2022版新教材高中数学第4章数列1-4综合拔高练含解析苏教版选择性必修第一册

综合拔高练

五年高考练

考点1等差数列及其应用

1.（2020全国II,4,5分,#?）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层

中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依

次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每

层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

2.（2020浙江,7,4分，*?）己知等差数列｛a｝的前〃项和为S“，公差”0,且」WL记

打=£，儿尸〃仁N:下列等式不可能成立的是（）

A.2国二/+今

B-2&:庆+bf,

C.

D.l=bzbi

3.（2019课标全国I,9,5分,*?）记S为等差数列｛&｝的前n项和.已知S=0,8=5,则

（）

A.an=2n-5

B.a=3/7-10

C.Sn=2n-8n

D.Sn=^n~2n

4.（2020新高考1,14,5分,*0将数列｛21｝与｛3"｝的公共项从小到大排列得到数列

｛&｝,贝IJ｛a｝的前〃项和为.

5.（2020浙江,11,4分,锵）我国占代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,

如数列上一1）｝就是二阶等差数列.数列的前3项和是.

6.（2019课标全国HI,14,5分,*9记Sn为等差数列｛&｝的前〃项和，若aWO,a=38,则

7.（2019北京，10,5分，锵）设等差数列｛4｝的前n项和为S.若昕-3,%-10,则

曲二,S的最小值为.

8.（2019课标全国I,18,12分,*9记W为等差数列｛a｝的前〃项和.已知S尸-加

⑴若&=4,求｛&｝的通项公式;

⑵若^>0,求使得S2品的n的取值范围.

考点2等比数列及其应用

9.（2020全国I,10,5分，"）设｛a｝是等比数列，且以+和3=1,我+a+&=2,贝IJa+金+金=

（）

A.12B.24C.30D.32

10.（2018北京,4,5分,/帕）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载墙最早用数学方法

计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十

二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的

比都等于।虑.若第一个单音的频率为£则第八个单音的频率为（）

A.y/2fB.V?/*

C.D.

11.（2019课标全国/,14,5分，笛）记$为等比数列｛4｝的前〃项和.若上斯则

&二.

12.（2020全国/文，17,12分,*?）设等比数列满足a+殳=4,&-句=8.

（1）求｛&｝的通项公式；

⑵记£为数列｛log3a｝的前〃项和.若S+£“=%3,求m.

13.（2019课标全国〃，19,12分，★口）已知数列®｝和同满足

a=1,b=0,4加1=3a-4+4,46E=34-A-4.

（1）证明：｛&+4｝是等比数列，｛a-端是等差数列；

⑵求｛a｝和｛4｝的通项公式.

考点3数列的综合问题

14.（2020江苏,11,5分,"）设｛&｝是公差为d的等差数列，⑸是公比为q的等比数列.已

知数列｛a+4｝的前〃项和际庐加2"-1（〃£N）,则在q的值是.

15.（2020全国/,16,5分，*）数列｛品｝满足册2+（-1尸&=3/rl,前16项和为540,则

16.（2020新高考/,18,12分,"?）已知公比大于1的等比数列｛&｝满足品+&尸20,砥8.

(D求｛a｝的通项公式；

(2)记A为｛a｝在区间(0,勿］(M=N)中的项的个数,求数列｛几｝的前100项和Soo.

考点4数学归纳法,

17.（2020全国HI理，17,12分，设数列｛a｝满足丁=3,4产34-4〃

⑴计算改,国,猜想｛a｝的通项公式并加以证明；

⑵求数列｛2%,｝的前〃项和S.

三年模拟练

应用实践

1.（多选）（2020江苏盐城高二期末,★3）设dS分别为等差数列｛4｝的公差与前〃项和，若

S产So,则下列判断中正确的有（）

A.当后15时，S取最大值

B.当炉30时，S1Po

C.当tZ>0时，句o+/2>O

D.当"0时，|国。|>侬|

2.（多选）（2020江苏苏州实验中学高二月考,*）已知等差数列｛4｝的首项为1,公差在4,前

n项和为S,则下列结论成立的有（）

A.数列｛—｝的前10项和为100

B.若劭，a”&成等比数列，则犷21

C.若£——浅,则〃的最小值为6

=1+i25

D.若&+&=a+囱0,则L上的最小值为意

3.（2020四川南充西南大学实验学校高一月考,*）已知数列｛log心J（a>0且aWl）是首项为

2,公差为1的等差数列,若数列｛a｝是递增数列,且满足a产如1g%则实数a的取值范围是

（）

A.（|,l）B.（2,+oo）

C.（|,l）u（l,+oo）D.（0,^U（l,+oo）

4.（2020山东济宁实验中学高二上期中,北）古代埃及数学中有一个独特现象:除，用一个单

独的符号表示以外,其他分数都可写成若干个单分数和的形式.例如芸+1,可这样理解:有两

个面包,要平均分给5个人,每人提余去再将这g分成5份,每人解,这样每人分得”.形如

若（〃23,〃£心的分数的分解铝$利+焉,君噌按此规律,若二

（〃23,〃£N）.

5.（2021河南豫南九校高二联考,*）已知数列｛品｝的前n项和为S,数列M的前〃项和为

北,其中a尸1,35=（加9）&（R£R）,且为加总若对任意〃£N*,4>7；恒成立，则实数4的最小值

为.

6.（2021上海交通大学附属中学高三月考,加）已知等差数列｛»｝（公差不为零）和等差数列

｛4｝,如果关于x的方程2021f-i&+/+・・・+

出⑼）户打+灰+…+灰02.=0有实数解，那么以下2021个方程

1一&m仇=0,电壮友=0,V-■〃产0,,x~ai⑼产员021=0中，无实数解的方程最多有

个.

7.（2021浙江宁波宁海中学高三二模,*）已知｛|为|｝是首项和公差均为1的等差数列,5为

数歹IJ｛a｝的前〃项和，记的为S|的所有可能取值中的最小值，则仍+勿升…+汲020二.

8.（2021江苏南京三校高三期中联考，*）在下列三个条件①外得4+1,②加产4+2,③

S=2&T中选择一个补充在题中横线处,并作答.

设数列｛a｝的前〃项和为S,a=l,对任意的〃£N：都有，等比数列伉｝中，对任意的

“GN：都有b60,2b#Fb»\+3bn,且6:1,问：是否存在〃£N*,使得对任意的心：都有a“bW

国£?若存在,试求出女的值;若不存在,请说明理由.

9.（2020天津耀华中学高二上期由*）在数列｛4｝中，已知d=1,其前n项和为S,且对任意

的正整数〃,都有2s=（加1）为成立.

（1）求数列｛a｝的通项公式；

⑵已知关于〃的不等式上­上....一对一切〃23,〃丘N*恒成立,求实数a的

34V2+1

取值范围；

(3)已知。户(廿一)：数列｛&｝的前n项和为北,试比较北与g的大小并证明.

迁移创新

10.(2019北京高考,*)已知数列｛4｝,从中选取第几项、第芯项、…、第九项(水力<・・・<4),

若.<«•<，则称新数列.，2,…，为｛品｝的长度为勿的递增子列.规定:

数列｛a｝的任意一项都是｛a｝的长度为1的递增子列.

(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

(2)已知数列｛a｝的长度为0的递增子列的末项的最小值为。,长度为。的递增子列的末项

的最小值为0.若p<Q,求证：0<0；

(3)设无穷数列｛4｝的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若｛d｝的长度为s的递增子列

的末项的最小值为2-1,且长度为s且末项为2^1的递增子列恰有2八个(s=l,2,…)，求数

列｛4｝的通项公式.

4.144综合拔高练

五年高考练

1.C由题意可设每层有〃个环，则三层共有3〃个环，，每一环扇面形石板的块数构成以a=9

为首项,9为公差的等差数列{a},且项数为3/7.不妨设上层扇面形石板总数为S,中层总数为

£,下层总数为£,•••5-&=[9(2+1)x+x9]-19(/^1)Xn^-^-X9]=9/J2=729,

解得炉9（负值舍去）.则三层共有扇面形石板（不含天心

石）27X9+^^X9=27X9+27X13X9=27X14X9=3402（块）.故选C.

2.D对于A,如自，曲成等差数列，故A成立；对于B,由加（尸，松-S户/触2+/用，可得

bi%a2a2+a2K「（加+an）=改那一改让a?松—4d,故｛6/是等差数列，则九加A也成等差数

歹U,故B成立;对于C,彳=（a+38=：+6ad9d,=（&+中•（&+7功=什8a仆7/,所以

4-a>ai=2d-2a\d=2d（d-a^,当d=a、时，\二金&成立；对于D,\=（1+2+

12）2=（2a+1342=4；+52&41697,Z^=（a+殳+4中（a+企+286=

（2a+5④（2&+294=4彳+688小145/,所以：-/^=24--16&庐8/（3-2・」）28/>0,所以

故D不可能成立.故选D.

3.A设｛a｝的公差为d依题意得.48+竽加0①,&+4加5②，

联立①②,解得,ai=-3,cf=2.所以a“=2n~5,S„=n-4n.故选A.

4.答案3於2〃

解析,・,数列｛2/rl｝的项为1,3,5,7,9,11,13,…，

数列｛3/7-2）的项为1,4,7,10,13,…，

・•・数列｛4｝是首项为1,公差为6的等差数列，

・—/7-1）X6=6/7-5,

,数歹|J｛4｝的前〃项和^=（1+b-f°）X~3/72~2/7.

5.答案10

解析数列｛-彳山｝的前三项依次为耍1,笋3,等=6,

，所求和为1+3+6=10.

6.答案4

解析设等差数列｛&｝的公差为4

*,*az=3ai,/.a2=ai+d=3ai,:、d=2a、,

.,・$0=10囱+等上100团，

£=5团平力25a,

又・・・囱工0,・・.3=4.

5

7.答案0;-10

解析解法一:设等差数列｛a｝的公差为a

•.•衿-3,W=T0,

:.所&+4©0,S=〃a+I卜2一；（*9力=1（-p

V/jer,：.n=4或炉5时，S取最小值，最小值为70.

解法二：设等差数列｛3｝的公差为d易得W=，；"=5a3,丁^=-10,&=-2,又

生二-3,・••力1,•,・8=曾+2片0,

，（S）min=S=W=-10.

8解析（1）设｛%｝的公差为d

由S尸一击得ai+4tAO.

由53=4得&+2占4.

于是ai=8,d=-2.

因此｛2｝的通项公式为a=10-2〃.

⑵由⑴得a尸-4d故a方（/7-5）d,S布（0.

由a>0知水0,故52品等价于/22-11/7+10^0,解得1W〃W1O.

所以〃的取值范围是｛〃|1W〃W1O,〃右N｝.

9.D设等比数列｛品｝的公比为g,

故选+&+<34=。（囱+谩+&）,

又或+&+&=2,句+色+2=1,

*,•片2,

a^a^a^q（ai+az+a）=2>=32,故选D.

10.D由题意知,十三个单音的频率依次构成首项为£公比为的等比数列，设该等比数

列为｛4｝,则&二&d,即&=故选D.

11.答案V

解析设｛“的公比为0,由*&.,得•片・・・国二02

T7••_3•3_2

乂.a\-a\•q,.•团•Q-Q,

又aq，*•,y3.

由等比数列求和公式可知学.

1"33

12.解析（1）设｛&｝的公比为q,则可=".

由已知得｛广2」二;‘解得｛匚；'

所以｛&｝的通项公式为&=3j

⑵由⑴知1。83&=/7-1.故S1r丁）.

由S+£ti=&3得/»（犷1）+（研1）勿=（.93）（研2）,即苏-5犷6=0,

解得（舍去）或犷6.

13.解析（1）证明：由题设得4（/1+如）=2（a+4）,

即即।狐弓（&I.

又因为国+6=1,所以｛a+4｝是首项为1,公比为g的等比数列.

由题设得4（d.1-6小1）=4（a-乩）+8,即am「b»i=a，bn+2.

又因为劭-6=1,所以｛晶-4｝是首项为1,公差为2的等差数列.

1

（2）由（1）知，an+b~^pa1rblp2n~l.

所以a,A[（&+力）+（&厂4）]4~+昌，

万弓[（a+A）-（&-4）]彳-一冰;.

14.答案4

解析易知gW1,则｛.+a｝的前〃项和

S^nad^万一+（「万）止7TLQ\rL=〃2_"2y,

・,•5=1,q=2,即d=2yq=2、：,小年4.

15.答案7

解析令炉2履MN*）,则有丽2+选尸6hl（4£>1%

•+的=5,徐+d^l7,a[o+a]2=29,aH+ai6=41,

•••前16项的所有偶数项和5^=5+17+29+41=92,

，前16项的所有奇数项和S俞二540-92=448,

令斤2hl（〃£N）,则有囱1=644（攵£N）.

:.如尸(所一。)+(曲一角)+(2-曲)+•••+(段川一用-1)=2+8+14+•••+6h4=―^^—―=A(3Arl)(k£

NO,

工戊⑷=4(3代D+向(A£N),

/.aF2+ai,a5=10+ai,&=24+9],a)=44+a〕,aii=70+ai,a)3=102+ai,a)s=140+cZi,

・••前16项的所有奇数项和S奇二团+属+…+&5=8劲+2+10+24+44+70+102+140=8a+392=448.

:.ai=7.

16.解析(1)设｛4｝的公比为g.

由题设得aGa/=20,8炉=8,

解得s』(舍去)，3:2.

由题设得a=2,

所以｛品｝的通项公式为&=2".

⑵由题设及⑴知年0,且当2W水2G时，6j.

所以Soo=8+(庆+A1)+(8+&+庆+场+…+必2+加+…+庆3)+(几+星+…+力100)

=0+1X2+2X22+3X23+4X245X246X(100-63)=480.

17.解析⑴&=5,&=7.

猜想&=2加1.由已知可得

a^\-(2/7+3)=3[ao-(2//+1)],

品-(2加1)=3[&)-(2/7~1)],

4-5=3(a「3).

因为＜31=3,所以&=2/汁1.

(2)由⑴得2"&=(2加1)2”,

所以S=3X2+5X22+7X2,…+(2加1)X2*①

从而2s=3X22+5X23+7X2〃…+(2/?+1)X2”1,②

©•②得

-S方3X2+2X22+2X23+…+2X2-(2/7^1)X2向，

所以S=(2/rl)2叫2.

知识拓展

解决数列的求和问题,首先要得到数列的通项公式,再根据其特点选择相应的求和方法.

数列求和的方法有以下几类：（1）公式法,等差或等比数列的求和用公式法；（2）裂项相消法,

形如&L（；）（底0）,可裂项为a」•（--J-）:⑶错位相减法，形如a•坛其中｛a｝

是等差数列，｛4｝是等比数列；（4）分组求和法，形如◎=a+'其中｛4｝是等差数列，｛4｝是等

比数列；（5）并项求和法.

三年模拟练

1.BC因为So=So,所以104】+10：9卢20创+~°：%解得3\=~^-d.

对选项A,因为无法确定乱和d的正负,所以无法确定S是否有最大值,故A错误.

对选项B,£。=30劫+次等小30x（-葭）+15X29&0,故B正确.

对选项C,5io+a22=2ai6=2（ai+15d）=2（-y+15）=</>0,故C正确.

t

对选项D,囱0=由19治yt/iyt/=<322=团121a^d'^d=^dy

因为水0,所以II=~dt|@21二*所以I&0kI/21,故D错误.

故选BC.

2.AB由己知可得国尸年3,即23〃,一=2kl,则数列｛—｝为等差数列，则其前10项和为

iox（;+i9）］00,故4正确；若a,自,国成等比数列，则2=a）.区,所以所81,即a户4犷3=81,解

得〃尸21,故B正确；

因为）

所以E—~=（1—+99i+72-「」）丁二》2解得力6,因为neN：所以〃的最小值

=1+145594-34+14+125

为7,故C错误;由等差数列的性质可知研炉12,所以+对〃）吊（1+—+竺一+16）

尤X（17+2X4）*当且仅当一=J即炉4樗时取等号,因为巩〃日二所以炉4若不成立,

故D错误.故选AB.

3.1）由题意得1og„Z?i=2,1og.A.i-logA=1og,i~-1,

・,・打=才,一^a.・.｛4｝是以才为首项,a为公比的等比数列，.・・4=a-

•:akbAgb”,；.a产/“aGgDb•Iga,V｛aj为递增数列即

［（/?+2）1）］^^1•lga>0.

①当a>\时,lga>0,D0,・・・（小2）.（加1）>0,即V-?->0,Al-^<1,

a>\即可满足[(92)a"(加1)]]'Tga>0.

②当0<水1时，1g水0,1，o,.•・(西2)a-(/M)<0,即水1—^，.•・只需

0<水，即可满足[(加2)年(加1)]/•lga〉0.

•5

综上所述,实数a的取值范围为(0.(1,+8),故选D.

4.答案上升

解析由题意得，衿£,

5315

即——,

2x3-133x(2x3-1)

£=1+1即\-」一!—

7428'2x4-144x(2x4-1),

9545*2x5-155x(2x5-1),

由此归纳出71rl+3,〃WN).

2-1(2-1)

g置产泻卷结论成立,••・『士.

解题模板

由数列的前几项归纳其通项公式时，首先要分析项的结构，然后换窕结构中的各部分与

项的序号〃之间的函数关系,进而求得通项公式.

5.答案|

解析当炉1时，3$=3科=(1+卬)如解得犷2.

当心2时，由£一得(hl)or(>1)加,即----二^.

13-i=(-14-2)-i-i-1

由累乘法可得一Jy^,

I2

又a)=l,所以ar

由a“吟得儿-[：+])=!('-4)，

所以7>|[(1-9+(退)+“.+什--1)上(1-七治

因为对任意〃WN：恒成立，所以42：,故实数人的最小值为*

6.答案1010

解析设等差数列｛&｝的公差为d,d#o,等差数列M的公差为小

贝（J团+祖+・・・+外2尸2021团（>]1,瓜+益+…+企02尸2021打0”

所以原方程可变为2021f-2021am"2021M尸0,

由该方程有实数解可得（-2021I。”）?-4X20212°u20,即5011>4^u.

要使方程氏4田后0（技心/W2021）无解，

则需4=（一金）2-46尸2-4尿0（i£N*,JW2021）.

设厅2=[1+（-1）j）y2=4a=4[bi+（/T）&]/W2021）,

易得3的图象为开口向上的抛物线的一部分,角的图象为直线的一部分，

又7=1011时,y2％,所以满足的，的取值最多可有1010个，

即无实数解的方程最多有1010个.

7.答案1010

解析因为UaI｝是首项和公差均为1的等差数列，所以|8|=1+/?-1=必

根据等差数列的性质,对任意Aq,r,s£N：若户S,则郎|+|/|=EI+la」，

所以存在满足加产Ks,有&+%二一（a+&）.

当上4女时，

$*=&+a+&+&+&+a+2+&+•••+

为使|Sj取得最小值，只需B+&=-（a+a）,&+&=-（%+&）,......,&内+国-（所卜2+a1）,

此时£*=*（鼻+/+&+&）=0,即|S/的最小值加k0;

当/F4A+1时，

二句+（/+麴+&+d+4+田+曲+,・・+当卜3+国42+国4]+国计国/1）,

为使I篇「取得最小值，同77=44时只需Sz=&+晨/+&+国+&）=&，

此时£“国,即|£*11的最小值仍“1；

当n=4於2时，

S为2=&+殳+（&+&+或+&+a+&+・-+2*3+&卜2+创修+&计&皿+8外2）,

为使|Sb21取得最小值，同77=4〃时，只需S—a+所+〃（属+囱+全+a）=8+物

此时£“d+血当囱，段=-2时，可使|SM取得最小值弧2:1;

当/F4A+3时，

$*3=&1+/+3i+（己，+&+&+田+国+•••+&I卜+3ai卜+24141+3«+国户1+国代2+国心3）,

为使154取得最小值,同77=44时，

只需£*囱+a+&+〃（&+痣+&+田）=&+&+&,当&=1,a>=2,&=-3时，可使|SEI取得最小值

如1*，3=0.

所以加以4为周期，

因此如+德+…+股oF505X（m+/%+改+加=1010.

8.解析设等比数列｛4｝的公比为q.因为对任意的都有2b行k\+3%

所以2^2=^+3,解得q=-l或档.

因为对任意的〃£N：都有b〉0,所以力0,从而宿.

又立1,所以4书）,

假设存在*eN：使得对任意的〃£N",都有即一W—.

记c.=—,f.下面分别选择①@③作为条件进行研究.

选择①.因为a&a+l,所以*「2日（&-2）.

又4=1,所以2-2=-1W0,所以a/2#0,从而一呼:

所以数列｛d-2｝是以a-2=~l为首项,;为公比的等比数列，则&-2二-（；）;即用尸2-（；）

所以。“=~=衿,从而一+—：（+：•

由第二<1得2"22,解得〃21,当炉1时，。产。2,当〃>1时，Cm〈Cn,

所以当n的值为1或2时,&取得最大值,即一取得最大值.

所以对任意的〃£N：都有一即a点国AW&4,

2I

所以存在女的值为1或2,使得对任意的心都白anbkWak"

选择②.因为如=a+2,所以aza尸2,

所以数列｛4｝是以1为首项,2为公差的等差数列，又打尸1,所以&=1+261）=2^1,

所以c—=（2^1）@">0,从而啸+；.

由篙一2W1得2〃25,解得n^,当〃W2时，cQ*当时，金《小

3（2-1）2

又02=2,C!j=y,

所以当77=3时,勿取得最大值,即一取得最大值.

所以对任意的“£N：都有一即aMW拗bn.

3

所以存在〃的值为3,使得对任意的都有a“bWakb..

选择③.因为5>2a-l,所以S，尸2加-1,

————

从而5r*i5^—2a）-i1（2<3/?1）—2（3/?*I—2<3/»,即a上尸2丛.

又3]=1>0,所以a>0,且——=2,

从而数列｛a｝是以1为首项,2为公比的等比数列,所以国=2'<

所以ck_=（01>0,从而一—>1,所以如1>以

所以不存在满足题意的无

9.解析⑴•・•2S=（加1）为①

:.当〃22时，25rl=〃&小，②

①-②并化简，得2&=（/升1）an-narri,

即（/7-1）&=〃a1（〃22）,

又ai=1^0,------=―7（r22）,

-1-1

•2_23_3.........._

1,~~，-TF'

经检验，当n=\时,a=l也满足上式,

a产〃.

(2)由(1)知a萨n,设f(n)=^--上........--近~~7T(〃23,〃WN*),

34

则