2021届人教a版平面向量 单元测试 (一)

平面向量

一、单选题

1.如图，在aABC中，0为BC中点，若AB=LAC=3,＜而狂＞=60°，贝！||毓|=()

A.1B.2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的中点坐标公式即可得出丽=:(海+M)，两边再作数量积即可得出.

【详解】

据题意，。为BC中点，所以阳(Km+*),

1____113

OA।-4(AB2+2AB-AC+AC2)=4(12+2X1X3Xcos60°谊)=；；

所以姮.故选c.

2

【点睛】

熟练掌握向量的中点坐标公式即可得出同=；(川豆+元)及数量积运算是解题

的关键.

2.已知“是A4BC的8c边上的中点，若向量通=办，*=万，则向量戒等于

()

A.—6)B.c.D.-gk+6)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得，a+h=2AM，解出向

量AA/•

【详解】

根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，

AM'=-(AB+AC)=-(a+b).

22

故选C.

【点睛】

本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识

的理

解掌握水平和分析推理能力.

3.已知平面向量£和行的夹角为60,£=(2,0)，W=l,则,+21=()

A.20B.12C.46D.2G

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

•.也=(2,0),.•.同=2，又忖=1,ah-2xlxcos60°=1，

W+2年=同，协5+4忖=4+4+4=12,卜+2q=2百,选D.

4.设是不共线的两个非零向量，己知AB-2a+ph,BC-a+b,CD=a-2h,

若A,B,D三点共线，则〃的值为()

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】

因为A,8,O,故存在实数2,使得丽丽,利用平面向量基本定理可得关于4。

的方程组，从而可求P.

【详解】

因为A,8,C,故存在实数;I,使得而=/丽，又而=22-B，

所以2G+=2/H-/15,故4=1,p=-l,故选D.

【点睛】

本题考查共线向量定理和平面向量基本定理，属于容易题.

5.已知向量。=0,2),5=(1,0),乙=(4,一3).若彳为实数且(5+4)_1乙则，=

()

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】B

【解析】

试题分析：4+45=(1+/1,2)，因为(G+4)_LC,则

伍+九5卜3=4(1+2)-6=0,2=-^,选B；

考点：向量的坐标运算；

6.向量G=(2,3),3=(-1,2),若〃立+B与£—25平行，则相等于()

11

A.-2B.2C.—D.——

22

【答案】D

【解析】

试题分析：因为加1+5=(2m—1,3加+2),a—2b=(4,-1),所以

-(2m-1)=4(3/M+2)m=——,选D.

2

考点：向量平行

【思路点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结

合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.

(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结

合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解

决这类问题的一般方法.

(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，

转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距

离问题.

7.已知平面向量而，前的模都为2,AB,AC=90\若两=2碇(2w0),则

AM-(AB+AC)=()

A.4B.73C.2D.0

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的条件，建立适当的坐标系，可知点M在直线AB上(B点除外)运

动，写出对应点的坐标和直线的方程，求得向量的坐标，利用向量数量积坐标运算式,

求得结果.

【详解】

根据题意，以AB为％轴，AC为丁轴建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(2,0),C(0,2),如图所示:

设用(x,y),则赤=(x,y),而+/=(2,2),

所以而•(而+〃)=2(x+y),

而直线BC的方程为x+y=2且M在直线BC上，

所以丽晨(丽+4心)=2(x+y)=4,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关向量的数量积的求解问题，在解题的过程中，注意将向量坐标化是解

决此类问题的方法，属于简单题目.

8.AABC的外接圆的圆心为O,半径为2,04+A8+AC=0且|Q4|=|AB|,则向量

3在无方向上的投影为()

A.百B.3C.—y/iD.-3

【答案】A

【解析】

...—♦••

试题分析：设民C的中点为由OA+AB+AC=()得。4=2M4,作出辅助图易得

四边形ABCO为菱形且ZACB=30°,故向量不在而方向上的投影为

CAcosZACB=2xcos300=6

考点：向量的数量积、投影

9.在AABC中，向量几和人"满足(A%+ZZ)•说=0，则△48。为()

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.三边不等的三

角形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据AABC中，立=就」代入已知式子中，化简得AB=4C，所以AABC为

等腰三角形.

【详解】

解：AABC中，BC=AC-AB,

=（A8+AC）・BC=O，

二（A8+AC）（AC-A8）=0，

t2->2->->

AB=AC=>AB=AC,

.1△ABC为等腰三角形.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，以及平面向量的线性运算的应用.

（出、

io.已知向量a=（i,石），=（3,m）,c--1,--',且5〃乙，则向量1,5的夹

角为（）

n2R*5兀

A.-B.-C.----D.—

3636

【答案】B

【解析】

【分析】

先由方〃章求出”的值，然后再根据向量的数量积求出夹角.

【详解】

Vb=（3,m）,c=—1,——,b//c

m=\/3，

设向量万,5的夹角为e,

.abIx3+V3x73V3

则8也丽=2x2石F

又

。=军.

6

故选B.

【点睛】

利用向量的数量积可解决夹角问题，求解时可先求出夹角的余弦值，然后再求出夹角的

值，体现了向量的工具性的作用，解答此类问题时容易忽视标明夹角的范围，属于基础

题.

11.尸是双曲线仁鸟-卫=1（4>0,。>0）的左焦点，“是双曲线右支上一点，直线

arb~

切圆J?+y2="于点"，而+0必=2两，则。的离心率是（）

A.V5B.2C.73D.V2

【答案】A

【解析】

【分析】

由而+0贬=2丽得N是尸M的中点，从而可得AMFE（乙是右焦点）中，

\MF2\^2a,MF2LMF,\MF\=4a,由勾股定理得出。工关系，求得离心率.

【详解】

:炉+而=2丽，XN是的中点，鸟是右焦点，则。是耳工中点，六

ON//F2M,

：双是切点，，|咖|=。，ON±FM,：.\MF2\=2a,MF2±MF,

又由~\MF2\=2a得|MF|=4a,

(4a)2+(2a)2=(2c)2,J.e——=也.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量加法法则得出N是ME的中点，这样

可确定焦点三角形&0R鸟是直角三角形，两直角边长分别为2a,4。（结合双曲线定义）,

由勾股定理建立a，c的关系式.

12.双曲线C：与_方=1,（。＞0,。＞0）的左、右焦点分别为F1,尸2,为双曲线

左支上一点，且•（西+丽）=0（0为坐标原点），cosNPF2K=g,则双曲线C

的离心率为（）

.475

A.5B.—C.—D.一

352

【答案】A

【解析】

【分析】

取P4的中点为"，则。必=；（。［+。户），根据题意可得两，两，贝IJ

—,4

由ZPFE可求出。，c,从而求得离心率.

PFXLPF2,cos=g

【详解】

如图，取的中点为M，则。必=：（西+。户），

由所•（西+而）=0,得巨耳。W=0,即所_LQM：

因为O河为△尸耳居的中位线，所以两

由cos/PEI=；设忸用=4,贝|」|耳闾=5,|尸用=3,

所以卜|耳卜

2a=|PgP1,2C=\FXF2\=5,

2c

得。的离心率为e=—=5.

2a

故选：A.

【点睛】

本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，求双曲线的离心率，属于中档题.

二、填空题

13.设向量a=（加,1）石=（1,2）,且,+q=|a|+|S|,则实数m=.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根据已知条件求得2d,结合向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得〃?的值.

【详解】

由于口+q=|不+|甲，即用+|邛+275=忖2+|印，所以£%=(),

所以。・。=旭+2=0，解得，〃=—2.

故答案为：-2

【点睛】

本小题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题.

14.已知向量@=(3,/")，5=(-2,777+2),若历则"?=.

【答案】-：

【解析】

【分析】

由题得3(，"+2)=-2巴解方程即得解.

【详解】

因为2|历，所以3(〃?+2)=-2"，解得机=-2.

故答案为一与

【点睛】

本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础

题.

15.长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C(x,y)满足就=2CB,

则动点C的轨迹方程是

【答案】x2+2-=l

4

【解析】

试题分析：动点C(x,y)满足AC^2CB,则5(0,1j),A(3x,0)

QV2

根据题意得9%2+=y2=9,即/+2-=1.

44

2

则点C的轨迹方程是椭圆f+匕=1.

4

2

故答案为f+2-=l

4

考点：椭圆的标准方程.

22

16.已知双曲线。：=―5=13>0力>0)的左、右焦点分别为K，过尸2作斜

a~b"

率为，的直线与曲线C交于点P,若丽•郎=0,则双曲线。的离心率为一.

【答案】75

【解析】

分析：尸工的方程为y=2(x—c),2月的方程y=—f(x+c),联立求出点尸的坐标

cib

(b2~a2lab'

为------,——，代入双曲线方程，化简即可得结果.

I。c)

b

详解：取双曲线的渐近线为y=-x,

a

•.由(-c,0)，E(c,0),

•••过F2作斜率为-的PF2的方程为y=-(x-c),

aa

因为三耳•%=0

所以直线夕耳的方程y=—f(x+c),

b

b、

y=_((X-C)

b1-a22ab、

联立方程组《”,可得点P的坐标为

<c,c,

y=--\x+c)

b2-

•.•点P在双曲线上,

b2

即仅一一少)4a2

22

ac

2

c2—2c〃/、”=1，

c2=a2+b2,：.

ac,c~

整理得。2=5〃，...eMfALr.en逐，故答案为JL

a

点睛：本题主要考查双曲线的方程、性质及离心率，属于难题,离心率的求解在圆锥曲

线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出。，。，从

而求出e；②构造c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求

解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.

三、解答题

17.已知向量日=(1,@石=(—2,0).

(I)求Z—石的坐标以及万与£之间的夹角;

(2)当1,1]时，求忖一间的取值范围.

【答案】(1)(3,⑹(2)[A/3,2^]

【解析】

【分析】

(1)根据向量的减法运算法则求出的坐标，再用向量夹角公式即可求出3-/；与£

之间的夹角；(2)利用向量的模的计算公式求出它一用再根据二次函数知识求出范

围.

【详解】

(1)a-b==(3,^].所以力的坐标为(3,

设与£之间的夹角为。，

(如一小3X]+G〉6_G77

则cos8=而owew],故。=一.

忖一胴"V9+3xViT3-26

(2)va-S=(I>^)-r(-2>0)=(1+2/,75),

在一1,一；上递减，在一;」上递增，所以/=一：时，,一例最小值为百，

f=l时，W最大值为25故口一回的取值范围为[6,26].

【点睛】

本意主要考查两个向量的夹角公式应用，向量的模的定义及求法，以及利用二次函数的

单调性求函数取值范围，意在考查学生的数学运算能力.

18.已知向量：a=(2^3sinx,cosx+sinx),=(cosx,cos-sinJC),函数

f(x)=a-b.

(1)求函数/(x)的最大值，并写出取得最大值时自变量》的集合;

(2)写出函数y=/(x)的单调增区间.

TTI7171

【答案】(1)2)\x\x--+k7i,k^Z\•(2)——+k7r,—+k7r,keZ.

I6JL36.

【解析】

【分析】

⑴利用向量数量积的坐标运算、降幕公式和辅助角公式可得〃x)=2sin(2x+J

结合正弦函数的性质可得/(x)的最大值及取最大值时x的集合.

(2)利用正弦函数的单调性可求/(x)的增区间.

【详解】

(1)/(x)=a-h=2A/3sinxcosx+(sinx+cosx)(cosx-sinx)

=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+?),

故7(x)的最大值为2,取最大值时2x+工=2Qr+工次EZ即工=丘+工,丘Z,

626

所以取最大值时自变量X的取值集合为卜Ix=看+"ez}.

TTTTTC

(2)令2kjr---<2xd——<2k7v-\——,keZ,

262

解得女万一］<尤《左1+1,女eZ,故的增区间为：-彳+A4,彳+A万,k&Z.

【点睛】

形如/(x)=Asin2cox+Bsinaixcoscox+Ccos2a)x的函数，可以利用降累公式和辅

助角公式将其化为/(x)=A'sin(2ox+o)+B'的形式,再根据复合函数的讨论方法求

该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等.

19.如图示，P是以AB为直径的圆的下半圆弧上的一动点(异于A、B两点)，C、D

分别为A、8在过点P的直线/上的射影(A、B在直线/的上方)，记NABP=e,

NPBD=/3,向量j〃直线/.

（1）若AB=2,求AA6P面积S的最大值及S取得最大值时a的值；

（2）若AB=2,用〃?表示向量而、而在向量j方向上的投影之和的绝对值，试问

a、4满足什么条件时，加有最大值？

（3）若AC=1,BD=6Z?=10°,求AP-3P的值.

【答案】（l）a=（时，Smin=1；（2）a+/=3时，加的最大值等于2；（3）4

【解析】

试题分析：（1）先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再利用三角函数的定

义和面积公式进行求解；（2）利用平面向量的数量积的几何意义进行求解；（3）先由直

角三角形中的三角函数定义求得相关边长，再由三角恒等变换进行求解.

试题解析：（1）由AB为直径得圆周角NAPB=9（y＞，

S=；（2sinc）42cosa）=sin2«,

•."ae（0,9，2ae（0㈤

jrTT

所以当2a=—,即a=:时，5=1.

24min

（2）由mAACP与RrAPOB相似得NAPC=，，又N6尸O=,一，，

所以机=||AP|cos^AP,f^+|尸3kos

=||AP|COS(初川+||国cos(国T)

=画cos(Q,现+冏cos(函⑦

=2sinacos-+2cosasin/7=2sin(a+/?)

,:a+B=ZABDe(0,")

TT

所以当a+/=,时，加的最大值等于2

(法二)显然/(")也等于向量而在向量丽方向上的投影

所以〃⑶二画COS(福叫=JA尸+PB2cos(福①)=2cos(福⑦

当cos(福，①)=0即向量福，亚共线且同向时，加有最大值2,此时。+尸

(3)由相似三角形得NP5£>=NAPC=10°，由直角三形得

AP=—^,PB=^~^，

sinlOcoslO0

16

所以AP-PB=

sinlO0coslO0

4—cosl0°--sin100

coslO0-V3sin10°_(22,

sinlO°coslO()2sinl0°coslO0

0(,

4(sin30°coslO-cos30°sinl0)4sin(30°-10°)4sin20O=4

sin20°-sin20°-sin20°

20.已知A(—2,l),8(1,3),求线段AB的两个三等分点的坐标.

【答案】Q(0,7

【解析】

【分析】

根据平面向量线性运算的坐标表示，计算可得.

【详解】

解：2,1),5(1,3),AB=05-04=(1,3)-(-2,1)=(3,2),

如图，设P(wx),。(尤2，%)是线段45的两个三等分点，且入户=gA月,

AQ=^AB,

：.OP-OA=^AB,:.OP=OA+^AB^(-2,1)+1(3,2)=(—1,|),

点尸的坐标是(―1,1)

同理，丽=厉+^^=(-2,l)+g(3,2)=(0,g),

二点Q的坐标为(0,()

【点睛】

本题考查定比分点坐标的计算，平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题.

21.已知向量4二(3,2),5=(—1,3),c=(5,2).

⑴求6a~\~b—2c;

(2)求满足1="?5+〃忑的实数相，n；

⑶若(M+依)〃(25—1),求实数k.

4

m=—,

1711

【答案】⑴(7,11)⑵；⑶人一段

n--.

17

【解析】

【分析】

⑴由已知向量的坐标即可求出6a+tr-2c的坐标；

(2)把相石+晶的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数加，〃.

(3)分别写出£+丘与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数

【详解】

(1)6a+h-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)

=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11)

(2)Va=mh+nc，

^3,2^--—1,3)+72^5,2^—•(—m+5〃,3"?+2〃).

4

m=—,

一加+5〃=3,17

ccc解得

3m+2〃=2,11

n=­,

17

(3),:(a+Zc)//(25+ZtF=G+5左,2+2攵),2»—5,4).

:.4x(3+5k)—(—5)x(2+2k)=0,

15

【点睛】

本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题.

22.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，M为平面上任一点，A,