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文档简介
2025届江西省上饶市横峰中学、铅山一中、余干一中数学高二上期末达标检测试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.数列满足,且,是函数的极值点,则的值是()A.2 B.3C.4 D.52.已知平面上两点,则下列向量是直线的方向向量是()A. B.C. D.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则△ABC()A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形4.已知函数有两个极值点m,n,且,则的最大值为()A. B.C. D.5.“”是“圆与轴相切”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知等比数列的前3项和为3,,则()A. B.4C. D.17.已知定义在R上的函数满足,且有,则的解集为()A. B.C. D.8.命题:“x>0,都有x2-x+1≤0”的否定是()A.x>0,使得x2-x+1≤0 B.x>0,使得x2-x+1>0C.x>0,都有x2-x+1>0 D.x≤0,都有x2-x+1>09.有6本不同的书,按下列方式进行分配,其中分配种数正确的是()A.分给甲、乙、丙三人,每人各2本,有15种分法;B.分给甲、乙、丙三人中,一人4本,另两人各1本,有180种分法;C.分给甲乙每人各2本,分给丙丁每人各1本,共有90种分法;D.分给甲乙丙丁四人,有两人各2本,另两人各1本,有1080种分法;10.顶点在原点,关于轴对称,并且经过点的抛物线方程为()A. B.C. D.11.五行学说是中华民族创造的哲学思想.古代先民认为,天下万物皆由五种元素组成,分别是金、木、水、火、土,彼此之间存在如图所示的相生相克关系.若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种,则这两种元素恰是相生关系的概率是()A. B.C. D.12.已知梯形ABCD中,,,且对角线交于点E,过点E作与AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是与,则直线l与CD所在直线的距离为()A.1 B.2C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题.“今有城墙厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半……”题意是:“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙______尺;若城墙厚40尺,则至少在第________天相遇14.已知曲线,则曲线在点处的切线方程为______15.计算:________16.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在长方体中,,若点P为棱上一点,且,Q,R分别为棱上的点,且.(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.18.(12分)已知的内角的对边分别为a,,若向量,且(1)求角的值;(2)已知的外接圆半径为,求周长的最大值.19.(12分)在平面直角坐标系中,已知点.点M满足.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)直线l经过点,与轨迹C分别交于点M、N,与直线交于点Q,求证:.20.(12分)已知抛物线的焦点为,且为圆的圆心.过点的直线交抛物线与圆分别为,,,(从上到下)(1)求抛物线方程并证明是定值;(2)若,的面积比是,求直线的方程21.(12分)双曲线的离心率为2,经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.(1)求C的方程;(2)设A,B是C上两点,线段AB的中点为,求直线AB的方程.22.(10分)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一点,M是PB的中点,平面ABC,且,,.(1)求证:平面PAC;(2)求三棱锥M—ABC体积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用导数即可求出函数的极值点,再利用等差数列的性质及其对数的运算性质求解即可【详解】由,得,因为,是函数的极值点,所以,是方程两个实根,所以,因为数列满足,所以,所以数列为等差数列,所以,所以,故选:C2、D【解析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示,以及直线的方向向量的定义可得选项.【详解】解:因为两点,则,又因为与向量平行,所以直线的方向向量是,故选:D.3、C【解析】由余弦定理确定角的范围,从而判断出三角形形状【详解】由得-cosC>0,所以cosC<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.故选:C4、C【解析】对求导得,得到m,n是两个根,由根与系数的关系可得m,n的关系,然后构造函数,利用导数求单调性,进而得最值.【详解】由得:m,n是两个根,由根与系数的关系得:,故,令记,则,故在上单调递减.故选:C5、A【解析】根据充分不必要条件的定义和圆心到轴的距离求出可得答案.【详解】时,圆的圆心坐标为,半径为2,此时圆与轴相切;当圆与轴相切时,因为圆的半径为2,所以圆心到轴的距离为,所以,“”是“圆与轴相切”的充分不必要条件故选:A6、D【解析】设等比数列公比为,由已知结合等比数列的通项公式可求得,,代入即可求得结果.【详解】设等比数列的公比为,由,得即,又,即又,,解得又等比数列的前3项和为3,故,即,解得故选:D7、A【解析】构造,应用导数及已知条件判断的单调性,而题设不等式等价于即可得解.【详解】设,则,∴R上单调递增.又,则.∵等价于,即,∴,即所求不等式的解集为.故选:A.8、B【解析】全称命题的否定是特称命题,把任意改为存在,把结论否定.【详解】“x>0,都有x2-x+1≤0”的否定是“x>0,使得x2-x+1>0”.故选:B9、D【解析】根据题意,分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.【详解】选项A,6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人各2本,有种分配方法,故该选项错误;选项B,6本不同的书分给甲、乙、丙三人,一人4本,另两人各1本,先将6本书分成4-1-1的3组,再将三组分给甲乙丙三人,有种分配方法,故该选项错误;选项C,6本不同的书分给甲乙每人各2本,有种方法,其余分给丙丁每人各1本,有种方法,所以不同的分配方法有种,故该选项错误;选项D,先将6本书分为2-2-1-14组,再将4组分给甲乙丙丁4人,有种方法,故该选项正确.故选:D.10、C【解析】根据题意,设抛物线的方程为,进而待定系数求解即可.【详解】解:由题,设抛物线的方程为,因为在抛物线上,所以,解得,即所求抛物线方程为故选:C11、C【解析】先计算从金、木、水、火、土五种元素中任取两种的所有基本事件数,再计算其中两种元素恰是相生关系的基本事件数,利用古典概型概率公式,即得解【详解】由题意,从金、木、水、火、土五种元素中任取两种,共有(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木土),(水,火),(水,土),(火,土),共10个基本事件,其中两种元素恰是相生关系包含(金,木),(木,土),(土,水),(水,火)(火,金)共5个基本事件,所以所求概率.故选:C12、B【解析】先求得直线AB和CD之间的距离,再求直线l与CD所在直线的距离即可解决.【详解】梯形ABCD中,,,且对角线交于点E,则有△与△相似,相似比为,则,点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的又AB和CD所在直线的距离为,则直线l与CD所在直线的距离为2故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①.##0.25②.6【解析】由题意知小老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以为公比的等比数列,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可算出小老鼠第三天穿城墙的厚度,再根据等比数列求和公式,构造等式,即可得解.【详解】由题意知,小老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以为公比的等比数列,前天打洞之和为,∴小老鼠第三天穿城墙的厚度为;大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,前天打洞之和为,∴两只老鼠第天打洞穿墙的厚度之和为,且数列为递增数列,而,,又城墙厚40尺,所以这两只老鼠至少6天相遇.故答案为:;6.14、【解析】利用导数求出切线的斜率即得解.【详解】解:由题得,所以切线的斜率为,所以切线的方程为即.故答案为:15、【解析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.【详解】.故答案为:.16、.【解析】设事件:第1次抽到代数题,事件:第2次抽到几何题,求得,结合条件概率的计算公式,即可求解.【详解】由题意,从5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出不再放回,设事件:第1次抽到代数题,事件:第2次抽到几何题,则,,所以在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为:.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,用空间向量法求线面角;(2)用空间向量法求二面角【小问1详解】以D为坐标原点,射线方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.当时,,所以,设平面的法向量为,所以,即不妨得,,又,所以,则【小问2详解】在长方体中,因为平面,所以平面平面,因为平面与平面交于,因为四边形为正方形,所以,所以平面,即为平面的一个法向量,,所以,又平面的法向量为,所以.18、(1)(2)6【解析】(1)由可得,再利用正弦定理和三角函数恒等变换公可得,从而可求出角的值,(2)利用正弦定理求出,再利用余弦定理结合基本不等式可得的最大值为4,从而可求出三角形周长的最大值【小问1详解】由,得
,由正弦定理,得,即.在中,由,得.又,所以.【小问2详解】根据题意,得,由余弦定理,得,即,整理得,当且仅当时,取等号,所以的最大值为所以.所以的周长的最大值为
.19、(1)(2)证明见解析【解析】(1)根据已知得点M的轨迹C为椭圆,根据椭圆定义可得方程;(2)直线的方程设为,与椭圆方程联立,利用韦达定理及线段长公式进行计算即可.【小问1详解】由椭圆定义得,点M的轨迹C为以点为焦点,长轴长为4的椭圆,设此椭圆的标准方程为,则由题意得,所以C方程为;【小问2详解】设点的坐标分别为,由题意知直线的斜率一定存在,设为,则直线的方程可设为,与椭圆方程联立可得,由韦达定理知,所以,,又因为,所以又由题知,所以,所以,所以,得证.20、(1),证明见解析(2)【解析】(1)根据,结合韦达定理即可获解(2),再结合焦点弦公式即可获解【小问1详解】由题知,故,抛物线方程为,设直线的方程为,,,,,,得,,,,【小问2详解】,由(1)知,可求得,,故的方程为,即【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键是要把面积的比例关系转为为边的比例关系21、(1)(2)【解析】(1)根据已知条件求得,由此求得的方程.(2)结合点差法求得直线的斜率,从而求得直线的方程.【小问1详解】因为C的离心率为2,所以,可得.将代入可得,由题设.解得,,,所以C的方程
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