2025届浙江省杭州市五校联考高一上数学期末监测试题含解析

2025届浙江省杭州市五校联考高一上数学期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（）A.P→A→Q B.P→B→QC.P→C→Q D.P→D→Q2．已知，，若对任意,或，则的取值范围是A. B.C. D.3．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.5．已知直线，若，则的值为（）A.8 B.2C. D.-26．已知集合，，若，则的值为A.4 B.7C.9 D.107．已知函数，，其中，若，，使得成立，则（）A. B.C. D.8．满足的集合的个数为（）A. B.C. D.9．已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点作直线交该图象于两点，点是的图象的最高点在轴上的射影，则的值是A B.C.1 D.210．在线段上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数则的值为________12．关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是______13．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是________14．设奇函数对任意的，，有，且，则的解集___________.15．已知定义在上的偶函数，当时，，则________16．函数函数的定义域为________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且．设（）若，，，求方程在区间内的解集（）若函数满足：图象关于点对称，在处取得最小值，试确定、和应满足的与之等价的条件18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.19．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：t50110250Q150108150（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a·bt，Q=alogbt，并说明理由；（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.20．在平面直角坐标系中，已知角的顶点都与坐标原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，角的终边在第二象限，与单位圆交于点Q，扇形的面积为.（1）求的值；（2）求的值.21．已知向量、、是同一平面内的三个向量，且.（1）若，且，求；（2）若，且与互相垂直，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】定性分析即可得到答案【详解】B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路.故选：B2、C【解析】先判断函数g（x）的取值范围，然后根据或成立求得m的取值范围.【详解】∵g（x）＝﹣2，当x<时,恒成立，当x≥时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，∴，即，解得＜m＜0，∴实数m的取值范围是：（，0）故选C【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大3、C【解析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.【详解】解：，即，即又当且仅当“”，即“”时等号成立，即，故.故选：C.4、D【解析】解不等式，即可得出函数的单调递减区间.【详解】解不等式，得，因此，函数的单调递减区间为.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.5、D【解析】根据两条直线垂直，列方程求解即可.【详解】由题：直线相互垂直，所以，解得：.故选：D【点睛】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.6、A【解析】可知，或，所以．故选A考点：交集的应用7、B【解析】首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转化为这两个函数的值域之间的包含关系【详解】∵，，∴，又，∴，∴由得，，设，，则，，，∴的值域是值域的子集∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但）∴，∴(*)由上讨论知同号，时，(*)式可化为，∴，，当时，(*)式可化为，∴，无解综上：故选：B【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解8、B【解析】列举出符合条件的集合，即可得出答案.【详解】满足的集合有：、、.因此，满足的集合的个数为.故选：B.【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.9、B【解析】分析：由图象得到函数的周期，进而求得．又由条件得点D,E关于点B对称，可得，然后根据数量积的定义求解可得结果详解：由图象得，∴，∴又由图象可得点B为函数图象的对称中心，∴点D,E关于点B对称，∴，∴故选B点睛：本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题的关键是读懂题意，通过图象求得参数；另外，根据函数图象的对称中心将向量进行化简，从而达到能求向量数量积的目的10、B【解析】设“所取点坐标大于1”为事件A，则满足A的区间为[1,3]根据几何概率的计算公式可得，故选B.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】因为函数，所以，则，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.12、【解析】对m进行讨论，变形，构造新函数求导，利用单调性求解最值可得实数m的取值范围；【详解】解：由上，；当时，显然也不成立；；可得设，其定义域为R；则，令，可得；当上时，；当上时，；当时；取得最大值为可得，；解得：；故答案为.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性和最值中的应用，属于难题.13、【解析】设扇形的半径和弧长分别为，由题设可得，则扇形圆心角所对的弧度数是，应填答案14、【解析】可根据函数的单调性和奇偶性，结合和，分析出的正负情况，求解.【详解】对任意，，有故在上为减函数，由奇函数的对称性可知在上为减函数，则则，，，；，；，；，.故解集为：故答案为：【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性15、6【解析】利用函数是偶函数，，代入求值.【详解】是偶函数，.故答案6【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.16、（1,3）【解析】函数函数的定义域,满足故答案为（1,3）.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）解集为；（2）见解析.【解析】分析：（）由平面向量数量积公式、结合辅助角公式可得，令，从而可得结果；（）“图象关于点对称，且在处取得最小值”．因此，根据三角函数的图象特征可以知道，，故有，∴，，当且仅当，时，的图象关于点对称；此时，，对讨论两种情况可得使得函数满足“图象关于点对称，且在处取得最小值的充要条件”是“，时，，；或当时，，”.详解：（）根据题意，当，，时，，，则有或，即或，又因为，故在内解集为（）解：因为，设周期因为函数须满足“图象关于点对称，且在处取得最小值”因此，根据三角函数的图象特征可以知道，，故有，∴，，又因为，形如的函数的图象的对称中心都是的零点，故需满足，而当，时，因为，；所以当且仅当，时，的图象关于点对称；此时，，∴，（i）当，时，，进一步要使处取得最小值，则有，∴，故，又，则有，，因此，由可得，（ii）当时，，进一步要使处取得最小值，则有；又，则有，因此，由，可得，综上，使得函数满足“图象关于点对称，且在处取得最小值的充要条件”是“，时，，；或当时，，”点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式()可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.18、（1）分别抽取人，人，人；（2）【解析】（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.【详解】（1）第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组:；第组:；第组:.所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有:，，，，，，，，，，，，，，，共有种.其中第组的志愿者被抽中的有种，答：第组的志愿者有被抽中的概率为【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.19、（1）选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述，理由见解析；（2）150(天)，100(元/10kg).【解析】（1）由所提供的数据和函数的单调性得出应选函数，再代入数