2021-2022学年下学期深圳初中数学八年级期中典型试卷2

2021-2022学年下学期深圳初中数学八年级期中典型试卷2

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•泌阳县期末）2021年3月，华为在深圳发布《华为创新和知识产权白皮书2020》,

华为对遵循5G标准的单台手机专利许可费不高于2.5美元，则下面表示专利许可费x的

不等关系正确的是（）

A.x>2.5B.x<2.5C.xW2.5D.x22.5

2.（2010•湛江）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

4.（2010•通化）用反证法证明命题”三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应

假设这个三角形中（）

A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°

C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°

5.（2021•湖里区校级二模）下列说法：

①真命题的逆命题一定是真命题；

②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；

③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；

④用反证法证明命题”三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个

三角形中每一个内角都大于60°

其中，正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2021春•龙华区期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点A（1,3）,B

（2,1）.将线段A8沿某一方向平移后，若点A的对应点A的坐标为（-2,0）,则点B

的对应点B'的坐标为（）

7.（2021春•榆阳区期末）如图，ZC=ZD=90°,添加下列条件：®AC=AD;②NA8C

=ZABD；③BC=BD,其中能判定RtaABC与RtZ\A8£）全等的条件的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2021春•招远市期末）在△ABC中，AB=BC,两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，

它们一组较短的直角边分别在AB,8c上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P,BP

A.AB=2ADB.BP平分NABC

C.2。垂直平分ACD.AD=DC

9.（2020春•东台市期中）248-1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（)

A.61和63B.63和65C.65和67D.64和67

10.（2021春•清苑区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,NB=30°,点。、E分别为AB、

AC上的点，且DE〃BC.将△AOE绕点A逆时针旋转至点8、A、E在同一条直线上，

连接BD、EC.下列结论：①△/!£>£的旋转角为120°②

LAC,其中正确的有（）

填空题（共5小题）

11.（2021•桂林模拟）分解因式：/+3a=.

12.（2021秋•诸暨市期中）等腰三角形的一个内角为70：则这个等腰三角形的顶角

为.

13.（2007•荔湾区一模）如图，在aABC中，BC=Scm,A8的垂直平分线交AB于点。，

交边AC于点E,△BCE的周长等于18c〃?，则AC的长等于cm.

14.（2021春•罗湖区期中）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C

含量及购买这两种原料的价格如下表：

甲种原料乙种原料

维生素C含量（单位/千克）600100

原料价格（元/千克）84

现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C,若所需甲种原料的质量

为x千克，则x应满足的不等式为.

15.（2020•浙江自主招生）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作4c

于E,。为BC延长线上一点，当以=C。时，连接P。交4C边于D,则DE的长为

16.（2021春•龙华区期中）计算：一卫一五色.

x-6x+93-xx+2

’2x-l<7①

17.（2021春•宝安区期中）解不等式组、…，并写出该不等式的整数解.

掾>x+l②

2

18.（2021春♦河源期末）先化简：（史工-1）.一厂也.,然后从0,2,3中选择一个合

a-2a2-4a+4

适的数代入求值.

2

19.（2021•张家界模拟）先化简，再求值：（旦-a+1）4.其中。从-3,-2,

a+1a2+2a+l

-1中取一个你认为合适的数代入求值.

20.（2021春•福田区校级期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个的单位长

度，△ABC的顶点都在格点上.

（1）画出ABC先向右平移6格，再向上平移1格所得的△A5C'；

（2）请以点8为坐标原点，建立平面直角坐标系（在图中画出），然后分别写出点4、

B'、C的坐标.

（3）求△ABC的面积.

21.（2021春•罗湖区校级期末）某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于

泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消

毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品

牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元.

(1)甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？

(2)该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超

过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半.试问：该

公司有哪几种购买方案？哪种方案花费资金最少？

22.(2021春•龙岗区期中)如图1,在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A

(6,0)、B(0,2)两点，动点C在线段OA上，将线段C8绕着点C顺时针旋转90°

得到C£>,此时点。恰好落在直线AB上时，过点。作。轴于点E.

(1)求证：△BOgACED；

(2)求经过小8两点的一次函数表达式.如图2,将△BCO沿龙轴正方向平移得AB'

CD',当直线夕C经过点。时，求点。的坐标及AB'C'D'的面积；

(3)在x轴上是否存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,

请W写出P点的坐标.

图1图2

2021-2022学年下学期深圳初中数学八年级期中典型试卷2

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2021春•泌阳县期末）2021年3月，华为在深圳发布《华为创新和知识产权白皮书2020》,

华为对遵循5G标准的单台手机专利许可费不高于2.5美元，则下面表示专利许可费x的

不等关系正确的是（）

A.x>2.5B.x<2.5C.xW2.5D.x22.5

【考点】不等式的定义.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识.

【分析】不高于即是小于等于，列出不等式即可.

【解答】解：•.•专利许可费不高于2.5美元，

二专利许可费xW2.5.

故选：C.

【点评】本题考查不等式的应用，题目较容易，解题关键是理解“不高于”的意义是小

于等于.

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：

A：是轴对称图形，而不是中心对称图形；

B、C：两者都不是；

D：既是中心对称图形，又是轴对称图形.

故选：D.

【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念.

轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的部分可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后会与原图重合.

3.（2021春•丰台区校级期末）不等式组（2X+6>0①

的解集在数轴上可表示为（）

x-4＜。②

A.

B.

C.

D.

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式①，得：x>-3,

解不等式②，得：x<4,

则不等式组的解集为-3<x<4,

故选：C.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

4.（2010•通化）用反证法证明命题”三角形中必有一个内角小于或等于60°”时:首先应

假设这个三角形中（）

A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°

C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°

【考点】反证法.

【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可.

【解答】解：用反证法证明"三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三

角形中每一个内角都不小于或等于60°,即都大于60°.

故选：C.

【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.

反证法的步骤是：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设不成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的

情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

5.（2021•湖里区校级二模）下列说法：

①真命题的逆命题一定是真命题；

②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；

③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；

④用反证法证明命题”三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设''这个

三角形中每一个内角都大于60°

其中，正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理；反证法；三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；

等腰三角形的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】根据逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、反证法

的一般步骤判断即可.

【解答】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命

题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题说法错误；

②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误；

③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，本小题说

法正确；

④用反证法证明命题”三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个

三角形中每一个内角都大于60°”，本小题说法正确；

故选：B.

【点评】本题考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等腰三角

形的三线合一、线段垂直平分线的性质、反证法的应用是解题的关键.

6.（2021春•龙华区期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点A（1,3）,B

（2,1）.将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（-2,0）,则点B

的对应点⑶的坐标为（

【考点】坐标与图形变化-平移.

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；应用意识.

【分析】利用图象法解决问题即可.

【解答】解：观察图象可知，8'（-1,-2）,

故选:A.

【点评】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

7.（2021春•榆阳区期末）如图，/C=/D=90°,添加下列条件：®AC=AD；②NA8C

=ZABD-,③BC=BD,其中能判定Rt^ABC与RtZ\AB。全等的条件的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【考点】直角三角形全等的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论.

【解答】解：①当AC=A。时，由/C=N£>=90°,AC=A。且AB=AB,可得Rt/XABC

^RtAABD（HL）；

②当时，由NC=NQ=90°,ZABC=ZABDKAB=AB,可得RtZkABC

(4AS)；

③当BC=B。时，由NC=NO=90°,BC=BDitAB=AB,可得RtZ\A8CgRtZ^AB£>

（HL）；

故选：D.

【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般

三角形全等的判定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为公理

就是直角三角形独有的判定方法.

8.（2021春•招远市期末）在△48C中，AB^BC,两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，

它们一组较短的直角边分别在AB,8C上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P,BP

交边AC于点。，则下列结论错误的是（）

A.AB=2ADB.8尸平分/48C

C.BO垂直平分ACD.AD=DC

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】先根据角平分线的判定定理得到8P平分NA8C,再根据等腰三角形三线合一的

性质得到4。=。。80垂直平分AC,进而求解即可求解.

【解答】解：如图.

由题意得，PE±AB,PF1BC,PE=PF,

：.BP平分NABC,

'：AB=BC,

：.AD=DC,BO垂直平分AC,

故选项B、C、。正确，不符合题意;

只有当△A8C是等边三角形时，才能得出AB=2AO,

故选项A错误，符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的判定，掌握等腰三角形的性质及到

角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键.

9.(2020春•东台市期中)248-1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是()

A.61和63B.63和65C.65和67D.64和67

【考点】因式分解的应用.

【专题】转化思想；数据分析观念.

【分析】248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(2|2+1)(212-1)=(224+1)(212+1)

(26+1)(26-1)=(224+1)(2|2+1)(26+1)(23+1)(23-1),即可求解.

【解答】解:248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)

=(224+1)(2|2+1)(26+1)(26-1)

=(224+1)(2I2+1)X65X63,

故选：B”

【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键.

10.(2021春•清苑区期末)如图，在aABC中，AB=AC,ZB=30°，点。、E分别为AB、

AC上的点，1.DE//BC.将绕点A逆时针旋转至点8、A、E在同一条直线上，

连接BD、EC.下列结论：①△ADE的旋转角为120°®BD=EC®BE=AD+AC®DE

1AC,其中正确的有()

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；

推理能力.

【分析】由AB=AC,NB=30°,得出NB=NC=30°,N8AC=120°,得出将

绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△AOE的旋转角为60°,故①错误；

由DE〃BC,易证AO=AE,得出80=EC,故②正确；BE=AE+AB=AD+AC,故③正

确；证明ND4C=NEAC,由AO=AE,得出。ELAC,故④正确；即可得出结果.

【解答】解：/B=30°,

.•./B=/C=30°,/8AC=120°,

...将△4OE绕点4逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△49E的旋转角为180°

-120°=60°,故①错误；

'：DE//BC,

：.NADE=NB,NAEQ=NC,

二ZADE=NAED,

：.AD=AE,

：.BD=EC,故②正确；

BE=AE+AB=AD+AC,故③正确；

'：ZBAC=ZDAE=\20°,

AZEAC=180°-/BAC=180°-120°=60°,ZDAC=\20°-ZEAC=120°-

60°=60°,

二N£»AC=NEAC,

'：AD=AE,

：.DE±AC,故④正确；

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟

练掌握旋转的性质与等腰三角形的性质是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2021•桂林模拟）分解因式：J+3a=〃Q+3）.

【考点】因式分解-提公因式法.

【专题】整式；符号意识.

【分析】直接找出公因式”，进而提取公因式得出答案.

【解答】解：a^+3a=a（a+3）.

故答案为：a（a+3）.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

12.（2021秋•诸暨市期中）等腰三角形的一个内角为70°,则这个等腰三角形的顶角为

70°或40°

【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理.

【专题】分类讨论；三角形；运算能力.

【分析】首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所

以要分两种情况进行讨论.

【解答】解：本题分两种情况，

①当70°角为顶角时，顶角的度数为70°,

②当70°角为底角时，顶角的度数为180°-2X70°=40°；

二这个等腰三角形的顶角为40°或70°.

故答案为：70°或40°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底

角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

13.（2007•荔湾区一模）如图，在△4BC中，BC=Scm,A8的垂直平分线交AB于点。，

交边AC于点E,△BCE的周长等于18c,”，则AC的长等于于

------------七

【考点】线段垂直平分线的性质.

【分析】由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE=BE,再利用给出的周长即可求

出AC的长.

【解答】解：「AB的垂直平分线交AB于点。

：.AE=BE

：.AE+CE=BE+CE

•.,△BCE的周长等于18c〃?，BC=8ctn

：.BE+CE+BC=\8,

：.AE+CE+BC=]S,

；.AC+BC=18,

；.AC+8=18,

：.AC=\Ocm

故答案为：10.

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；进行线段的等量代换后得到AE+CE=

BE+CE是正确解答本题的关键.

14.（2021春•罗湖区期中）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C

含量及购买这两种原料的价格如下表：

甲种原料乙种原料

维生素C含量（单位/千克）600100

原料价格（元/千克）84

现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C,若所需甲种原料的质量

为x千克，则x应满足的不等式为600x+100（10-x）24200.

【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式.

【分析】首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合

表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式.

【解答】解：若所需甲种原料的质量为xkg,则需乙种原料（10-x）kg.

根据题意，得600x+100（10-x）24200.

故答案为：600^+100（10-x）>4200.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是仔细审

题，建立数学模型，将实际问题转变为数学问题求解.

15.（2020•浙江自主招生）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作

于E,。为BC延长线上一点，当B4=C。时，连接PQ交AC边于D,则DE的长为一

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形.

【专题】三角形.

【分析】过尸作尸尸〃3c交AC于F,得出等边三角形APF,推出AP=PF=QC,根据

等腰三角形性质求出EF=AE,证丝△QCQ,推出FD=CD,推出DE=^AC即

2

可.

【解答】解：过P作PF〃BC交AC于凡

•JPF//BC,ZXABC是等边三角形，

:"PFD=NQCD,/APB=NB=60°,ZAFP-ZACB=60°,ZA=60°,

...△AP尸是等边三角形，

：.AP=PF=AF,

PELAC,

：.AE^EF,

'：AP=PF,AP=CQ,

：.PF=CQ,

在△PFD和△QCD中

，ZPFD=ZQCD

<NPDF=NCDQ，

PF=CQ

：.4PFD迫丛QCD(A4S),

:.FD=CD,

"：AE=EF,

：.EF+FD=AE+CD,

:.AE+CD^DE=1AC,

2

：AC=3,

.•.OE=2,

2

故答案为3.

2

【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三

角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键,

通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中.

三.解答题（共7小题）

16.（2021春•龙华区期中）计算：一代_三2.

X2-6X+93-xx+2

【考点】分式的乘除法.

【专题】计算题.

【分析】与整式乘除法混合运算一样，分式乘除法混合运算也是统一为乘法运算，然后

利用分式乘法法则进行计算.

【解答】解：x+2

x-6x+93-xx+2

=x+2.（3-x）g

（x-3）2x+2

=-].

【点评】本题主要考查分式的乘除法，把除法运算统一为乘法运算，然后进行约分化简.

‘2x7<7①

17.（2021春•宝安区期中）解不等式组、>，并写出该不等式的整数解.

号>x+l②

【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出整数解即可.

%-1<7①

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：x23,

所以不等式组的解集是3Wx<4,

所以不等式组的整数解是3.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求

出不等式组的解集是解此题的关键.

2

18.（2021春•河源期末）先化简：（史2-1）2a-,然后从0,2,3中选择一个合

a-2a-4a+4

适的数代入求值.

【考点】分式的化简求值.

【专题】运算能力.

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的X的值代入进行计

算即可.

【解答】解：原式=m+a(a-2)

J2

a-2a-2(a-2)

-—--3--■--a---2

a-2a

_3

a

,・7=0,〃=2时，原式没有意义，

.,.当4=3时，原式=3=1.

3

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

2

19.(2021•张家界模拟)先化简，再求值：(2-a+1)4—,其中a从-3,-2,

a+1a2+2a+l

-1中取一个你认为合适的数代入求值.

【考点】分式的化简求值.

【专题】分式；运算能力.

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-3,-2,-1中选一个

使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题.

【解答］解：(2-4+1)+：,

a+1a2+2a+l

=3-(a-1)(a+1)'(a+1)2

a+1'(a+2)(a-2)

—3~+1.___a+1____

~’(a+2)(a-2)

=(2+a)(2-a)(a+1)

(a+2)(a-2)

=-((a+1)

=-n-1,

,/(a+2)(Q-2)WO,a+1WO,

，a±±2,aW-1,

••d~~-3,

当〃=-3时，原式=-(-3)-1=3-1=2.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

20.(2021春•福田区校级期中)如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个的单位长

度，△ABC的顶点都在格点上.

(1)画出A8C先向右平移6格，再向上平移1格所得的△A5C'；

(2)请以点8为坐标原点，建立平面直角坐标系(在图中画出)，然后分别写出点A、

8'、C'的坐标.

(3)求△ABC的面积.

【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力.

【分析】(1)根据平移的性质即可画出A3C先向右平移6格，再向上平移1格所得的4

A'B'C'；

(2)以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可写出点4、B，、C'的坐标；

(3)根据网格即可求△ABC的面积.

点A'、B'、C的坐标分别为：A'(2,3)、B'(6,1)、C(7,4)；

(3)AABC的面积为：3X5-Lx2X4-LxlX5-LxlX3=7.

222

【点评】本题考查了作图-平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质.

21.(2021春•罗湖区校级期末)某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于

泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消

毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品

牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元.

（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？

（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超

过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半.试问：该

公司有哪几种购买方案？哪种方案花费资金最少？

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】（1）设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为x元，y元，由“若购进甲品牌消毒液

20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒

液10瓶，共需资金800元”，可列出二元一次方程组，即可解答；

（2）设购进甲品牌的消毒液a瓶，则购进乙品牌的消毒液（50-“）瓶，根据体重“不

超过”，“不少于”列出一元一次不等式方程组，求出a的取值范围；设购买消毒液共花

费W元，用a表示出M结合一次函数求解即可.

【解答】解：（1）设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为x元，y元，

由题意可得，（2°x+10y=1300,解得卜=50

I10x+10y=800ly=30

二甲品牌的消毒液的单价为50元，乙品牌的消毒液的单价为30元.

（2）设购进甲品牌的消毒液。瓶，则购进乙品牌的消毒液（50-a）瓶，

'50a+30（50-a）<1900

由题意可得，|、1,、，

（50-a）

解得a42O

Va为正整数，

可取17,18,19,20,

设购买消毒液共花费W元，

贝ijW=50a+30（50-a）=2067+1500,

V20>0,

随a的增大而增大，

.•.当a=17时，W的值最小，最省钱为1840元,

此时50-。=33（个）,

...共有4种方案，其中最省钱的方案是购进甲品牌的消毒液17瓶，则购进乙品牌的消毒

液33瓶.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键

是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准关系，正确列出一元一次

不等式组.

22.（2021春•龙岗区期中）如图1,在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A

（6,0）、B（0,2）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°

得到C£>,此时点。恰好落在直线A8上时，过点。作。轴于点E.

（1）求证：

（2）求经过A、8两点的一次函数表达式.如图2,将△BCQ沿x轴正方向平移得^夕

C'D',当直线B'C经过点。时，求点。的坐标及CD'的面积；

（3）在x轴上是否存在点P,使得以C、。、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,

【专题】代数几何综合题；分类讨论；图形的全等；数据分析观念.

【分析】（1）由“A4S”即可证明RtZXBOC丝RtZ\CE£>；

（2）由CD'的面积=的面积=S机形BOE。-2sABCO，即可求解;

（3）分PC=PD、PC=CD、PC=C£）三种情况，分别求解即可.

【解答】解：（1）.；NBOC=NBCD=NCED=90°,

：.ZOCB+ZDCE=90°,NDCE+NCDE=90°,

:.NBCO=NCDE,

•；BC=CD,

/.RtABOC^RtACED(A4S)；

(2)设直线AB解析式为把A(6,0)、B(0,2)代入上式得［°=6k+b,解

lb=2

得|K3，

b=2

故直线AB的解析式为y=-L+2,

3

•.•由△BOC丝CEO得：CO=DE,设CO=DE=m,

而OB=CE=2,

:.D(〃z+2,m)

..,点。在直线y=-L+2上，把。(m+2,m)代入上式并解得zn=l,

3

：.D(3,1),点。(1,0),

△B'C'D'的面积=Z\BC。的面积=S梯形BOED-2SABCO=^X(1+2)X3-2X工X2

22

X1=2.5；

(3)存在，理由：

设点P的坐标为(t,0),

而点C、。的坐标分别为(1,0)、(3,1),

222

由点P、C、力的坐标得：pd=(f-1)2,尸炉=(f-3)+1,CD=2+1=5,

当PC=P£>时，则(L1)2=(?-3)2+1,解得r=9,

4

当PC=CDH寸，则(/-1)2=5,解得：t=l土爬,

当尸£>=CD时，则(/-3)2+1=5,解得f=l(舍去)或5,

故点P的坐标为(且，0)或(1+旄，0)或(1-遥，0)或(5,0).

4

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、

三角形全等、面积的计算等，其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

考点卡片

1.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具体方法：

（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的

相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的.

（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为

正数.

提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

3、口诀：找准公因式，一次要提净：全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

4、提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因

式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，

求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

2.因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题.

2、利用因式分解解决证明问题.

3、利用因式分解简化计算问题.

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用

解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代

入.

2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是

其中的一部分.

3.分式的乘除法

（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.

（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.

（4）分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式

的乘除运算，即“先乘方，再乘除”.

（5）规律方法总结：

①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因

式分解，再约分.

②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.

③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺

序进行运算，切不可打乱这个运算顺序.

4.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时;有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

5.二元一次方程组的应用

（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

6.不等式的定义

（1）不等式的概念：用“〉”或号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“六”号

表示不等关系的式子也是不等式.

（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.常用的不等号有“V”、">"、“W"、“》”、

“W”.另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数.

7.在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，

若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右

【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为x>a,其验证方法可以先将。代入原不等式，则两边相等，其

次在的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.

8.由实际问题抽象出一元一次不等式

用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、

是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号.

因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系.

9.解一元一次不等式组

（1）-■元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

10.一元一次不等式组的整数解

（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）.

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的

限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

（2）已知解集（整数解）求字母的取值.

一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根

据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.

11.一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解.

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

（1）分析题意，找出不等关系；

（2）设未知数，列出不等式组；

（3）解不等式组；

（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；

（5）作答.

12.一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前

面范围内的前提下求出最值.

（3）用函数图象解决实际问题

从己知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

13.三角形的角平分线、中线和高

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点

间的线段叫做三角形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直

角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形

外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点.

14.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,

用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

15.直角三角形全等的判定

1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角

形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所

以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

16.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

17.线段垂直平分