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文档简介
上海中学、复旦附中等八校2025届数学高二上期末学业水平测试模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知命题“”为真命题,“”为真命题,则()A.为假命题,为真命题 B.为真命题,为真命题C.为真命题,为假命题 D.为假命题,为假命题2.已知,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分又不必要条件3.在三棱柱中,,,,则这个三棱柱的高()A1 B.C. D.4.已知点B是A(3,4,5)在坐标平面xOy内的射影,则||=()A. B.C.5 D.55.已知函数,则曲线在点处的切线方程为()A. B.C. D.6.不等式的解集是()A. B.C.或 D.或7.某种心脏手术成功率为0.9,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数,由于成功率是0.9,故我们用0表示手术不成功,1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功,再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()A.0.9 B.0.8C.0.7 D.0.68.已知动圆过定点,并且与定圆外切,则动圆的圆心的轨迹是()A.抛物线 B.椭圆C.双曲线 D.双曲线的一支9.已知抛物线的焦点为,为抛物线上第一象限的点,若,则直线的倾斜角为()A. B.C. D.10.如图,在四面体中,,分别是,的中点,则()A. B.C. D.11.已知,条件,条件,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则实数的值是A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.滕王阁,江南三大名楼之一,因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色”而名传千古,流芳后世.如图,在滕王阁旁地面上共线的三点,,处测得阁顶端点的仰角分别为,,.且米,则滕王阁高度___________米.14.曲线围成的图形的面积是__________15.从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,其中一个作为对数的底数a,另一个作为对数的真数b.则的概率为______.16.“第七届全国画院美术作品展”于2021年12月2日至2022年2月20日在郑州美术馆展出.已知某油画作品高2米,宽6米,画的底部离地有2.7米(如图所示).有一身高为1.8米的游客从正面观赏它(该游客头顶E到眼睛C的距离为10),设该游客离墙距离CD为x米,视角为.为使观赏视角最大,x应为___________米.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆的圆心在直线上,且圆与轴相切于点(1)求圆的标准方程;(2)若直线与圆相交于,两点,求的面积18.(12分)已知.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若在处取得极值,求在上的最小值.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是,已知(1)求角B的大小;(2)求三角形ABC的面积.20.(12分)在对某老旧小区污水分流改造时,需要给该小区重新建造一座底面为矩形且容积为324立方米的三级污水处理池(平面图如图所示).已知池的深度为2米,如果池四周围墙的建造单价为400元/平方米,中间两道隔墙的建造单价为248元/平方米,池底的建造单价为80元/平方米,池盖的建造单价为100元/平方米,建造此污水处理池相关人员的劳务费以及其他费用是9000元.(水池所有墙的厚度以及池底池盖的厚度按相关规定执行,计算时忽略不计)(1)现有财政拨款9万元,如果将污水处理池的宽建成9米,那么9万元的拨款是否够用?(2)能否通过合理的设计污水处理池的长和宽,使总费用最低?最低费用为多少万元?21.(12分)某公司有员工人,对他们进行年龄和学历情况调查,其结果如下:现从这名员工中随机抽取一人,设“抽取的人具有本科学历”,“抽取的人年龄在岁以下”,试求:(1);(2);(3).22.(10分)已知数列满足(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据复合命题的真假表即可得出结果.【详解】若“”为真命题,则为假命题,又“”为真命题,则至少有一个真命题,所以为真命题,即为假命题,为真命题.故选:A2、B【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.【详解】由可得或,所以由得不出,故充分性不成立,由可得,故必要性成立,所以“”是“”的必要不充分条件,故选:B.3、D【解析】先求出平面ABC的法向量,然后将高看作为向量在平面ABC的法向量上的投影的绝对值,则答案可求.【详解】设平面ABC的法向量为,而,,则,即有,不妨令,则,故,设三棱柱的高为h,则,故选:D.4、C【解析】先求出B(3,4,0),由此能求出||【详解】解:∵点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影,∴B(3,4,0),则||==5故选:C5、A【解析】求出函数的导函数,再求出,然后利用导数的几何意义求解作答.【详解】函数,求导得:,则,而,于是得:,即,所以曲线在点处的切线方程为.故选:A6、A【解析】确定对应二次方程的解,根据三个二次的关系写出不等式的解集【详解】,即为,故选:A7、B【解析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组,即求.【详解】由题意,10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心脏手术全部成功”的有:812,832,569,683,271,989,537,925,故8个,故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选:B.8、D【解析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.【详解】圆圆心为,半径为,依题意可知,结合双曲线的定义可知,的轨迹为双曲线的一支.故选:D9、C【解析】设点,其中,,根据抛物线的定义求得点的坐标,即可求得直线的斜率,即可得解.【详解】设点,其中,,则,可得,则,所以点,故,因此,直线的倾斜角为.故选:C.10、A【解析】利用向量的加法法则直接求解.【详解】在四面体中,,分别是,的中点,故选:A11、A【解析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假,取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.【详解】因为,由得:,则,当且仅当,即时取等号,因此,,因,,由,取,则,,即,,所以是的充分不必要条件.故选:A12、C【解析】由方程表示双曲线知,又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,所以,即,所以故选C.考点:双曲线的标准方程与简单几何性质.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】设,由边角关系可得,,,在和中,利用余弦定理列方程,结合可解得的值,进而可得长.【详解】设,因为,,,所以,,,.在中,,即①.,在中,,即②,因为,所以①②两式相加可得:,解得:,则,故答案为:.14、【解析】当,时,已知方程是,即.它对应的曲线是第一象限内半圆弧(包括端点),它的圆心为,半径为.同理,当,;,;,时对应的曲线都是半圆弧(如图).它所围成的面积是.故答案为15、##【解析】利用列举法,结合古典概型概率计算公式以及对数的知识求得正确答案.【详解】的所有可能取值为,,共种,满足的为,,共种,所以的概率为.故答案为:16、【解析】设,进而得到,,从而求出,再利用基本不等式即可求得答案.【详解】设,则,,所以,当且仅当时取“=”.所以该游客离墙距离为米时,观赏视角最大.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)4【解析】(1)由已知设圆心,再由相切求圆半径从而得解.(2)求弦长,再求点到直线的距离,进而可得解.【小问1详解】因为圆心在直线上,所以设圆心,又圆与轴相切于点,所以,即圆与轴相切,则圆的半径,于是圆的方程为【小问2详解】圆心到直线的距离,则,又到直线的距离为,所以.18、(1);(2).【解析】(1)利用导数的几何意义求切线的斜率,再利用点斜式方程即可求出切线方程;(2)根据极值点求出的值,根据导数值的正负判断函数的单调性,即可求出最小值.【小问1详解】∵,,∴∴∴在处的切线为,即;【小问2详解】∵,由题可知,∴,∴单调递增,单调递减,∵,,∴.19、(1)B=300(2)【解析】分析:(1)由同角三角函数关系先求,由正弦定理可求值,从而可求的值;(2)先求得的值,代入三角函数面积公式即可得结果.详解:(1)由正弦定理又∴B为锐角sinA=,由正弦定理B=300(2),∴.点睛:以三角形和为载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.20、(1)不够;(2)将污水处理池建成长为16.2米,宽为10米时,建造总费用最低,最低费用为90000元.【解析】(1)根据题意结合单价直接计算即可得出;(2)设污水处理池的宽为米,表示出总费用,利用基本不等式可求.【小问1详解】如果将污水处理池的宽建成9米,则长为(米),建造总费用为:(元)因为,所以如果污水处理池的宽建成9米,那么9万元的拨款是不够用的.【小问2详解】设污水处理池的宽为米,建造总费用为元,则污水处理池的长为米.则因为,等号仅当,即时成立,所以时建造总费用取最小值90000,所以将污水处理池建成长为16.2米,宽为10米时,建造总费用最低,最低费用为90000元.21、(1);(2);(3).【解析】(1)利用古典概型的概率公式可求得;(2)利用古典概型的概率公式和
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