2021届人教a版 集合 单元测试

集中

一、单选题

1.打靶3次，事件a="击中i发"，其中i=（）,1,2,3.那么A=AU3U4表示（）

A.全部击中B.至少击中1发C.至少击中2发D.全部未击中

【答案】B

【解析】

【分析】

根据A=AU4U3的意义分析即可.

【详解】

AU4U4表示的是4,A2,A3这三个事件中至少有一个发生，

即可能击中1发、2发或3发.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了事件的运算理解,属于基础题.

2.某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别记为4,B,不中分别记为N，后，事件“至

少有一次击中靶心”可记为（）.

A.ABB.AB+A8C.A5+AB

D.AB+AB+AB

【答案】D

【解析】

【分析】

写出事件“至少有一次击中靶心”包含的基本事件即可得解.

【详解】

事件“至少有一次击中靶心'’包括“第一次中靶心和第二次不中靶心”，"第一次不中靶心

和第二次中靶心”和“两次都中靶心”，即初+4+AB.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了基本事件的概念，属于基础题.

3.某产品外为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，从等级为甲、乙、丙的三

件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件4、8、C,则抽取一件抽得

次品为（）

A.AB.BCC.CD.A

【答案】D

【解析】

【分析】

根据事件的运算逐个判断即可.

【详解】

事件A为抽到一件正品,故A错误.

事件2c为同时抽到BC,不满足题意，故B错误.

事件已为抽到丙的反面，故C错误.

事件A为抽取甲级产品的反面,即抽到次品，故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了对事件及其运算的理解，属于基础题型.

4.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A="出现的点数是1或2"，事件B=”出现的点

数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（）

A.A\JBB.AC\BC.A^BD.A=B

【答案】B

【解析】

【分析】

根据事件A和事件B,计算AUB,ACIB,根据结果即可得到符合要求的答案.

【详解】

由题意可得：A={1,2},8={3,4},

.-.AUB={1,2,3,4},Ac6={2}.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算,

集合与集合的关系来解决，是基础题.

5.一批产品共有100件,其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，

现给出以下四个事件：

事件A：恰有一件次品；

事件8：至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；

事件至多有一件次品.

并给出以下结论：

①AU8=C；②8UO是必然事件；③An8=C；④Ano=c.

其中正确结论的序号是（）

A.①②B.③④C.①③D.②③

【答案】A

【解析】

【分析】

根据事件的关系逐个判断即可.

【详解】

解析：事件AU8：至少有一件次品，即事件C,所以①正确；事件4门8=0,③不正

确；

事件8U。：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确：

事件An。：恰有一件次品，即事件A所以④不正确.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了事件的基本关系，属于基础题型.

6.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设4=｛两次都击中飞机｝,8=｛两

次都没击中飞机｝,C=｛恰有一弹击中飞机｝,｛至少有一弹击中飞机｝,下列关系不正

确的是（）

A.A^DB.=0C.A<JC=D

D.A\JC=B\JD

【答案】D

【解析】

【分析】

根据所给的事件逐个判断即可.

【详解】

解析：对于选项4事件A包含于事件D,故A正确.

对于选项B,由于事件B,D不能同时发生,故3D。。正确.

对于选项C,由题意知正确.

对于选项D,由于AuC=O=｛至少有一弹击中飞机｝，不是必然事件；而8UO为必然

事件，所以AUCHBU。，故D不正确.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了事件的交并关系，属于基础题型.

二、多选题

7.设4,8是两个任意事件，下面关系正确的是（）

A.A+B=AB.A+AB=A

c.ABaAD.A（A+B）=A

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据事件的运算法则逐个分析即可.

【详解】

若A+8=A，则8=故A错误；

由题知=.•.A+AB=A，B正确；

V当事件A、B都不发生时，AB发生，但A不发生，而不是A的子集,c错误：

Ac,（A+B）,A（A+B）=A,D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查了事件的基本运算，属于基础题型.

三、解答题

8.某商场对购买一定量的商品的顾客进行抽奖活动，活动规则是：一个袋中有大小、

形状相同的红、黑球各一个，顾客从中依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球,

摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，顾客3次摸球所得总分超过4分获得奖品.

问题：

（1）如何确定此试验的样本空间？

（2）设“顾客获奖”为事件4,则4中含有哪些样本点？

（3）如何求出事件A=“顾客获奖”的概率？

【答案】（1）样本空间。=｛（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（红，黑,

黑），（黑，红，红），（黑，红，黑）（黑，黑，红），（黑，黑，黑）｝.；

（2）事件A中含有的样本点有（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，

红，红）.；

（3）—.

2

【解析】

【分析】

（1）既然是摸3次，因此以三次摸得的球的颜色按顺序组成一个样本点，这样可列举

出所有基本事件，得样本空间；

（2）要获奖，至少有两次摸到红球才可能，由此可得事件4中的样本点；

（3）根据（1）（2）可计算获奖概率.

【详解】

（1）样本空间。={（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（红，黑，黑），

（黑，红，红），（黑，红，黑）（黑，黑，红），（黑，黑，黑）}.

（2）提示：“顾客获奖”就是顾客得分为5分或6分，即三次摸到3个红球或2个红球1

个黑球，因此事件A中含有的样本点有（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红）,

（黑，红，红）.

（3）提示：依题意知该试验是古典概型，事件A包含的样本点数为4,由问题1知，

样本点总数为8,所以事件A的概率P（A）=」.

2

【点睛】

本题考查随机事件的概念，考查古典概型，可用列举法列出样本空间中的所有样本点,

从而确定随机事件的样本点，由此可计算概率.

9.掷一枚骰子，给出下列事件：

A="出现奇数点”，B="出现偶数点"，C="出现的点数小于3”.

求：⑴A^B,BcC；

（2）AUB,BuC.

【答案】（1）408=0,"出现2点”.

（2）AUB=”出现1,2,3,4,5或6点“，3UC=''出现1，2,4或6点

【解析】

【分析】

根据题意表示出集合AB,C,再求（1）ACB,BcC；（2）A\JB,BuC即可.

【详解】

由题意知：A="出现奇数点”={1,3,5},B="出现偶数点”={2,4,6},

C="出现的点数小于3"={1,2},

（1）Ap[B=0,3cC={2}=出现2点”；

（2）AUB={1,2,3,4,5,6}="出现1,2,3,4,5或6点”，

8°。={1,2,4,6}="出现1,2,4或6点”.

【点睛】

本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算,

集合与集合的关系来解决，是基础题.

10.在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事

件“第一次掷出的点数为1”，事件4表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次

掷出的点数为j,事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机

事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，

（1）试用样本点表示事件AnB与AUB；

（2）试判断事件A与B,A与C,8与C是否为互斥事件；

（3）试用事件为表示随机事件4.

【答案】（1）详见解析（2）事件A与事件8,事件A与事件C不是互斥事件，事件B

与事件c是互斥事件.（3）A=au&U4UA4U4UA

【解析】

【分析】

（1）先列出试验E的样本空间，再分别列出每个事件的样本点进行判断即可.

（2）根据每个事件的样本点进行判断即可.

（3）根据题意直接列出即可.

【详解】

解：由题意可知试验E的样本空间为

Q={（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)).

(1)因为事件4表示随机事件“第一次掷出的点数为I"，所以满足条件的样本点有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),即4={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}.

因为事件8表示随机事件“2次掷出的点数之和为6"，所以满足条件的样本点有

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),即3={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

所以4口3={(1,5)},

AUB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以

。={(1,4),(2,5),(3,6)}.

因为AnB={(l,5)}w0,AnC={(l,4)}w0,所以事件A与事件民事

件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.

(3)因为事件可表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为/”，

所以A={(1“,4={(1,2)},A={(1,3)},4={(1,4)},A={(1,5)},4={(1,6)},

所以A=AU4U4U4UAUA).

【点睛】

本题主要考查了样本空间以及样本点的运用，需要根据题意列出对应的样本点进行分析,

属于基础题型.

11.把标号为1,2,3,4的四张卡片分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人1张，事件

A表示随机事件“甲分得1号卡片”，事件8表示随机事件“乙分得1号卡片”.

(1)分别指什么事件？

(2)事件A与事件3是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是

对立事件，请分别说出事件4、事件B的对立事件.

【答案】(1)AD8是不可能事件；AU8表示事件甲分得1号卡片或乙分得1号卡片”

(2)事件A与事件8是互斥事件，事件A与事件B不是对立事件，事件A的对立事件

是指事件“甲未分得1号卡片”，事件B的对立事件后是指事件“乙未分得1号卡

片”

【解析】

【分析】

（1）根据an氏AU8直接理解判断即可.

（2）分析事件A与事件B中可能出现的情况分别判断即可.

【详解】

解：（1）根据题意，事件4和事件2不可能同时发生，所以AD8是不可能事件；A\JB

表示事件甲分得1号卡片或乙分得1号卡片”

（2）由（1）可知事件A和事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B是互斥事件，

又因为事件A与事件B可以都不发生（AUBHQ）,如甲分得2号卡片，同时乙分得3号

卡片，所以事件A与事件8不是对立事件，事件A的对立事件了是指事件“甲未分得1

号卡片”，事件B的对立事件力是指事件“乙未分得1号卡片”.

【点睛】

本题主要考查了对立事件的理解，属于基础题型.

12.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件4表示随机事

件“甲中靶”，事件5表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，

试用A,B,C的运算表示下列随机事件：

（1）甲未中靶；

（2）甲中靶而乙未中靶；

（3）三人中只有丙未中靶；

（4）三人中至少有一人中靶；

（5）三人中恰有两人中靶.

【答案】（1）X（2）A后（3）ABC（4）ABC（5）（AB6）U（A7C）U（MC）

【解析】

【分析】

根据事件的运算求解即可.

【详解】

解：（1）甲未中靶：7（2）甲中靶而乙未中靶：Ac》，即A5.

（3）三人中只有丙未中靶：ApIBn^,即A8E.

（4）三人中至少有一人中靶了就.

（5）三人中恰有两人中靶（ABG）U（A反ju（Mc）.

【点睛】

本题主要考查了基本事件的运算，属于基础题型.

13.从某大学数学系图书室中任选一本书，设4=｛数学书｝,6=｛中文版的书｝,C=

｛2018年后出版的书｝,问：

(1)表示什么事件？

(2)在什么条件下，有4080。=A?

(3)8表示什么意思？

(4)如果入=3,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？

【答案】(1)｛2018年或2018年前出版的中文版的数学书｝(2)“图书室中所有数学书

都是2018年后出版的且为中文版”(3)2018年或2018年前出版的书全是中文版的(4)

是

【解析】

【分析】

⑴根据题意直接判断即可.

(2)利用事件的交集分析即可.

(3)根据对立事件与事件的关系判断即可.

(4)根据对立事件判断即可.

【详解】

解：(I)AnBnG=｛2°18年或2018年前出版的中文版的数学书｝.

(2)在“图书室中所有数学书都是2018年后出版的且为中文版”的条件下，才有

(3)6之3表示2018年或2018年前出版的书全是中文版的.

(4)是，入=3意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不

是数学书，同时入=5又可化成5=A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中

文版的,而且所有不是中文版的书都是数学书.

【点睛】

本题主要考查了对立事件以及事件的交并关系等.属于基础题型.

14.如图是某班级5()名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅

数学学习资料的学生，8表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学

生

(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件;

(2)用A,B,C表示下列事件：

①恰好订阅一种学习资料；

②没有订阅任何学习资料.

【答案】(1)区域1表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅；区域4表示该生只订

阅数学、语文两种资料；区域5表示该生只订阅了语文资料；区域8表示该生三种资料

都未订阅.(2)①A与右+33。+而C;②X耳。

【解析】

【分析】

(1)由图可得出1,4,5,8各区域所代表的事件；

(2)由事件的关系与运算求解即可.

【详解】

(1)由图可知：

区域1表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅；

区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料；

区域5表示该生只订阅了语文资料；

区域8表示该生三种资料都未订阅.

(2)“恰好订阅一种学习资料”包括：只订阅数学为：ABCi只订阅语文：ABCx只

订阅英语：ABC，并且这三种相互互斥

所以“恰好订阅一种学习资料”用A,B,C表示为：ABC+ABC+ABC

“没有订阅任何学习资料”用4B,C表示为：ABC

【点睛】

本题主要考查了事件的关系与运算，属于中档题.

15.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.

设事件A="三个圆的颜色全不相同"，事件B="三个圆的颜色不全相同”,事件C=