浙江省杭州市2025届高一数学第一学期期末统考试题含解析

浙江省杭州市2025届高一数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（）A. B.C. D.3．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为的正方形.若该机器零件的表面积为，则的值为A.4 B.2C.8 D.64．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数A. B.2C.3 D.2或5．函数是（）A.奇函数，且上单调递增 B.奇函数，且在上单调递减C.偶函数，且在上单调递增 D.偶函数，且在上单调递减6．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（）A. B.或C.或 D.或7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A. B.C. D.8．下面四种说法：①若直线异面，异面，则异面；②若直线相交，相交，则相交；③若，则与所成的角相等；④若，，则.其中正确的个数是()A.4 B.3C.2 D.19．已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（）A.内含 B.相交C.内切 D.相离10．已知角的终边与单位圆的交点为，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，若对一切实数，均有，则___.12．已知函数，则的值等于______13．的单调增区间为________.14．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）.时刻（t）024681012水深（y）单位：米5.04.84.74.64.44.34.2时刻（t）141618202224水深（y）单位：米4.34.44.64.74.85.0用函数模型来近似地描述这些数据，则________.15．已知向量不共线，，若，则___16．利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，…，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知关于不等式.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，成立，求实数的取值范围.18．有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值19．空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：空气质量指数空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染现分别从甲、乙两个城市月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取天的数据，记录如下：甲乙（1）估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率；（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；（3）记甲城市这天空气质量指数的方差为．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为，试比较、、的大小．（结论不要求证明）20．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥的高.21．已知，，，且.（1）求的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】将相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2；∴q⇒p；但p推不出q，∴p是q的必要非充分条件故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.2、D【解析】根据题意，由函数为偶函数分析可得函数的图象关于直线对称，结合函数的单调性以及特殊值分析可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，又由函数在，单调递增且f(3)，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：D3、A【解析】几何体为一个正方体与四分之一个球的组合体,所以表面积为,选A点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用4、A【解析】根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可【详解】函数是幂函数，，解得：或，时，，其图象与两坐标轴有交点不合题意，时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故，故选A【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题5、A【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义判定函数的性质即可.【详解】解：根据题意，函数，有，所以是奇函数，选项C，D错误；设，则有，又由，则，，则，则在上单调递增，选项A正确，选项B错误.故选：A．6、B【解析】由已知和偶函数的性质将不等式转化为，再由其单调性可得，解不等式可得答案【详解】因为，则，所以，因为为偶函数，所以，因为在上单调递增，所以，解得或，所以不等式的解集为或，故选：B7、C【解析】由可推出，可得周期，再利用函数的周期性与奇偶性化简，代入解析式计算.【详解】因为，所以，故周期为，又函数是定义在上的奇函数，当时，，所以故选：C.8、D【解析】对于①，直线a，c的关系为平行、相交或异面．故①不正确对于②，直线a，c的关系为平行、相交或异面．故②不正确对于③，由异面直线所成角的定义知正确对于④，直线a，c关系为平行、相交或异面．故④不正确综上只有③正确．选D9、B【解析】由对称求出，再由圆心距与半径关系得圆与圆的位置关系【详解】，，半径为，关于直线的对称点为，即，所以，圆半径为，，又，所以两圆相交故选：B10、A【解析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.【详解】由三角函数的定义得，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】列方程组解得参数a、b，得到解析式后，即可求得的值.【详解】由对一切实数，均有可知，即解之得则，满足故故答案：12、2【解析】由分段函数可得，从而可得出答案.【详解】解：由，得.故答案为：2.13、【解析】求出给定函数的定义域，由对数函数、正弦函数单调性结合复合函数单调性求解作答.【详解】依题意，，则，解得，函数中，由得，即函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，又函数在上单调递增，所以函数的单调增区间为.故答案为：【点睛】关键点睛：函数的单调区间是定义域的子区间，求函数的单调区间，正确求出函数的定义域是解决问题的关键.14、##【解析】根据题意条件，结合表内给的数据，通过一天内水深的最大值和最小值，即可列出关于、之间的关系，通过解方程解出、，即可求解出答案.【详解】由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以,解得，，故.故答案为：或写成.15、【解析】由，将表示为的数乘，求出参数【详解】因为向量不共线，，且，所以，即，解得【点睛】向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得16、75【解析】根据随机数表法进行抽样即可.【详解】从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62，符合；第二个编号为38，符合；第三个编号为97，大于89，应舍去；下一个编号为75，符合.所以读出的第3个数是：75.故答案为：75.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）结合一元二次不等式的解集、一元二次方程的根的关系列方程，由此求得的值.（2）对分成可两种情况进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.【详解】（1）关于的不等式的解集为，∴和1是方程的两个实数根，代入得，解得；（2）当时，不等式为，满足题意；当时，应满足，解得；综上知，实数的取值范围是.18、.【解析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得yE＝2．根据S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB即可得出【详解】∵0＜a＜2，可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2，0）l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即yE＝2∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB|BC|•yE|OA|•|OB|（a21）×2（2﹣a）×（2）＝a2﹣a+3＝（a）2，当a时取等号∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19、（1）；（2）；（3）【解析】（1）甲城市这天内空气质量类别为良有天，利用频率估计概率的思想可求得结果；（2）列举出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）根据题意可得出、、的大小关系.【详解】（1）甲城市这天内空气质量类别为良的有天，则估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率为；（2）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，用表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，则事件包含的基本事件有：、、、，共个基本事件，所以，；（3）【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的问题有如下方法：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列组合数的应用.20、（1）；（2）.【解析】（1）由题意，正方体的几何结构特征，结合棱锥和正方体的体积公式，即可求解；（2）由（1），结合，即可求解.【详解】（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，根据三棱锥的体积公式，可得，所以剩余部分的体积.（2）由（1）知，设三棱锥的高为，则，故，解得.【点睛】求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉