2021北京高三数学上学期期末汇编：立体几何(一)

2021北京高三数学上学期期末汇编：立体几何

选择题（共9小题）

1.（2020秋•东城区期末）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为（）

2.（2020秋•顺义区期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

112

A.-B.-C.1D.-

363

3.（2020秋•房山区期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）

俯视图

1/25

A-IB.4D.8

4.（2020秋•丰台区期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.8+2近B.11+2返C.11+26D.14+2播

5.（2020秋•海淀区期末）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）

3

4正（主）视图侧"（左）视图

俯视图

A.2B.4C.6D.12

6.（2020秋•昌平区期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.4B.5C.472D.国

7.（2020秋•海淀区校级期末）如图，是。。的直径，尸4垂直于。。所在平面，C是圆周上不同于4,B两点

的任意一点，且N5=2,PA=BC=y/3,则二面角4-8C-尸的大小为（）

2/25

8.（2020秋•石景山区期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

口q

r21।厂+-j,1

正（主）视图侧（左）视图

A.-B.-C.-D.2

633

9.（2020秋•通州区期末）如图，等腰直角A/18C中，AC=BC=2，点P为平面45C外一动点，满足尸8=48,

ZPBA=-,给出下列四个结论：

2

①存在点P,使得平面尸/CJ,平面P8C；

②存在点尸，使得平面PAC1平面PAB；

③设AP/C的面积为S,则S的取值范围是（0,4］：

④设二面角/-尸8-C的大小为a，则a的取值范围是（0,生］.

4

其中正确结论是（）

一

C

A.①③B.①④C.②③D.②④

二.填空题（共1小题）

3/25

10.（2020秋•西城区期末）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为.

正住）视图侧（左）视图

俯视图

三.解答题（共9小题）

11.（2020秋•通州区期末）如图，四棱柱48cQi中，底面为矩形，0Al平面,E,尸分

别是84，OG的中点，DA=1,DC=DDt=2.

（I）求证：EF"平面4BCD；

（ID求直线。G与平面口。所成角的正弦值.

12.（2020秋•东城区期末）如图，在四棱锥尸-N8C。中，尸。_1,平面48。＞,PD=4,底面488是边长为2的

正方形，E,尸分别为PB,尸C的中点.

（I）求证：平面ZOE_1.平面PC。；

（II）求直线8尸与平面所成角的正弦值.

13.（2020秋•海淀区校级期末）如图，在四面体ABCD中，E,F,M分别是线段BD,4C的中点,

AABD=ZBCD=90°,EC=&,AB=BD=2.

4/25

(I)证明：EM"平面BCD；

(II)证明：EF_L平面8。；

(III)若直线EC与平面48c所成的角等于30。，求二面角/-CE-8的余弦值.

14.(2020秋•顺义区期末)在三棱柱/8C-481G中，Cq_L平面NBC,AB1AC,AB=AC=AAt,E是4G的

中点.

(I)求证：ABICE；

(II)求二面角8-CE-1的余弦值.

15.(2020秋•房山区期末)如图，在四棱锥尸-/8C£>中，ABAD=90°,AD/IBC,PALAD,PAYAB,

PA=AB=BC=-AD=2.

2

(1)求证：8C//平面P4D；

(II)求平面P/8与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

16.(2020秋•西城区期末)如图，在直三棱柱/BC-481G中，AB=AC=2,14=4,AB1AC,BE工偿交

于点E,。为CG的中点.

(I)求证：8E_L平面ABtC；

5/25

(II)求二面角c-/q的余弦值.

17.(2020秋•朝阳区期末)如图，在四棱锥P-Z8cD中，底面X8CZ)为菱形，平面尸4。_L平面/8CD,PALPD,

PA=PD,ZBAD=-,£是线段的中点，连结8E.

3

(I)求证：BE工PA；

(II)求二面角/-PO-C的余弦值；

PP

(III)在线段尸8上是否存在点尸，使得EE//平面尸8?若存在，求出2的值；若不存在，说明理由.

PB

18.(2020秋•丰台区期末)如图，在三棱柱Z8C-/4G中，侧面/和8CG4都是正方形，平面48片4,平

面BCC、B、,D,E分别为BB-AC的中点.

(I)求证：3E//平面48；

(II)求直线8万与平面4。。所成角的正弦值.

19.(2020秋•昌平区期末)如图，在四棱锥尸-/8CO中，PD_L平面，AB//CD,ADLCD,且

AD=CD=PD=2AB=2.

6/25

(I)求证：/8_L平面尸/O；

(11)求二面角尸-8C-4的余弦值.

7/25

2021北京高三数学上学期期末汇编：立体几何

参考答案

选择题（共9小题）

1.【分析】将几何体补充为正方体，结合图形得出该几何体的侧（左）视图.

【解答】解：将几何体补充为正方体，如图1所示：

图1

则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左）视图如图2所示:

图2

故选：B.

【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了直观想象能力，是基础题.

2.【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.

【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是长方体的一个角，所以几何体的体积为：lx」xlxlx2=L

323

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，是基础题.

3.【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积.

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为友的正方形，高为2的四棱锥体;

8/25

如图所示:

所以JZ=，X&X血x2=±

33

【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于基础题.

4.【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积.

【解答】解：根据三视图转换为直观图为：该几何体为四棱柱体.

所以S表=2x；x(l+2)xl+2x2+2xl+2xl+2x&=11+23.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查

学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

5.【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积.

【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的顶点为正方体的顶点，

其直观图如图所示：

9/25

32

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查运算能力,

属于基础题.

6.【分析】作出棱锥的直观图，根据勾股定理计算各棱长得出结论.

【解答】解：作出三棱锥的直观图如图所示：

三棱锥是长方体的一个角，

且ZC=4,BA=3,AD=4,

DC=472,BC=5,BD=5.

该三棱锥的最长棱的棱长为40.

【点评】本题考查了常见几何体的三视图，棱锥的结构特征，属于中档题.

7.【分析】以“为原点，在平面内过/作4c的垂线为x轴，/C为y轴，4尸为z轴，建立空间直角坐标系,

利用向量法能求出二面角4-5C-尸的大小.

【解答】解：,.•/8是0。的直径，尸/垂直于0。所在平面，C是圆周上不同于8两点的任意一点，

且”=2,PA=BC<,

ACLBC,ACAAB。-BC。=J4-3=1,

以N为原点，在平面/8C内过/作AC的垂线为x轴，/C为y轴，4P为z轴，建立空间直角坐标系，

尸（0,0,百），8（百，1,0）,C（0,1,0）,

10/25

丽=(0,1,-0)，PC=(O,1,-扬,

设平面尸8C的法向量方=(x,y,z),

n»PB=下>x+y-Viz=0

则,取z=l,得万=(0,6，1),

n-PC=y->/3z=0

平面/8C的法向量比=(0,0,1),

设二面角4-BC-P的平面角为6,

则cos”叵包

0=60°,

|m|.|n|2

二面角A-BC-P的大小为60°,

故选：C.

【点评】本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理

论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题.

8.【分析】棱锥的底面积为俯视图三角形的面积，棱锥的高为1,代入体积公式计算即可.

【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥的底面为俯视图三角形，面积为5=-x2x2=2,棱锥的高h=\,

2

117

棱锥的体积展—S〃=-x2xl=—.

333

故选：C.

【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，属于基础题.

9.【分析】①根据面面垂直的判定定理进行判断，

②根据面面垂直的判定定理进行判断，

③根据三角形的面积公式进行判断，

④根据二面角的定义进行求解即可.

11/25

【解答】解：①当P818c时，又PBL4B,BC^AB=B,所以尸8_L平面Z8C,所以P8_L4ZC,

又NC18C,PB[yBC=B,

所4C_L平面P8C,又力Cu平面以C,所以平面P/CJ_平面P8C,故①正确；

②取4P的中点M,连接8A1,CM,因为PB=4B,所以MB14P,假设平面尸/CJ.平面PN3,则M8_L平

面尸ZC,

则A"JLCN,而SA/=8C=2,NBMC*90°,不成立，故②错误；

③因为力尸=所以

4,AC=2,S4P“=；ZP-/CsinNP/C=4sinNP/C,

当点尸在A48c平面上，且C,P在4,8的异侧，

NP4c=90。,当C,P在4,8的同侧时，A,C,尸共线，NP4c=0。，

因为点P为平面N8C外，则S的取值范围是（0,4）,故③错误；

④因为N/8C=45。，当点尸在平面N8C内时，a=0,当点尸运动时，设点/到平面P8C的距离为〃，

因为尸则4江=也，则a的取值范围是（0,-],故④正确，

ABAB24

故正确的是①④，

故选：B.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间面面垂直的判断，二面角的求解，利用相应的判定定理以及

公式是解决本题的关键，是中档题.

填空题（共1小题）

10•【分析】首先把三视图和直观图形之间进行转换，进一步求出几何体的棱长.

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；

如图所示：

12/25

所以Z8=2,BC=CD=2,BD=y/22+22=272,/£>=J(2夜>+22=26,

所以最长的棱长为26.

故答案为：26.

【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的运算，主要考查学生的运算能

力和转换能力及思维能力，属于基础题.

三.解答题(共9小题)

11.【分析】(I)取8的中点G,连接FG,BG可得四边形FG8E是平行四边形.EF//BG.即可证明结论.

(II)以点。为坐标原点，分别以直线DC,DD、为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-砂z.求得平面

区4。的法向量，利用向量夹角公式求解.

【解答】解：(1)证明：取C。的中点G,连接尸G,BG

因为尸是。G的中点，所以EG//CG，=

因为E是84的中点，所以E8//CC，BE=；CC-

所以FG//BE,GF=BE.

所以四边形FG8E是平行四边形.

所以EF//BG.

因为跖C平面/BCD,8Gu平面48。。，

所以EF//平面ABCD.

(H)因为底面N8C。为矩形，OZ)1_L平面Z8CQ,

所以ON_LDC,DDt1DA,DD,1DC,

以点。为坐标原点，分别以直线。/,DC,DD、为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-个.

因为。Z=l,DC=DD,=2,

13/25

所以。(0,0,0),4(1,0,0),£(1,2,1),G(0，2,2).

所以刀=(1,0,0),DE(1,2,1),西=(0,2,2).

设平面£4。的法向量为方=(x,y,z),

所以，.竺°即厂=。令y=l,则z=-2.

ii-DE=0[x+2y+z=0'

所以力=(0,1,-2).

____?Jio

所以cos<DC.f为>=—产—产=------»

272x7510

所以直线DC、与平面EAD所成角的正弦值画.

【点评】本题考查了空间线面平行的判定、线面角的求解，考查了计算能力，属于中档题.

12.【分析】（I）利用直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理进行分析证明即可；

（0）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，将直线与平面

所成的角转化为两个向量的夹角进行求解即可.

【解答】（I）证明：因为PZ）_L平面Z8C。，

所以「OJL/。，

因为底面488是正方形，

所以，

因为，

所以/£）_L平面尸C。，

又ZDu平面ADE,

所以平面ADEI平面PCD；

（II）解：因为平面/BCD,

所以PO1ZQ,PDLCD,

14/25

因为底面/BCD是正方形，

所以4D_LC£),

如图建立空间直角坐标系。-中z,

因为尸。=4,底面NBCD是边长为2的正方形，

所以尸(0,0,4),A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),。(0,0,0),£(1,1,2),F(0,1,2),

则DA=(2,0,0),DE=(1,1,2),旃=(-2,-1,2),

设平面NOE的法向量为所=(x,y,z),

.4,[in-DA=Q„[2x=0

则有《一，可得《、八，

m-DE=0[x+y+2z=0

所以方=(0,2,-1),

设直线BF与平面ADE所成的角为0,

ij|||-nI-IIBF-m|44小

贝!Jsin0=cos<BF,m>\=^-=----=-==—产=----,

\BF\\m\V9xV515

所以直线8F与平面/DE所成角的正弦值为售.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理的应用，用向量

法求解空间角时，关键是建立合适的空间直角坐标系，准确求出所需点的坐标.

13.【分析】(I)由中位线的性质知EM//C。，再由线面平行的判定定理，得证；

(II)由中位线的性质知EF//N8,EF=\,从而有EF工BD,再结合直角三角形的性质和勾股定理的逆定理

可得EFLCF,然后由线面垂直的判定定理，得证；

(III)由(II)中的平面BCD,推出4BJLC。，再利用线面垂直的判定定理可得CO_L平面/8C,从而

有平面/8C,于是N4CE=30。，然后可证明A8C。是等腰直角三角形，故以8为原点建立空间直角坐标

系，求得平面ZCE和平面3CE的法向量而与万，由cos〈玩，后＞=,得解.

【解答】(1)证明：M分别是线段AD,/C的中点，.1EM//C。，

又EMU平面BCD,CDu平面8cQ,

15/25

EM//平面BCD.

(II)证明：尸分别是线段力。，8。的中点，尸//ZB,EF=-AB=\,

2

■：ZABD=9Q°,即N8J.8。，EF1.BD,

•••ZBCD=90°,F为8。的中点，:.CF=-BD=\,

2

EC=42,:.EC2=EF2+CF2,BPEFLCF,

又尸=F,BD、CFu平面8C£),

EF1平面BCD.

(Ill)由(II)知，后尸_1平面88,

EF11AB,AB1平面BCD,AB1CD,

■：ZBCD=90°,即BCJLCD,且48nBe=8,AB、8Cu平面/IBC,

：.CD1平面ABC,

EM//CD,EM1平面ABC,

ZACE为直线EC与平面ABC所成的角，即ZACE=30°,

•rCA1,平面/8C,CD1AC,

为ZO的中点，=即A4CE是底角为30。的等腰三角形，

2

­.•EC=y/2,AC=y/6,BC=>]AC2-AB2=76^4=72,

•/BD=2,NBCD=90°,

.•.△^。。是等腰直角三角形，；.。7，^。，

以B为原点，BD,8/所在直线分别为y,z轴，在平面8C。内作8x//CF,建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(0,0,0),4(0,0,2),E(0,1,1),C(1,1,0),

CE=(-1,0,1),AC=(1,1,-2),BC=(1,1,0),

16/25

FT-.a.u-KI»r,,in-CE=0f-x+z=0

设平面NCE的法向量为所=(x,y,z),贝lj4_,即/

m-AC=O[x+y-2z=0

令z=l,则x=l,y=\,w=(1,1,1),

同理可得，平面8CE的法向量为万=（1,-1,1）,

inn_1-1+1_1

/.cos<m

‘一|行|.|万广6x0-5

由图可知，二面角Z-CE-8为锐角,

故二面角/-CE-8的余弦值为』.

3

【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理

或性质定理，理解线面角的定义，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、

逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

14.【分析】（I）证明C01Z8,结合/8J./C,推出平面44CC，然后证明N8J.CE.

（H）说明AC,两两垂直.以4为原点，建立空间直角坐标系kz,求出平面8CE的法向量，

平面8CE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角8-CE-4的余弦值即可.

【解答】（I）证明：因为CG，平面N8C,

所以CG-----------------------（2分）

又A8J_ZC,/4Cp|CC,=C,ZCu平面CQu平面,

所以48,平面44CC.（4分）

因为CEu平面44CC，

所以48_LCE.-----------------------（5分）

（II）解:在三棱柱NBC-481G中，CCxUAAl,

因为由CG_L平面48C,

所以_L平面48C.

所以N8,AC,两两垂直.

如图，以N为原点，建立空间直角坐标系/-孙z,----------------（6分）

17/25

所以/(O,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,2).

设平面BCE的法向量为否=(x,y,z),

因为就=(一2,2,0),方=(0,-1,2),

所以度.万=°.即r2x+2尸。.

CE-n=O[_y+2z=0

令z=l,则x=2,y=2.

所以平面3CE的一个法向量为弁=(2,2,1).--------------------------------------------(9分)

因为平面AA.QC,

所以平面4CE的一个法向量为万=(2,0,0).---------------------------------------(10分)

—.~AB-n2

LUcos<AB,h>=-----=—.---------------------------------------------------------------------(13分)

\AB^\3

所以二面角B-CE-Z的余弦值为2.

3

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理

能力，以及计算能力，是中档题.

15.【分析】（I）解法1.通过8C//NO,直接利用直线与平面平行的判定定理证明8C//平面R4D.

解法2.以N为坐标原点，AB,AD,/P所在直线分别为x轴、了轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系/-口z,

求出平面尸/O的法向量为f,利用，•而=0,证明8C//平面P4D.

18/25

(II)以N为坐标原点，AB,AD,NP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系/-型，

求出平面R48的法向量，平面PC。的法向量，利用空间向量的数量积求解平面尸与平面PC。所成角的余弦

值即可.

【解答】(I)证明：

解法1.因为8C//4O,平面尸/D,/£)u平面产/。，

所以8C//平面尸4。.....................(4分)

解法2.

因为P/A./D,PA1AB,ADLAB,

所以以Z为坐标原点，AB,AD,NP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系/-型，

则4(0,0,0),5(2,0,0),0(0,4,0),尸(0,0,2),C(2,2,0)...............(1分)

平面P/0的法向量为7=(1,0,0).........................(2分)

元=(0,2,0).........................(3分)

因为，胫=0xl+2x0+0x0=0.........................(4分)

5C<t平面力。，.........................(5分)

所以8C//平面PZD.

(II)解：因为PZJ./。，PALAB,ADLAB,

所以以4为坐标原点，AB,AD,4尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示空间直角坐标系/-取，

则4(0，0,0),8(2,0,0),0(0,4,0),0(0,0,2),C(2,2,0).................(5分)

所以平面尸的法向量为万=(0,1,0).................(6分)

设平面PCD的法向量为而=(x,%z),

PC=(2,2,-2),而=(0,4,-2).................(8分)

.m±PCm-PC=0（2x+2y-2z=0[x=_y,...

所CC1以1《一一.................（10分）

mlPD[m-PD=G（4y-2z=0[z=2y

令y=1得比=（1,1,2）.................（11分）

__万.而1A/6八i八、

cos<n,m>=-----=----=——...................（13分）

\ii\\m\1x766

设平面尸43与平面PC。所成角为0,。为锐角，

所以cos6=4a.................（14分）

6

19/25

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，向量法求解二面角的平面角的余弦值，考查空间想象能

力，转化思想以及计算能力.

16.【分析】（I）证明_L/C.AC1BE,结合BEJ./片，即可证明BE_L平面力8c.

（II）建立如图空间直角坐标系求出平面N8C的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的

零售价求解二面角C-AB「D的余弦值即可.

【解答】（1）证明：因为三棱柱/8C-481G为直三棱柱，所以44d.平面Z8C,

所以VAC..........（1分）

因为/C_L/8,AB[\AAX=A,所以ZC_L平面/4旦8..........(3分)

因为8Eu平面所以/C_L8E..........(4分)

因为BEJLAB、,倜=4,

所以3EJ_平面48c..........(5分)

(II)解：由(I)知,AC,AA,两两垂直，

如图建立空间直角坐标系力-平.

则4(0,0,0),4(2,0,4),£>(0,2,2),8(2,0,0)..........(7分)

设E(0,0,a),所以正=(0,2,2),葩=(2,0,4),BE=(-2,0,a),

因为福_L赤，所以4。-4=0,即0=1..........(8分)

所以平面/片。的一个法向量为屁=（-2,0,1）.（9分）

20/25

设平面Z8Q的法向量为行=(x,y,z),

所以卜,竺所以[2"2z=0,即?=-z,.........Q0分)

n-ABx=0.〔2x+4z=0.[x=-2z.

令l=-1,贝！Jx=2,y=\,

所以平面Z8Q的一个法向量为万=(2,1,-1)...........(11分)

V30

福I”~D~C-n•BE—5

所以cos<BE,n>=--_=-7=—尸(12分)

\n\\BE\瓜•亚—

由已知，二面角为锐角，

所以二面角C-/用的余弦值为叵...........(13分)

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【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想

以及计算能力，是中档题.

17•【分析】(I)推导出AB=4D,BELAD,从而BE_L平面尸NO,由此能证明

(II)连结PE.则PELAD,由BE_L平面PAD,得BEJ.AD,PE1BE,设ZZ)=2a,则尸£=a.以E为

原点，EA.EB、EP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系E-肛z,利用向量法能求出二面角

A-PD-C的余弦值.

(HI)由Ee平面PCD,得到在线段PB上存在点F,使得EF//平面PCD，假设线段PB上存在点F使得EF//

平面PCD.设—=2(2e[0,1]),则'PF=XPB.求出

PB

EF=EP+PF=EP+2JPB=(0,0,a)+2(0,&,-〃)=(0,&a,a-Aa).由丽•斤=出入a-瓜a-2a)=0,推导出

当点尸是线段P8的中点时，EF//平面尸且竺=1.

PB2

【解答】解：(I)证明：因为四边形N8CD为菱形，所以/8=/。，

TT

又因为=—，E为/。的中点，所以8EJ.4D,

3

又因为平面PAD1平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,

所以8£_L平面尸力。，

因为尸/u平面P/。，所以

(II)连结PE.因为P4=PD,E为/。的中点，所以尸E1/D.

由(I)可知BE_L平面P/。，所以PE1BE.

设工。=2〃，则尸E=a.如图，以E为原点，EA、EB、E尸所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系,E-xyz.

则A(a,0,0),5(0,-j3a,0),C(-2a,y/3a,0),D(-a,0,0),P(0,0,a).

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所以反=(-a,JJa,O)，而=(a,O,a).

因为BE1平面PAD，所以丽=(0,6a,0)是平面PAD的一个法向量.

设平面PC。的法向量为五=(x,y,z),

则彳，所以＜令x=贝！ly=l,z=-逝，得万=(百,1,-6),

n-DP=ax+az=0[x=-z,

所以cos〈/EB)=〃丝==­・

由题知，二面角/-PO-C为钝角，所以二面角/-尸。-C的余弦值为-且.

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(Ill)当点F是线段尸8的中点时，EF”平面PCD.理由如下：

因为点Ee平面尸C。，所以在线段心上存在点尸，使得EF//平面产。，等价于丽•万=0.

假设线段PB上存在点F使得EF//平面PCD.

PF__―.

ig—=2(2e[0,l]),则PF=4P8.

所以砺=即+方=EP+APB=(0,0,a)+2(0,耳,-a)=(0,⑨a,a-斯).

由丽•元=JLta-6(4-%a)=0，解得2=；.

所以当点尸是线段尸8的中点时，EF"平面PCD,且工=L.

PB2

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值、满足线面平行的点的位置的确定与求法，考查空间

想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.

18.【分析】(I)取4。中点尸，连接。尸，EF,证明EF///4，BDHEF,说明四边形5EFD为平行四边形.推

出BEUDF.然后证明BE//平面&CD.

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(II)建立平面直角坐标系8-肛z.如图，求出平面4c。的法向量，设直线AE与平面48所成的角为。,

利用空间向量的数量积求解直线与平面的处境的直线函数值即可.

【解答】(I)证明：取4c中点尸，连接。尸，EF,

在△力4c中，E,尸分别是NC,4c的中点，

所以EF//44,EF=-AA..