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文档简介
辽宁省锦州市联合校2025届高二数学第一学期期末调研试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若指数函数(且)与三次函数的图象恰好有两个不同的交点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.2.已知,分别为椭圆的左右焦点,为坐标原点,椭圆上存在一点,使得,设的面积为,若,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.3.下列双曲线中,渐近线方程为的是A. B.C. D.4.直线的倾斜角为()A. B.C. D.5.已知椭圆,则下列结论正确的是()A.长轴长为2 B.焦距为C.短轴长为 D.离心率为6.函数y=ln(1﹣x)的图象大致为()A. B.C D.7.设集合,则AB=()A.{2} B.{2,3}C.{3,4} D.{2,3,4}8.在四棱锥中,底面为平行四边形,为边的中点,为边上的一列点,连接,交于,且,其中数列的首项,则()A. B.为等比数列C. D.9.已知直线,,,则m值为()A. B.C.3 D.1010.已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列结论正确的是()A.若,则 B.若,则C若,则 D.若,则11.已知圆,为圆外的任意一点,过点引圆的两条切线、,使得,其中、为切点.在点运动的过程中,线段所扫过图形的面积为()A. B.C. D.12.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.“至少有1个白球”和“都是红球”B.“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C.“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D.“至多有1个白球”和“都是红球”二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则集合中的元素个数为______14.已知圆:和圆:,动圆M同时与圆及圆外切,则动圆的圆心M的轨迹方程为______.15.如图直线过点,且与直线和分别相交于,两点.(1)求过与交点,且与直线垂直的直线方程;(2)若线段恰被点平分,求直线的方程.16.写出一个公比为3,且第三项小于1的等比数列______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆的圆心在第一象限内,圆关于直线对称,与轴相切,被直线截得的弦长为.(1)求圆的方程;(2)若点,求过点的圆的切线方程.18.(12分)已知数列满足,().(1)证明:数列是等比数列,并求出数列的通项公式;(2)数列满足:(),求数列的前项和.19.(12分)已知函数.(1)当时,求的极值;(2)当时,,求a的取值范围.20.(12分)设函数(1)若,求的单调区间和极值;(2)在(1)的条件下,证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点;(3)若存在,使得,求的取值范围21.(12分)已知双曲线的左,右焦点为,离心率为.(1)求双曲线C的渐近线方程;(2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A,B两点,若,求k的值.22.(10分)已知椭圆C:()过点,且离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)过点()的直线l(不与x轴重合)与椭圆C交于A,B两点,点C与点B关于x轴对称,直线AC与x轴交于点Q,试问是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析可知直线与曲线在上的图象有两个交点,令可得出,令,问题转化为直线与曲线有两个交点,利用导数分析函数的单调性与极值,数形结合可得出实数的取值范围.【详解】当时,,,此时两个函数的图象无交点;当时,由得,可得,令,其中,则直线与曲线有两个交点,,当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,则,且当时,,作出直线与曲线如下图所示:由图可知,当时,即当时,指数函数(且)与三次函数的图象恰好有两个不同的交点.故选:A.2、D【解析】由可得直角三角形,故,且,结合,联立可得,即得解【详解】由题意,故为直角三角形,,又,,又为直角三角形,故,,即,.故选:D.3、A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为,故选A.考点:本题主要考查双曲线的渐近线公式.4、D【解析】由直线斜率概念可写出倾斜角的正切值,进而可求出倾斜角.【详解】因为直线的斜率为,所以倾斜角.故选D【点睛】本题主要考查直线的倾斜角,由斜率的概念,即可求出结果.5、D【解析】根据已知条件求得,由此确定正确答案.【详解】依题意椭圆,所以,所以长轴长为,焦距为,短轴长为,ABC选项错误.离心率为,D选项正确.故选:D6、C【解析】根据函数的定义域和特殊点,判断出正确选项.【详解】由,解得,也即函数的定义域为,由此排除A,B选项.当时,,由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选:C【点睛】本小题主要考查函数图像识别,属于基础题.7、B【解析】按交集定义求解即可.【详解】AB={2,3}故选:B8、A【解析】由得,为边的中点得,设,所以,根据向量相等可判断A选项;由得是公比为的等比数列,可判断B选项;代入可判断C选项;当时可判断D选项.【详解】由得,因为为边的中点,所以,所以设,所以,所以,当时,A选项正确;,由得,是公比为的等比数列,所以,所以,所以,不是常数,故B选项错误;所以,由得,故C选项错误;当时,,所以,此时为的中点,与重合,即,,故D错误.故选:A.9、C【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程,解得即可;【详解】解:因为,且,所以,解得;故选:C10、C【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,逐一核对四个选项得答案【详解】解:对于A:若,则或,故A错误;对于B:若,则或与相交,故B错误;对于C:若,根据面面垂直的判定定理可得,故C正确;对于D:若则与平行、相交、或异面,故D错误;故选:C11、D【解析】连接、、,分析可知四边形为正方形,求出点的轨迹方程,分析可知线段所扫过图形为是夹在圆和圆的圆环,利用圆的面积公式可求得结果.【详解】连接、、,由圆的几何性质可知,,又因为且,故四边形为正方形,圆心,半径为,则,故点的轨迹方程为,所以,线段扫过的图形是夹在圆和圆的圆环,故在点运动的过程中,线段所扫过图形的面积为.故选:D.12、C【解析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【详解】对于选项A,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C,“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球,与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】根据空间平面向量的运算性质,结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】由图像可知,,则因为棱长为1,,所以,所以,故集合中的元素个数为1故答案为:114、【解析】根据动圆同时与圆及圆外切,即可得到几何关系,再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.【详解】由题,设动圆的半径为,圆的半径为,圆的半径为,当动圆与圆,圆外切时,,,所以,因为圆心,,即,又根据双曲线的定义,得动点的轨迹为双曲线的上支,其中,,所以,则动圆圆心的轨迹方程是;故答案为:15、(1);(2).【解析】本题考查直线方程的基本求法:垂直直线的求法、点关于点对称、点在直线上的待定系数法【详解】(1)由题可得交点,所以所求直线方程为,即;(2)设直线与直线相交于点,因为线段恰被点平分,所以直线与直线的交点的坐标为将点,的坐标分别代入,的方程,得方程组解得由点和点及两点式,得直线的方程为,即【点睛】直线的考法主要以点的对称和直线的平行与垂直为主.点关于点的对称,点关于直线的对称,直线关于直线的对称,是重点考察内容16、(答案不唯一)【解析】由条件确定该等比数列的首项的可能值,由此确定该数列的通项公式.【详解】设数列的公比为,则,由已知可得,∴,所以,故可取,故满足条件的等比数列的通项公式可能为,故答案为:(答案不唯一)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)或【解析】(1)结合点到直线的距离公式、弦长公式求得,由此求得圆的方程.(2)根据过的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论,结合点到直线的距离公式求得切线方程.【小问1详解】由题意,设圆的标准方程为:,圆关于直线对称,圆与轴相切:…①点到的距离为:,圆被直线截得的弦长为,,结合①有:,,又,,,圆的标准方程为:.【小问2详解】当直线的斜率不存在时,满足题意当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,则方程为.又圆C的圆心为,半径,由,解得.所以直线方程为,即即直线的方程为或.18、(1)证明见解析,;(2).【解析】(1)将给定等式变形,计算即可判断数列类型,再求出其通项而得解;(2)利用(1)的结论求出数列的通项,然后利用错位相减法求解即得.【详解】(1)因数列满足,,则,而,于是数列是首项为1,公比为2的等比数列,,即,所以数列是等比数列,,;(2)由(1)知,则于是得,,所以数列的前项和.19、(1)极大值,没有极小值(2)【解析】(1)把代入,然后对函数求导,结合导数可求函数单调区间,即可得解;(2)构造函数,将不等式的恒成立转化为函数的最值问题,结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论,其中当和时易判断函数的单调性以及最小值,而当时,的最小值与0进一步判断【小问1详解】当时,的定义域为,.当时,,当时,,所以在上为增函数,在上为减函数.故有极大值,没有极小值.【小问2详解】当时,恒成立等价于对于任意恒成立.令,则.若,则,所以在上单调递减,所以,符合题意.若,所以在上单调递减,,符合题意.若,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,不合题意.综上可知,a的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题考查了不等式恒成立问题,其关键是构造函数,通过讨论参数在不同取值范围时函数的单调性,求出函数的最值,解出参数的范围.必要时二次求导.20、(1)递减区间是,单调递增区间是,极小值(2)证明见解析(3)【解析】(1)对函数进行求导通分化简,求出解得,在列出与在区间上的表格,即可得到答案.(2)由(1)知,在区间上的最小值为,因为存在零点,所以,从而.在对进行分类讨论,再利用函数的单调性得出结论.(3)构造函数,在对进行求导,在对进行分情况讨论,即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为,,由解得与在区间上的情况如下:–↘↗所以,的单调递减区间是,单调递增区间是;在处取得极小值,无极大值【小问2详解】由(1)知,在区间上的最小值为因为存在零点,所以,从而当时,在区间上单调递减,且,所以是在区间上的唯一零点当时,在区间上单调递减,且,所以在区间上仅有一个零点综上可知,若存在零点,则在区间上仅有一个零点【小问3详解】设,①若,则,符合题意②若,则,故当时,,在上单调递增所以,存在,使得的充要条件为,解得③若,则,故当时,;当时,在上单调递减,在上单调递增所以,存在,使得的充要条件为,而,所以不合题意综上,的取值范围是【点睛】本题考查求函数的单调区间和极值、证明给定区间只有一个零点问题,以及含参存在问题,属于难题.21、(1)(2)【解析】(1)由离心率可得双曲线的渐近线方程;(2)设,则的中点为,由,可得,然后的方程与双曲线的渐近线方程联立,利用韦达定理可得答案.【小问1详解】设,则,又,所以,得,所以双曲线的渐近线方程为.【小问2详解】由已知直线的倾斜角不是直角,,设,则的中点为,,由,可知,所以,即,因为的方程为,双曲线的渐近线方程可写为,由消去y,得,所以,,所以,因为,所以,即.22、(1)(2)为定值【解析】(1)由题意可得解方程组求出,从而可得椭圆方程
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