＋bxu＝c＋vu＝a＋bv[双基自测]1．D2.A3.C4.u＝c＋bx授课提示：对应学生用书第2页探究一线性回来方程[例1]假设一个人从诞生到死亡，在每个生日那天都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回来来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：年龄x/周岁3456789身高y/cm90.897.6104.2110.9115.7122.0128.5年龄x/周岁10111213141516身高y/cm134.2140.8147.6154.2160.9167.6173.0(1)作出这些数据的散点图；(2)求出这些数据的线性回来方程．[解析](1)数据的散点图如图：(2)因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,14)×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,14)×(90.8＋97.6＋…＋173.0)＝132，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi－14\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－14\x\to(x)2)≈6.316，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝71.998，所以数据的线性回来方程为y＝6.316x＋71.998.求线性回来方程的一般步骤：作出散点图，依据散点图推断两个变量是否具有线性相关关系；若线性相关，则依据公式计算回来系数b和回来截距a；写出线性回来方程y＝bx＋a.利用线性回来方程可以进行预料、估计．1．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析探讨，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与试验室每天100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽数y(颗)2325302616该农科所确定的探讨方案：先从这5组数据中选取3组数据求线性回来方程，剩下的2组数据用于回来方程检验．(1)若选取12月1日和12月5日这两日的数据进行检验，请依据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回来方程y＝bx＋a；(2)若由线性回来方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回来方程是牢靠的，试问(1)中所得到的线性回来方程是否牢靠？若牢靠，请预料温差为14℃解析：(1)由数据，求得eq\x\to(x)＝12，eq\x\to(y)＝27，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xiyi＝11×25＋13×30＋12×26＝977，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝112＋132＋122＝434，所以b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xiyi－3\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－3\x\to(x)2)＝eq\f(977－3×12×27,434－3×122)＝eq\f(5,2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝－3.所以y关于x的线性回来方程为y＝eq\f(5,2)x－3.(2)当x＝10时，y＝eq\f(5,2)×10－3＝22，|22－23|<2；当x＝8时，y＝eq\f(5,2)×8－3＝17，|17－16|<2.所以得到的线性回来方程是牢靠的．当x＝14时，有y＝eq\f(5,2)×14－3＝32.所以预料温差为14℃时的发芽数约为32颗．探究二相关系数[例2]关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325试推断x与y之间是否有线性相关关系．[解析]eq\x\to(x)＝eq\f(1,7)×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi－7\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－7\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－7\x\to(y)2))＝eq\f(18542－7×27.4×81.3,\r(5414－7×27.42×124393－7×81.32))≈0.8375.由于r≈0.8375与1比较接近，∴x与y具有线性相关关系．回来分析是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的，对于相关关系不明确的两个变量，可先作散点图，由图粗略的分析它们是否具有相关关系，在此基础上，求其回来方程，并作回来分析．2．下面的数据是从年龄在40岁到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间x(小时).看电视的平均时间x4.44.62.75.80.24.6心脏功能水平y525369578965(1)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r；(2)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回来方程，并探讨方程是否有意义；(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.7167，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(52＋53＋…＋65)≈64.1667，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－6eq\x\to(x)2≈(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.71672≈19.7668，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－6eq\x\to(y)2≈(522＋532＋…＋652)－6×64.16672≈964.8077，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi－6eq\x\to(x)eq\x\to(y)≈(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.7167×64.1667≈－124.6302.(1)心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相关系数：r≈eq\f(－124.6302,\r(19.7668×964.8077))≈－0.9025.(2)b≈eq\f(－124.6302,19.7668)≈－6.3050，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈87.6005，心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回来方程为y＝87.6005－6.3050x.由(1)知y与x之间有较强的线性关系，这个方程是有意义的．(3)将x＝3代入线性回来方程y＝87.6005－6.3050×3，可得y≈68.7，即平均每天看电视3小时，心脏功能水平约为68.7.探究三可线性化的回来分析问题[例3]假设学生在初一和初二的数学成果是线性相关的，若10个学生的初一数学成果(x)和初二数学成果(y)列表如下：x74717268767367706574y76757170767965776272试求初一数学和初二数学成果间的线性回来方程．[解析]依据表中数据作出散点图(图略)，可看出y与x具有较强的线性相关关系，由题意可以求得eq\x\to(x)＝71，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝50520，eq\x\to(y)＝72.3，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝51467，所以b＝eq\f(51467－10×71×72.3,50520－10×712)≈1.2182，a≈72.3－1.2182×71＝－14.192，则线性回来方程为y＝1.2182x－14.192.建立回来模型的基本步骤：(1)画出散点图，视察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(2)由阅历确定回来方程的类型(如视察到数据呈线性关系，则选用线性回来方程y＝a＋bx)．(3)按肯定规则估计回来方程中的参数(如最小二乘法)．(4)得出结论后分析是否有异样，若存在异样，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．3．一个车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如表：零件数x/个102030405060708090100加工时间y/分钟626875818995102108115122(1)画出散点图；(2)求线性回来方程；(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？解析：(1)散点图如图所示．(2)设线性回来方程为y＝bx＋a.列表并利用科学计算器进行有关计算.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\x\to(x)＝55，eq\x\to(y)＝91.7，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝38500，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1)