山东省青岛市黄岛区2025届高二上数学期末达标检测模拟试题含解析

山东省青岛市黄岛区2025届高二上数学期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（）A. B.C. D.2．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）A. B.C. D.3．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（）A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（）A. B.C. D.5．直线在y轴上的截距是A. B.C. D.6．已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测．把这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5228．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.9．已知，，则在上的投影向量为（）A.1 B.C. D.10．下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.411．若函数在上有两个极值点，则下列选项中不正确的为（）A. B.C. D.12．曲线与曲线的（）A.实轴长相等 B.虚轴长相等C.焦距相等 D.渐进线相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在处的切线方程是________.14．已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是_________.15．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.16．已知矩形的长为2，宽为1，以该矩形的边所在直线为轴旋转一周得到的几何体的表面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.18．（12分）已知等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记的前n项和为，证明：，，成等差数列19．（12分）已知数列是正项数列，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）如图，已知抛物线的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与两点.（1）若过的直线交抛物线于，证明纵坐标之积为定值；（2）若直线分别交抛物线于另一点，连接交轴于点.证明：成等比数列.21．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.22．（10分）经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表.275731.121.71502368.3630表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长.【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，因为，，则，又因为，，，故二面角的平面角为，因为四边形为平行四边形，则，，因为，故为等边三角形，则，，则，，，故平面，因为平面，则，故.故选：C.2、B【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.【详解】解：因为，都是锐角，所以，，因为，所以，即，，所以，，因为，所有，故选：B.【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.3、A【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选A4、C【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.【详解】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，则所求概率为.由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，所以，，故.故选：C.5、D【解析】在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【详解】令x=0，则y=-2，即直线在y周上的截距为-2，故选D.6、B【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B7、B【解析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.【详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，则需要分为组，每组人；设第组抽取的编号为，故可设，又第一组抽中号，故可得，解得故，当时，.故选：.8、B【解析】首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.【详解】解：根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选：B.9、C【解析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C10、A【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.11、C【解析】求导，根据题意可得，从而可得出答案.【详解】解：，因为函数在上有两个极值点，所以，即.所以ABD正确，C错误.故选：C.12、D【解析】将曲线化为标准方程后即可求解.【详解】化为标准方程为，由于，则两曲线实轴长、虚轴长、焦距均不相等，而渐近线方程同为.故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出函数的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可.【详解】解：由函数知，把代入得到切线的斜率则切线方程为：，即.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题14、【解析】确定，，利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，，，设与的夹角为，则所以点到平面的距离为故答案为：15、①.②.【解析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值【详解】设P（x，y），由阿氏圆的定义可得即化简得则设则由抛物线的定义可得当且仅当四点共线时取等号，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大16、或##或【解析】分两种情况进行解答，①以边长为2的边为轴旋转，②以边长为1的边为轴旋转．进行解答即可【详解】解：①以边长为2的边为轴旋转，表面积两个底面积侧面积，即：，②以边长为1的边为轴旋转，表面积两个底面积侧面积，即：，故答案为：或三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可知，，根据等差数列的通项公式得到，即可得到，再令，利用错位相减法求出，即可得证；【小问1详解】解：因为，且，当时，则，所以，当时，，则，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，，因为，所以，所以，令，则，所以，所以，即，所以，即；18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设等比数列的公比为，根据，求得的值，即可求得数列的通项公式；（2）由等比数列的求和公式求得，得到，，化简得到，即可求解【小问1详解】解：设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，所以数列的通项公式【小问2详解】解：由（1）可得，，，所以，所以，即，，成等差数列19、（1）（2）【解析】（1）由条件因式分解可得，从而得到，即可得出答案.（2）由（1）可得，由错位相减法求和得到，由题意即即对恒成立，分析数列的单调性，得出答案.【小问1详解】由，得∵∴∴∴数列是公比为2的等比数列.∵，∴.【小问2详解】由（1）知，∴∴①∴②①-②得∴∴由对恒成立得对恒成立即对恒成立，又是递减数列∴时得到最大值∴，即∴的取值范围是.20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）设直线方程为，联立抛物线方程用韦达定理可得；（2）借助（1）中结论可得各点纵坐标之积，进而得到F、T、Q三点横坐标关系，然后可证.【小问1详解】显然过T的直线斜率不为0，设方程为，联立，消元得到，.【小问2详解】由（1）设，因为AP与BQ均过T(t,0)点，可知，又AB过F点，所以，如图：，,设M(n，0）,由（1）类比可得.，且，成等比数列.21、（1）答案见解析（2）【解析】(1)求函数的定义域及导函数，根据导数与函数的单调性关系判断函数的单调性；(2)结合已知条件，根据函数的单调性，极值结合零点存在性定理列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】的定义域为，当时，恒成立，上单调递增，当时，在递减，在递增【小问2详解】当时，恒成立，上单调递增，所以至多存一个零点，不符题意，故舍去.当时，在递减，在递增；所以有极小值为构造函数，恒成立，所以在单调递减，注意到①当时，，则函数至多只有一个零点，不符题意，舍去.②当时，函数图象连续不间断，的极小值为，又函数在单调递减，所以在上存在唯一一个零点；，令，构造函数，恒成立.在单调递增，所以，即，所以函数在单调递增，所以在上存在唯一一个零点；当时，函数怡有两个零点，即在上各有一个零点.综上，函数有两个不同的零点，实数的取值范围为.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f