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文档简介
2025届江苏省南京市、盐城市数学高三上期末学业水平测试试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价元,乙每件进价元,甲商品每卖出去件可赚元,乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件2.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣123.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()A. B. C. D.4.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”,某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动,现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中,医生甲被指定分配到医院,医生乙只能分配到医院或医院,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院,其他两名医生分配到哪所医院都可以,若每所医院至少分配一名医生,则不同的分配方案共有()A.18种 B.20种 C.22种 D.24种5.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()A. B. C. D.6.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为()A. B. C. D.7.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.8.已知为虚数单位,若复数,则A. B.C. D.9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题;“三百七十八里关,初行健步不为难,次后脚痛递减半,六朝才得到其关,要见每朝行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走了378里路,第一天健步走行,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地,求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里10.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于,两点,若中点的横坐标为,则此双曲线的方程是A. B.C. D.11.设为自然对数的底数,函数,若,则()A. B. C. D.12.已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()A.1 B.2 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则_________,该几何体的表面积为_________.14.若,则________.15.对定义在上的函数,如果同时满足以下两个条件:(1)对任意的总有;(2)当,,时,总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数,则实数a的取值范围为________.16.已知双曲线:(,),直线:与双曲线的两条渐近线分别交于,两点.若(点为坐标原点)的面积为32,且双曲线的焦距为,则双曲线的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在中,角的对边分别为,且满足,线段的中点为.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)已知,求的大小.18.(12分)已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.19.(12分)如图,已知在三棱台中,,,.(1)求证:;(2)过的平面分别交,于点,,且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为,几何体为棱柱,求的长.提示:台体的体积公式(,分别为棱台的上、下底面面积,为棱台的高).20.(12分)已知函数.(1)当时,解关于的不等式;(2)若对任意,都存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,点在抛物线上,直线与抛物线交于另一点.(1)设直线,的斜率分别为,,求证:常数;(2)①设的内切圆圆心为的半径为,试用表示点的横坐标;②当的内切圆的面积为时,求直线的方程.22.(10分)已知为坐标原点,点,,,动点满足,点为线段的中点,抛物线:上点的纵坐标为,.(1)求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程;(2)若抛物线的准线上一点满足,试判断是否为定值,若是,求这个定值;若不是,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题意列出约束条件和目标函数,数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别,利润为元,由题意,画出可行域如图所示,显然当经过时,最大.故选:D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题,解决此类问题要注意判断,是否是整数,是否是非负数,并准确的画出可行域,本题是一道基础题.2、D【解析】
分别联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理,可得,,然后计算,可得结果.【详解】设,联立则,因为直线经过C的焦点,所以.同理可得,所以故选:D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题,运用抛物线的焦点弦求参数,属基础题。3、A【解析】
画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故选:A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.4、B【解析】
分两类:一类是医院A只分配1人,另一类是医院A分配2人,分别计算出两类的分配种数,再由加法原理即可得到答案.【详解】根据医院A的情况分两类:第一类:若医院A只分配1人,则乙必在医院B,当医院B只有1人,则共有种不同分配方案,当医院B有2人,则共有种不同分配方案,所以当医院A只分配1人时,共有种不同分配方案;第二类:若医院A分配2人,当乙在医院A时,共有种不同分配方案,当乙不在A医院,在B医院时,共有种不同分配方案,所以当医院A分配2人时,共有种不同分配方案;共有20种不同分配方案.故选:B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用,在做此类题时,要做到分类不重不漏,考查学生分类讨论的思想,是一道中档题.5、A【解析】
设,,利用点差法得到,所以直线的斜率为2,又过点,再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解:设,∴,又,两式相减得:,∴,∴,∴直线的斜率为2,又∴过点,∴直线的方程为:,即,故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题,解题方法是“点差法”,即设出弦的两端点坐标,代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.6、C【解析】
利用复数相等的条件求得,,则答案可求.【详解】由,得,.对应的点的坐标为,,.故选:.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数相等的条件,是基础题.7、C【解析】
根据三视图作出几何体的直观图,结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示:由图可知,该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体,该几何体的体积为.故选:C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.8、B【解析】
因为,所以,故选B.9、C【解析】
设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得,求出(里,由此能求出该人第四天走的路程.【详解】设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得:,解得(里,(里.故选:C.【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法,考查等比数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.10、D【解析】
根据点差法得,再根据焦点坐标得,解方程组得,,即得结果.【详解】设双曲线的方程为,由题意可得,设,,则的中点为,由且,得,,即,联立,解得,,故所求双曲线的方程为.故选D.【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程,考查基本求解能力,属于中档题.11、D【解析】
利用与的关系,求得的值.【详解】依题意,所以故选:D【点睛】本小题主要考查函数值的计算,属于基础题.12、C【解析】
画出不等式表示的平面区域,计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图:直线的斜率为,直线的斜率为,所以两直线垂直,故为直角三角形,易得,,,,所以阴影部分面积.故选:C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法,考查数形结合思想和运算能力,属于常考题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、;【解析】试题分析:如图:此几何体是四棱锥,底面是边长为的正方形,平面平面,并且,,所以体积是,解得,四个侧面都是直角三角形,所以计算出边长,表面积是考点:1.三视图;2.几何体的表面积.14、13【解析】
由导函数的应用得:设,,所以,,又,所以,即,由二项式定理:令得:,再由,求出,从而得到的值;【详解】解:设,,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案为:13【点睛】本题考查了导函数的应用、二项式定理,属于中档题15、【解析】
由不等式恒成立问题采用分离变量最值法:对任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,从而可得.【详解】因为是定义在上G函数,所以对任意的总有,则对任意的恒成立,解得,当时,又因为,,时,总有成立,即恒成立,即恒成立,又此时的最小值为,即恒成立,又因为解得.故答案为:【点睛】本题是一道函数新定义题目,考查了不等式恒成立求参数的取值范围,考查了学生分析理解能力,属于中档题.16、或【解析】
用表示出的面积,求得等量关系,联立焦距的大小,以及,即可容易求得,则离心率得解.【详解】联立解得.所以的面积,所以.而由双曲线的焦距为知,,所以.联立解得或故双曲线的离心率为或.故答案为:或.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质,考查运算求解能力以及函数与方程思想,属中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正弦定理边化角,再结合转化即可求解;(Ⅱ)可设,由,再由余弦定理解得,对中,由余弦定理有,通过勾股定理逆定理可得,进而得解【详解】(Ⅰ)由正弦定理得.而.由以上两式得,即.由于,所以,又由于,得.(Ⅱ)设,在中,由正弦定理有.由余弦定理有,整理得,由于,所以.在中,由余弦定理有.所以,所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用,属于中档题18、(1)直线普通方程:,曲线直角坐标方程:;(2).【解析】
(1)消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程;将曲线极坐标方程化为,根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程;(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程,根据参数的几何意义可知,利用韦达定理求得结果.【详解】(1)由直线参数方程消去可得普通方程为:曲线极坐标方程可化为:则曲线的直角坐标方程为:,即(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程,整理可得:设两点对应的参数分别为:,则,【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用;求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义,利用韦达定理来进行求解.19、(1)证明见解析;(2)2【解析】
(1)在中,利用勾股定理,证得,又由题设条件,得到,利用线面垂直的判定定理,证得平面,进而得到;(2)设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为,根据棱台的体积公式,列出方程求得,得到,即可求解.【详解】(1)由题意,在中,,,所以,可得,因为,可得.又由,,平面,所以平面,因为平面,所以.(2)因为,可得,令,,设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为,则,整理得,即,解得,即,又由,所以.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用,以及几何体的体积公式的应用,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理,以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.20、(1);(2).【解析】
(1)分类讨论去绝对值号,然后解不等式即可.(2)因为对任意,都存在,使得不等式成立,等价于,根据绝对值不等式易求,根据二次函数易求,然后解不等式即可.【详解】解:(1)当时,,则当时,由得,,解得;当时,恒成立;当时,由得,,解得.所以的解集为(2)对任意,都存在,得成立,等价于.因为,所以,且|,①当时,①式等号成立,即.又因为,②当时,②式等号成立,即.所以,即即的取值范围为:.【点睛】知识:考查含两个绝对值号的不等式的解法;恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题;能力:分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力;中档题.21、(1)证明见解析;(2)①;②.【解析】
(1)设过的直线交抛物线于,,联立,利用直线的斜率公式和韦达定理表示出,化简即可;(2)由(1)知点在轴上,故,设出直线方程
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