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文档简介

山东省泰安市东平县2025届高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()A. B. C. D.2.某四棱锥的三视图如图所示,该几何体的体积是()A.8 B. C.4 D.3.集合,则集合的真子集的个数是A.1个 B.3个 C.4个 D.7个4.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.5.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为()A. B. C. D.6.已知函数,,若方程恰有三个不相等的实根,则的取值范围为()A. B.C. D.7.已知函数,,若总有恒成立.记的最小值为,则的最大值为()A.1 B. C. D.8.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则的值为()A.2 B.3 C.4 D.9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B. C. D.10.在展开式中的常数项为A.1 B.2 C.3 D.711.已知抛物线的焦点为,若抛物线上的点关于直线对称的点恰好在射线上,则直线被截得的弦长为()A. B. C. D.12.执行如图所示的程序框图,当输出的时,则输入的的值为()A.-2 B.-1 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面直角坐标系xOy中,己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为,,…,若点的横坐标为1,则点的横坐标为________.14.展开式的第5项的系数为_____.15.边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.16.已知数列的前项和为,且成等差数列,,数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量.18.(12分)在四棱锥中,底面是平行四边形,底面.(1)证明:;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)已知函数.(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间;(2)已知,若,,,求的面积.20.(12分)已知函数,.(1)求的值;(2)令在上最小值为,证明:.21.(12分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数.22.(10分)已知在中,角、、的对边分别为,,,,.(1)若,求的值;(2)若,求的面积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.2、D【解析】

根据三视图知,该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥,画出图形,结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是侧棱底面的四棱锥,如图所示:结合图中数据知,该四棱锥底面为对角线为2的正方形,高为PA=2,∴四棱锥的体积为.故选:D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.属于中等题.3、B【解析】

由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,则,所以集合的真子集的个数为个,故选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.4、C【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.5、C【解析】

分类讨论,仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦,从中取两卦;从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个,再取没有阳爻的坤卦,计算满足条件的种数,利用古典概型即得解.【详解】由图可知,仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦,从中取两卦满足条件,其种数是;仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦,没有阳爻的是坤卦,此时取两卦满足条件的种数是,于是所求的概率.故选:C【点睛】本题考查了古典概型的应用,考查了学生综合分析,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.6、B【解析】

由题意可将方程转化为,令,,进而将方程转化为,即或,再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根,即,①.因为,①式两边同除以,得.所以方程有三个不等的正实根.记,,则上述方程转化为.即,所以或.因为,当时,,所以在,上单调递增,且时,.当时,,在上单调递减,且时,.所以当时,取最大值,当,有一根.所以恰有两个不相等的实根,所以.故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系,考查函数的单调性与最值,转化的数学思想,属于中档题.7、C【解析】

根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减;当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选:C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.8、B【解析】

因为将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,又和的图象都关于对称,由,得,,即,又,.故选:B.【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数,解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9、D【解析】循环依次为直至结束循环,输出,选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.10、D【解析】

求出展开项中的常数项及含的项,问题得解。【详解】展开项中的常数项及含的项分别为:,,所以展开式中的常数项为:.故选:D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想,考查计算能力,属于基础题。11、B【解析】

由焦点得抛物线方程,设点的坐标为,根据对称可求出点的坐标,写出直线方程,联立抛物线求交点,计算弦长即可.【详解】抛物线的焦点为,则,即,设点的坐标为,点的坐标为,如图:∴,解得,或(舍去),∴∴直线的方程为,设直线与抛物线的另一个交点为,由,解得或,∴,∴,故直线被截得的弦长为.故选:B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程,简单几何性质,点关于直线对称,属于中档题.12、B【解析】若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,符合题意;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;综上选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

当时,得,或,依题意可得,可求得,继而可得答案.【详解】因为点的横坐标为1,即当时,,所以或,又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为,,所以,故,所以函数的关系式为.当时,(1),即点的横坐标为1,为二函数的图象的第二个公共点.故答案为:1.【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力及思维能力,属于中档题.14、70【解析】

根据二项式定理的通项公式,可得结果.【详解】由题可知:第5项为故第5项的的系数为故答案为:70.【点睛】本题考查的是二项式定理,属基础题。15、【解析】

取基向量,,然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将,表示为基向量后再相乘可得.【详解】如图:设,又,且存在实数使得,,,,,,故答案为:.【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属中档题.16、1【解析】

本题先根据公式初步找到数列的通项公式,然后根据等差中项的性质可解得的值,即可确定数列的通项公式,代入数列的表达式计算出数列的通项公式,然后运用裂项相消法计算出前项和,再代入不等式进行计算可得最小正整数的值.【详解】由题意,当时,.当时,.则,.,,成等差数列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.满足的最小正整数的值为1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前项和,考查了转化思想、方程思想,考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、矩阵属于特征值的一个特征向量为,矩阵属于特征值的一个特征向量为【解析】

先由矩阵特征值的定义列出特征多项式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程组,即可求得相应的特征向量.【详解】由题意,矩阵的特征多项式为,令,解得,,将代入二元一次方程组,解得,所以矩阵属于特征值的一个特征向量为;同理,矩阵属于特征值的一个特征向量为v【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算,其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.18、(1)见解析(2)【解析】

(1)利用正弦定理求得,由此得到,结合证得平面,由此证得.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值,再转化为正弦值.【详解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,,设平面的法向量为,由可得:,令,则,设平面的法向量为,由可得:,令,则,设二面角的平面角为,由图可知为钝角,则,,故二面角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(1)最小正周期为,单调递增区间为;(2).【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期,解不等式可求得该函数的单调递增区间;(2)由求得,由得出或,分两种情况讨论,结合余弦定理解三角形,进行利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1),所以,函数的最小正周期为,由得,因此,函数的单调递增区间为;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①当时,即,则由,,得,则,此时,的面积为;②当时,则,即,则由,解得,,.综上,的面积为.【点睛】本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解,同时也考查了三角形面积的计算,涉及余弦定理解三角形的应用,考查计算能力,属于中等题.20、(1);(2)见解析.【解析】

(1)将转化为对任意恒成立,令,故只需,即可求出的值;(2)由(1)知,可得,令,可证,使得,从而可确定在上单调递减,在上单调递增,进而可得,即,即可证出.【详解】函数的定义域为,因为对任意恒成立,即对任意恒成立,令,则,当时,,故在上单调递增,又,所以当时,,不符合题意;当时,令得,当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以要使在时恒成立,则只需,即,令,,所以,当时,;当时,,所以在单调递减,在上单调递增,所以,即,又,所以,故满足条件的的值只有(2)由(1)知,所以,令,则,当,时,即在上单调递增;又,,所以,使得,当时,;当时,,即在上单调递减,在上单调递增,且所以,即,所以,即.【点睛】本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法,第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性的考查,同时考查转化与化归的思想,属于中档题.21、(1)见解析(2)见解析【解析】

(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.(2),有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.【详解】(1)的定义域为,,当时,,所以在单调递减;当时,,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.(2),有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为

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