自贡市重点中学2025届高二数学第一学期期末统考试题含解析_第1页
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文档简介

自贡市重点中学2025届高二数学第一学期期末统考试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若点P为抛物线y=2x2上的动点,F为抛物线的焦点,则|PF|的最小值为()A.2 B.C. D.2.圆与圆的公切线的条数为()A.1 B.2C.3 D.43.已知实数成等比数列,则圆锥曲线的离心率为()A. B.2C.或2 D.或4.空间直角坐标系中、、)、,其中,,,,已知平面平面,则平面与平面间的距离为()A. B.C. D.5.在平面直角坐标系中,抛物线上点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为()A. B.C.1 D.6.对数的创始人约翰·奈皮尔(JohnNapier,1550-1617)是苏格兰数学家.直到18世纪,瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕,随着科技的发展,天文学家做了很多的观察,需要进行很多计算,特别是大数的连乘,需要花费很长时间.基于这种需求,1594年,奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法.现在随着科学技术的需要,一些幂的值用数位表示,譬如,所以的数位为4.那么的数位是()(注)A.6 B.7C.606 D.6077.若a,b,c为实数,且,则以下不等式成立的是()A. B.C. D.8.圆与圆的位置关系是()A.相离 B.内含C.相切 D.相交9.执行如图所示的程序框图,则输出的的值是()A. B.C. D.10.执行如图所示的程序框图,则输出的A. B.C. D.11.在中,若,,则外接圆半径为()A. B.C. D.12.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是,则点到另一个焦点的距离为()A.2 B.3C.4 D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若数列满足,,设,类比课本中推导等比数列前项和公式的方法,可求得______________14.已知双曲线C:的两焦点分别为,,P为双曲线C上一点,若,则=___________.15.已知圆,若圆的过点的三条弦的长,,构成等差数列,则该数列的公差的最大值是______.16.执行如图所示的程序框图,则输出的n的值为__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)椭圆:()的离心率为,递增直线过椭圆的左焦点,且与椭圆交于两点,若,求直线的斜率.18.(12分)已知三棱柱中,面底面,,底面是边长为的等边三角形,,、分别在棱、上,且.(1)求证:底面;(2)在棱上找一点,使得和面所成角的余弦值为,并说明理由.19.(12分)设函数.(1)讨论函数在区间上的单调性;(2)函数,若对任意的,总存在使得,求实数的取值范围.20.(12分)某学校为了调查本校学生在一周内零食方面的支出情况,抽出了一个容量为的样本,分成四组,,,,其频率分布直方图如图所示,其中支出金额在元的学生有180人.(1)请求出的值;(2)如果采用分层抽样的方法从,内共抽取5人,然后从中选取2人参加学校的座谈会,求在,内正好各抽取一人的概率为多少.21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是的中点(1)求证:;(2)已知二面角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值22.(10分)为弘扬中华优秀传统文化,鼓励全民阅读经典书籍,某市举行阅读月活动,现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间(分钟)的频率分布直方图如图:(1)求x的值;(2)从该街道任选1人,则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据抛物线的定义得出当点P在抛物线的顶点时,|PF|取最小值.【详解】根据题意,设抛物线y=2x2上点P到准线的距离为d,则有|PF|=d,抛物线的方程为y=2x2,即x2=y,其准线方程为y=-,∴当点P在抛物线的顶点时,d有最小值,即|PF|min=.故选:D2、D【解析】公切线条数与圆与圆的位置关系是相关的,所以第一步需要判断圆与圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标为,半径为3;圆的圆心坐标为,半径为1,所以两圆的心心距为,所以两圆相离,公切线有4条.故选:D.3、C【解析】根据成等比数列求得,再根据离心率计算公式即可求得结果.【详解】因为实数成等比数列,故可得,解得或;当时,表示焦点在轴上的椭圆,此时;当时,表示焦点在轴上的双曲线,此时.故选:C.4、A【解析】由已知得,,,设向量与向量、都垂直,由向量垂直的坐标运算可求得,再由平面平行和距离公式计算可得选项.【详解】解:由已知得,,,设向量与向量、都垂直,则,即,取,,又平面平面,则平面与平面间的距离为,故选:A.5、D【解析】根据给定条件求出抛物线C的焦点、准线,再利用抛物线的定义求出a值计算作答.【详解】抛物线的焦点,准线,依题意,由抛物线定义得,解得,所以抛物线焦点到准线的距离为.故选:D6、D【解析】根据已知条件,设,则,求出t的范围,即可判断其数位.【详解】设,则,则,则,,的数位是607.故选:D.7、C【解析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.【详解】取可排除ABD;由不等式的性质易得C正确.故选:C8、D【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径,求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.【详解】圆的圆心为,半径为圆的圆心为,半径为两圆心间的距离为由,所以两圆相交.故选:D9、C【解析】由题意确定流程图的功能,然后计算其输出值即可.【详解】运行程序,不满足,,,不满足,,,不满足,,,不满足,,,不满足,,,不满足,,,满足,利用裂项求和可得:.故选:C.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证10、B【解析】根据输入的条件执行循环,并且每一次都要判断结论是或否,直至退出循环.【详解】,,,;,【点睛】本题考查程序框图,执行循环,属于基础题.11、A【解析】根据三角形面积公式求出c,再由余弦定理求出a,根据正弦定理即可求外接圆半径.【详解】,,,解得由正弦定理可得:,所以故选:A12、C【解析】根据椭圆的定义,结合题意,即可求得结果.【详解】设椭圆的两个焦点分别为,故可得,又到椭圆一个焦点的距离是,故点到另一个焦点的距离为.故选:.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、n【解析】先对两边同乘以4,再相加,化简整理即可得出结果.【详解】由①得:②所以①②得:,所以,,故答案为【点睛】本题主要考查类比推理的思想,结合错位相减法思想即可求解,属于基础题型.14、18或2##2或18【解析】先由双曲线的方程求出,再利用双曲线的定义列方程求解即可【详解】由,得,则,因为双曲线C:的两焦点分别为,,P为双曲线C上一点,所以,即,所以或,因为,所以或都符合题意,故答案为:18或215、2【解析】根据题意,求得过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值,即可求得公差的最大值.【详解】圆的圆心,半径,设点为点,因为,故点在圆内,当直线过点,且经过圆心时,该直线截圆所得弦长取得最大值;当直线过点,且与直线垂直时,该直线截圆所得弦长取得最小值,此时,则满足题意的直线为,即,又,则该直线截圆所得弦长为;根据题意,要使得数列的公差最大,则,故最大公差.故答案为:.16、5【解析】明确程序运行的顺序,写出每次循环的m,n的值,直到判断符合条件时结束,即可得到结果.【详解】第一次循环,m=3,n=2;第二次循环,m=6,n=3;第三次循环,m=9,n=4;第四次循环,m=12,n=5,此时m+n>15,跳出循环,故答案为:5.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、1【解析】根据离心率写出,设出直线为,把直线的方程与椭圆进行联立消,写出韦达定理,再利用,即可解出,进而求出直线的斜率.【详解】,.设递增直线的方程为,把直线的方程与椭圆进行联立:.①,②.③.把③代入①中得④.把④代入②中得...18、(1)证明见解析;(2)为的中点,理由见解析.【解析】(1)取的中点,连接,利用面面垂直的性质定理可得出平面,可得出,再由,结合线面垂直的判定定理可证得结论成立;(2)以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系,设点,利用空间向量法可得出关于实数的方程,求出的值,即可得出结论.【详解】(1)取的中点,连接,如图:因为三角形是等边三角形,所以,又因为面底面,平面平面,面,所以平面,又面,所以,又,,平面;(2)以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、,在上找一点,其中,,,,设面的一个法向量,则,不妨令,则,和面所成角的余弦值为,则,解得或(舍),所以,为的中点,符合题意.19、(1)答案见解析;(2).【解析】(1)求导,根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可;(2)根据存在性和任意性的定义,结合导数的性质、(1)的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.【小问1详解】,,①当时,恒成立,在上单调递增.②当时,恒成立,在上单调递减,③当吋,,在单调递减,单调递增.综上所述,当吋,在上单调递增;当时,在上单调递减,当时,在单调递减,单调递增.【小问2详解】由题意可知:在单调递减,单调递增由(1)可知:①当时,在单调递增,则恒成立②当时,在单调递减,则应(舍)③当时,,则应有令,则,且在单调递增,单调递减,又恒成立,则无解综上,.【点睛】关键点睛:运用构造函数法,结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键.20、(1);(2).【解析】(1)根据频率分布直方图求出[50,60]的频率,180除以该频率即为n的值;(2)将的样本编号为a、b,将的样本编号为A、B、C,利用列举法即可求概率.【小问1详解】由于支出金额在的频率为,∴.【小问2详解】采用分层抽样抽取的的人数比应为2:3,∴5人中有2人零食支出位于,记为、;有3人零食支出在,记为A、B、C.从这5人中选取2人有,,,,,,,,,,共10种情况;其中内正好各抽取一人有,,,,,,共6种情况.∴在内正好各抽取一人的概率为.21、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)由菱形及线面垂直的性质可得、,再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.(2)构建空间直角坐标系,设,结合已知确定相关点坐标,进而求面、面的法向量,结合已知二面角的余弦值求出参数t,再根据空间向量夹角的坐标表示求与平面所成角的正弦值【小问1详解】由平面,平面,

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