江苏省南通市海门市海门中学2025届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

江苏省南通市海门市海门中学2025届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则在上的投影向量为（）A.1 B.C. D.2．等比数列中，，，则（）A. B.C. D.3．函数在处有极值为，则的值为（）A. B.C. D.4．已知数列{}满足，且，若，则＝（）A.－8 B.－11C.8 D.115．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（）A.36个 B.30个C.25个 D.20个7．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.8．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）A. B.C. D.9．等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件10．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）A.在内是增函数B.在内是增函数C.在时取得极大值D.在时取得极小值11．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（）A.外离 B.外切C.相交 D.内切12．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是___________14．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.15．在正方体中，，，P，F分别是线段，的中点，则点P到直线EF的距离是___________.16．若，且，则_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上运动（1）证明：；（2）当E为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）等于何值时，二面角的大小为？18．（12分）在中，角、、C所对的边分别为、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值.19．（12分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成列联表.低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率：（3）根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.20．（12分）已知等比数列的公比为，前项和为，，，（1）求（2）在平面直角坐标系中，设点，直线的斜率为，且，求数列的通项公式21．（12分）设函数（1）求的值；（2）求的极大值22．（10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率等于（1）求椭圆的方程（2）设，若椭圆E上存在两个不同点P、Q满足，证明：直线PQ过定点，并求该定点的坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C2、D【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；故选：D3、B【解析】根据函数在处有极值为，由，求解.【详解】因为函数，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故选：B4、C【解析】利用递推关系，结合取值，求得即可.【详解】因为，且，，故可得，解得（舍）,；同理求得，，.故选：C.5、D【解析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式性质可判断D【详解】A.当时，，但，故A错；B.当时，，故B错；C.当时，，但，故C错；D.若，则，D正确故选：D6、C【解析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C7、D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.8、C【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.【详解】函数定义域为，求导得，于是得函数的图象在点处切线的斜率，而直线的斜率为，依题意，，即，解得，所以.故选：C9、D【解析】结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断【详解】若，，则，，充分性不成立；反过来，若，，则时，必要性不成立；因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件.故选：D10、B【解析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.【详解】由图可知，在区间上,单调递减；在区间上,单调递增.所以不是的极值点，是的极大值点.所以ACD选项错误，B选项正确.故选：B11、C【解析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系【详解】圆：的圆心为，半径，圆：，即，圆心，半径，两圆的圆心距，显然，即，所以圆与圆相交.故选：C12、B【解析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率.【详解】依题意可知，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、(-1，0]【解析】将题意的命题转化条件为“，”为真命题，结合一元二次不等式恒成立即可得解.【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其否定“，”为真命题，即在R上恒成立.当时，不等式为，符合题意；当时，则需满足，解得；综上，实数的取值范围为.故答案为：.14、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,求出a的最小值.【详解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案为:3.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.15、【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点P到直线EF的距离.【详解】解：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，所以，，，所以，，所以点P到直线EF的距离.故答案为：.16、【解析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.【详解】解：因为，所以，，，又，所以，所以，所以，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）连接、，长方体、线面垂直的性质有、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）连接，由已知条件及勾股定理可得、，即可求、，等体积法求到面的距离，又直线与面所成角即为与面所成角，即可求线面角的正弦值.（3）由题设易知二面角为，过作于，连接，可得二面角平面角为，令，由长方体的性质及勾股定理构造方程求即可.【小问1详解】由题设，连接、，又长方体中，∴为正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小问2详解】连接，由E为棱的中点，则，∴，又，故，∴，又，，故，则，由，若到面的距离为，又，，∴，可得，又，∴直线与面所成角即为与面所成角为，故.【小问3详解】二面角大小为，即二面角为，由长方体性质知：面，面，则，过作于，连接，又，∴面，则二面角平面角为，∴，令，则，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴时，二面角的大小为.18、（1）（2），【解析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解的值，再结合正弦定理求解即可；（2）根据三角形的面积可求解出边c的值，再运用余弦定理求解边b.【详解】（1），且，.由正弦定理得，.（2），.由余弦定理得，.19、（1）列联表答案见解析；（2）；（3）没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.【解析】(1)根据给定表中数据列出列联表作答.(2)利用给定条件结合古典概率公式计算作答.(3)利用(1)中信息求出的观测值，再与临界值表比对作答.【小问1详解】列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800【小问2详解】由(1)知，被调查者中低学历的有400，其中不了解数字人民币的有150，从400人中任取2人有个基本事件，它们等可能，被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的事件A有个基本事件，所以被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率.【小问3详解】由(1)知，的观测值为，所以没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.20、（1），；（2），【解析】（1）设出等比数列的首项和公比，根据已知条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则通项公式可求；（2）根据题意表示出斜率关系，然后采用累加法求解出的通项公式.【详解】（1）因为等比数列的公比为，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直线的斜率为，得，即，由，，，，，可得，所以，当时也满足，所以，21、（1）-3（2）2【解析】（1）利用导数公式和法则求解；（2）令，利用极大值的定义求解.【小