2022年江苏省泰州市姜堰张沐初级中学高二数学理月考试卷含解析

2022年江苏省泰州市姜堰张沐初级中学高二数学理月

考试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.直线串=一九+8一定通过()

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

参考答案：

B

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【试题解析】因为斜率无=-2,倾斜角为钝角，所以，直线必过二、四象限

故答案为：B

2.如图，二面角口一，一尸的大小是60°,线H3ua.Be/,58与，所成的角为

30°.则-8与平面户所成的角的正弦值是▲:

参考答案:

略

3.在R上定义运算：对X、ye笈，有工㊉了=2x+y,

-®（—）

如果a㊉（%）=1（ab>0）

则a3b的最小值是（)

3228

A.4B.3c.9D.T

参考答案：

C

略

4.函数人x）=1+x-sinx在（0,2兀）上是（）

A.增函数B.在（0,兀）上递增，在

（it,2兀）上递减

C.减函数D.在（0,兀）上递减，在

（0,2兀）上递增

参考答案：

A

5.下列结论正确的是（）

（log^xy=-（1%xy=—

A.xB.x&(5)=5*D.(5》5—5

参考答案：

D

6.在直角坐标平面内，与点R（L2）的距离为1,且与点'（31）的距离为2的直线共

（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

参考答案：

B

略

7.若偶函数«r）在（一叫0）内单调递减，则不等式/（—D</（电力的解集是（)

参考答案：

c

【分析】

根据题意先得到函数/口）在3+«）的单调性，进而可对不等式求解，得出结果.

【详解】因为〃x）为偶函数在S,）内单调递减，所以/㈤在（0刎单调递增：

由〃T）</（电埼，可得随W>1,即lgr>l或lgK<—l,

c1

0<x<—

解得x>10或10,

所以，原不等式的解集为I10^

故选C

【点睛】本题主要考查函数性质的应用，熟记函数奇偶性、单调性即可，属于常考题型.

8.如图，在四面体ABCZ）中，截面PQMN是正方形，则下列命题中，错误的为

A.AC1BDB.AC=BD

C.AC〃截面PQMND.异面直线PM与5。所成的角为45°

参考答案：

B

2

9.点P在曲线y=x，-x+m上移动，设点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是

（）

7T713冗3打K3冗

A.[0,2]B.[0,2)u[4,Jr)c.[4,K)D.(2,4]

参考答案：

B

【考点】导数的几何意义.

【分析】根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围

求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tana,求出a的范围即可.

【解答】解：•••tana=3(-1,

/•tanae[-1,+8).

兀

当tanae[0,+°°)时，aG[0,2)；

3-

当tanaG[-l,0)时，ae[4,JT).

.3―

ae[o,2)u[4,it)

故选B.

10.在AABC中，若a=18,b=24,A=44°,则此三角形解的情况为

A.无解B.两解C.一解D.一解或两解

参考答案：

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x、y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在

一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.

参考答案：

4_

【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定；J9：直线与圆的位置关系.

【分析】由于圆C的方程为(x-4)2+y2=l，由题意可知，只需(x-4)与直线

y=kx-2有公共点即可.

【解答】解：•••圆C的方程为x2+/-8x+15=0,整理得：(XT)的』，即圆C是以

(4,0)为圆心，1为半径的圆；

又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，

••・只需圆C'：(x-4)?+/=4与直线y=kx-2有公共点即可.

设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,

|4k-2|

则d=Ul+k2W2,即3k?-4kW0,

4_

.•.OWkW后.

4_

•••k的最大值是瓦

_4

故答案为：3.

12.命题”非空集等Hx|2a+l<x<3a-5),命题型=卜|(一)(彳22)叫，若

rP是的必要不充分条件，则实数。的取值范围▲。

参考答案：

39]

略

13.若曲线》=J三7与直线了=封工-2)+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围

是____________________________________

参考答案：

3

4

xy

14.已知双曲线/一户一的左、右焦点分别为&(-G°)，居七°),若双曲线

上存在一点P使,则该双曲线的离心茎的取值范围是.

参考答案：

ee(l,Al)

略

15.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同

颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种。

参考答案：

180

16.如图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位降2米后,

水面宽米.

4m

参考答案：

4&

略

17.己知KyC,且x+2jr=l,则f+均的最小值为

参考答案：

3

4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.己知f(x)=ln(x+1)-ax(aGR)

(1)当a=l时，求f(x)在定义域上的最大值;

(2)已知y=f(x)在x€[l,+8)上恒有f(x)<0,求a的取值范围;

12+1+122+2+132+3+1n2+n+l

------■-------■-------*•••■-------e

⑶求证：12+122+232+3n2+n

参考答案:

解：(1)Vf(x)=ln(x+1)-ax(a€R)，a=l,

fZ(X)=-^--1=—

1+x1+x,

f'(X)f(x)

由l+x>0,得」<x<0；由1+xVO,得X>O；

所以y=f(x)在(-1,0)为增，在(0,+8)为减,

所以x=0时，f(x)取最大值0.

(2)y=f(x)在xC[l,+°°)上恒有f(x)<0,

a〉ln(x+1)

等价于&x恒成立，

--

I1n(x+4.1)'i—'(T1T+xIn(x+1)

g(x)---=g(x)-------2—

设AX

-X

h(x)=『n(x+l)=h'(x)12<0(x>l)

T+x

(1+x)

1

h(x)<h(1)=^-ln2<0(4>e=>2>e2)

所以h(x)是减函数，所以

所以g(x)是减函数，gmax(X)=g(1),所以a>ln2

12+1+122+2+132+3+1n2+n+l

⑶要证1+12Z+23‘+3n'+n

ln^+ln展…+ln—<1

只需证1+122+2n2+2

In(1+^—)+ln(1+^—)+…+ln(1+^—)<1

只需证1+12,2nz+n

In(l+-y—)<^^=--^j-

因为nz+nn，nnn+1,

In(1+^—)+ln(1+^-)+-+ln(1+^—)<1--^-<1

所以r+12,2n，nn+1.

12+1+122+2+132+3+1n2+n+l

故12+122+232+3n2+n

略

19-已知数列｛a„)的前n项和为S„,ai=l,a)。,a„a„+1=4S„-1.

(I)求｛a.｝的通项公式；

111

(II)证明：S1+S2+--+Sn<2.

参考答案：

【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式.

【分析】(I)由已知数列递推式可得ag2=4S.+L1,与原递推式作差可得4-a„=4,

说明匕2一｝是首项为1,公差为4的等差数列，｛出“｝是首项为3,公差为4的等差数列，分

别求出通项公式后可得｛1｝的通项公式；

111

(II)由等差数列的前n项和求得S“，取其倒数后利用放缩法证明Sl+$2+…+Sn<2.

【解答】(I)解：由题设,anan+l=4Sn-1»得an+ian+2=4Sn+l-L

=

两式相减得a.n+i(an+2-a)4an+i.

由于an”HO，/»an+2~an=4.

由题设,ai=Laia2=4Si-1,可得a2=3.

故可得圆一｝是首项为1,公差为4的等差数列，a2n-i=4n-3=2(2n-1)-1；

｛aj是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-l=2?2n-1.

.a=2n-l(n€N*)

・・n；

n(l+2n-l)2

S=-----------------二n

(II)证明：n2,

1<1^11

当n>l时，由八n(n-l)丁-1不，得

尹力…专号+今$+■</4亭贵+…七±2之

22

20.已知椭圆C：a+b=1(a>b>0)上一点到两焦点间的距离之和为2位,直线4x.

3y+3=O被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为M.

(1)求椭圆C的方程；

11

(2)若椭圆C上存在两个不同的点A,B,关于直线I：y=-k(x+2)对称.

(i)求k的取值范围；

(ii)求证：AAOB面积的最大值等于椭圆C的离心率.

参考答案：

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】(1)由题意可知：2a=2y，a=F,?=2心-d,即5—2I5,

得：b=l,即可求得椭圆的标准方程；

(2)(i)由题意可知：设直线y=kx+m,代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式

求得中点P坐标，代入直线方程1方程，由△>(),即可求得k的取值范围；

]卜2(k2-^+2)

22

由三角形的面积公式可知：S='2|mI?IX|-x2I(k+2),由基本不等式

返

的性质，即可求得三角形面积的最大值，则椭圆的离心率2,即可求证：AAOB面积的

最大值等于椭圆C的离心率.

O9

【解答】解：(1)・・,椭圆C：a+b=1(a>b>o)上一点到两焦点间的距离之和为

2V2,即2a=2V2,a=V2,

由O到直线4x-3y+3=0距离d=4V32+a42=5

8.

直线4x-3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为百，

则后=2旧二即后=2｛产一%解得：b=l,

y2,2=1

二椭圆C的方程为：2*

11

(2)(i)由题意可知：直线1：y=-k(x+2)对称，则设直线1：y=kx+m,A(xi,

yi),B(X2，yi)，

y=kx+m

V2_

~T+X—I,整理得：(2+k2)x2+2kmx+m2-2=0,

2kmIQ2-2

由韦达定理可知：xi+x2=-2+k,x)?X2=2+k,

根据题意：△=4k2m24(2+k2)(m2-2)=8(k2-m2+2)>0,

------29

设线段AB的中点P(xo，yo)，则xo=2=.2+k,yo=kxo+m=2+k,

1[2m]km]

•••点P在直线y=-E(x+2)上，2+k2(一2+1?+万)，

2+k?

.•.m=-2k,代入△>(),可得3k4+4k2.4>0,

2返返

解得：k2>~3,则或k>刀,

直线AB与y轴交点横坐标为m,

(ii)证明：ZkAOB面积S=2|mI?Ixi-X2I=2?|m

如《2-?+2)1252-1^+2)

I?k2+2(k2+2)2,

K+k2-11)2+2@2+2)2

由基本不等式可得：m2(k2.m2+2)<(2)2=4,

但返

・•.△AOB面积S<V2xV4=2,当且仅当m2=k2-m2+2,即2m2=k?+2,

2+k?

又：m=2k,解得：k=±V2,

返

当且仅当土丘时,

k=△AOB面积取得最大值为2.

2

y,2=1二返

由椭圆C的方程为：2X的离心率e=a=2,

••.△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率.

21.在锐角4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.

（I）求角A的大小；

（II）若a=6,b+c=8,求AABC的面积.

参考答案：

一•，・八二.kBe(0,—)sinB*0/.sinA=—

(1)由已知得到：2011/811】^=438111^,且\22,

Ae(Q,-):.A=-

且23；

cosA=—

(II)由(1)知2,由已知得到：

36=b2+c2-2bcx1=>@+of_劝。=36=>64-3^c=36=>he