2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2.3.2对数函数的性质与图像的应用课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE对数函数的性质与图像的应用(15分钟30分)1.已知函数f(x)=loga(x-m)的图像过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是()A.增函数 B.减函数C.奇函数 D.偶函数【解析】选A.由题意,QUOTE解得QUOTE所以f(x)=log4(x-3),所以f(x)是增函数,因为f(x)的定义域是(3,+∞),不关于原点对称.所以f(x)为非奇非偶函数.【补偿训练】已知函数f(x)=loga(x-2),若图像过点(11,2),则f(5)的值为 ()A.-1 B.1 C.-2 D.2【解析】选B.由函数图像过点(11,2),则loga(11-2)=2,解得a=3.故f(5)=log3(5-2)=1.2.已知a=21.1,b=log23,c=QUOTE,则a,b,c的大小关系为 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【解析】选A.21.1>2,QUOTE=QUOTE.又2>log23>log2QUOTE=log2QUOTE=QUOTE,所以a>b>c.3.函数f(x)=2+log6(6x+1),x∈R的值域为 ()A.(0,1] B.(0,+∞)C.[1,+∞) D.(2,+∞)【解析】选D.因为6x+1>1,所以log6(6x+1)>0,故f(x)=2+log6(6x+1)>2.4.(2024·南昌高一检测)已知函数f(x)=log2(-x2+6x+7)的值域记为集合A,函数g(x)=QUOTE的值域为B,则有()A.B⊆RA B.A⊆RBC.A⊆B D.B⊆A【解析】选D.令t=-x2+6x+7,t>0,当x=3时,tmax=-32+6×3+7=16,此时f(x)max=log216=4,所以函数f(x)=log2QUOTE的值域为:A=QUOTE.在函数g(x)=QUOTE中,可得:0≤16-x2≤16,所以函数g(x)=QUOTE的值域为:B=QUOTE,所以B⊆A.5.已知f(x)=lgQUOTE,x∈(-1,1),则函数f(x)是________函数(填奇或偶或非奇非偶).若f(a)=2,则f(-a)=________.

【解析】因为lgQUOTE=lgQUOTE,所以x∈(-1,1),且f(-x)=lgQUOTE=lgQUOTE=-lgQUOTE=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-2.答案:奇-26.函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1)在区间(a-2,a)上单调递减,则a的取值范围为________.

【解析】因为函数在区间(a-2,a)上单调递减,所以QUOTE解得1<a≤QUOTE.答案:{a|1<a≤QUOTE}(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知a<b,函数f(x)=(x-a)·(x-b)的图像如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图像可能是 ()【解析】选B.由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)单调递增,解除A、D,结合a的范围可知选B.2.已知函数y=|logQUOTEx|的定义域为QUOTE,值域为[0,1],则m的取值范围为()A.QUOTE B.QUOTEC.[1,2] D.[1,+∞)【解析】选C.作出y=|logQUOTEx|的图像(如图),可知fQUOTE=f(2)=1,由题意结合图像知:1≤m≤2.3.(2024·牡丹江高一检测)已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a=()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.内层函数为u=x2-2x+a,外层函数为y=log2u,由于内层函数u=x2-2x+a的减区间为QUOTE,增区间为QUOTE,且外层函数为增函数,所以,函数f(x)=log2QUOTE的单调递减区间为QUOTE,单调递增区间为QUOTE,所以,函数y=f(x)在x=1处取得最小值,即f(x)min=fQUOTE=log2QUOTE=2,解得a=5.【补偿训练】(2024·辛集高一检测)若-3≤QUOTEx≤-QUOTE,求f(x)=QUOTE·QUOTE的最大值和最小值.【解析】由题意,依据对数的运算性质,可得函数f(x)=QUOTE=QUOTE-3log2x+2=QUOTE-QUOTE,又-3≤QUOTEx≤-QUOTE,所以QUOTE≤log2x≤3.所以当log2x=3,即x=8时,f(x)max=fQUOTE=2;当log2x=QUOTE,即x=2QUOTE时,f(x)min=fQUOTE=-QUOTE.4.(2024·嘉兴高一检测)函数y=QUOTE(x2-3x+2)的单调递减区间为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为y=QUOTE(x2-3x+2),所以x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,令t=x2-3x+2,因为t=x2-3x+2的图像开口向上,对称轴方程为x=QUOTE,所以内函数t=x2-3x+2在QUOTE上单调递增,外函数y=QUOTEt单调递减,所以由复合函数单调性的性质可知函数y=QUOTE(x2-3x+2)的单调递减区间为QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则 ()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)在(0,10)上单调递增D.f(x)在(0,10)上单调递减【解析】选BD.由QUOTE得x∈(-10,10),故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称,又由f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),y=100-x2在(0,10)上递减,y=lgx在(0,10)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.6.关于函数f(x)=lgQUOTE(x≠0),有下列结论,其中正确的是 ()A.其图像关于y轴对称B.f(x)的最小值是lg2C.当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数D.f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞)【解析】选ABD.f(-x)=lgQUOTE=f(x),f(x)是偶函数,选项A正确;令t=QUOTE=|x|+QUOTE≥2,当且仅当|x|=1时取等号,y=lgt在(0,+∞)上单调递增,y=lgt≥lg2,所以f(x)的最小值为lg2,选项B正确;当x>0时,t=QUOTE=x+QUOTE,依据对勾函数可得,t=x+QUOTE的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),y=lgt在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,选项C错误;依据偶函数的对称性,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞),选项D正确.【补偿训练】(2024·济南高一检测)已知函数f(x)=QUOTE,则下面结论正确的有 ()A.f(x)的图像关于原点对称B.f(x)的图像关于y轴对称C.f(x)的值域为(-1,1)D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,QUOTE<0恒成立【解析】选ACD.A.f(x)=QUOTE,则f(-x)=QUOTE=QUOTE=-f(x),则f(x)的图像关于原点对称;B.计算fQUOTE=-QUOTE,fQUOTE=QUOTE≠fQUOTE,故f(x)的图像不关于y轴对称;C.f(x)=QUOTE=-1+QUOTE,令1+2x=t,t∈QUOTE,y=-1+QUOTE,易知:-1+QUOTE∈(-1,1),故f(x)的值域为(-1,1);D.f(x)=QUOTE=-1+QUOTE,在定义域上单调递减,故∀x1,x2∈R,且x1≠x2,QUOTE<0恒成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2024·运城高一检测)已知函数f(x)=log2QUOTE·log4QUOTE,x∈QUOTE,则f(x)的最小值为________.

【解析】将函数化简为:f(x)=QUOTE,设log2x=t,则y=QUOTE,因为x∈QUOTE,所以t∈QUOTE.依据二次函数的性质得到:当t=-1时,y取得最小值0,故f(x)的最小值为0.答案:08.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且fQUOTE=0,则不等式f(log4x)<0的解集是________.

【解析】由题意可知,由f(log4x)<0,得-QUOTE<log4x<QUOTE,即log4QUOTE<log4x<log4QUOTE,得QUOTE<x<2.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图像上时,点QUOTE在函数y=g(x)的图像上.(1)写出y=g(x)的解析式.(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.【解析】(1)依题意,得QUOTE则gQUOTE=QUOTElog2(x+1),故g(x)=QUOTElog2(3x+1).(2)由f(x)-g(x)=0,得log2(x+1)=QUOTElog2(3x+1),所以QUOTE解得x=0或x=1.10.设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.(2)求函数f(x)在区间[0,QUOTE]上的最小值.【解析】(1)由题意,f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,所以a=3,所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),所以QUOTE解得-3<x<3,所以f(x)的定义域是(-3,3).(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3[(3+x)(3-x)]=log3(9-x2)且x∈(-3,3),所以当x=QUOTE时,f(x)在区间[0,QUOTE]上取得最小值,f(x)min=log33=1.1.若ax>1的解集为{x|x<0}且函数y=logaQUOTE的最大值为-1,则实数a的值为()A.2 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】选B.因为ax>1=a0的解集为{x|x<0},所以0<a<1,因为y=logaQUOTE的最大值为-1,由对勾函数的性质可知,x>0时,x+QUOTE≥2,所以loga2=-1,解得a=QUOTE.2.已知函数f(x)=loga(-x2+ax-9)(a>0,a≠1).(1)当a=10时,求f(x)的值域和单调减区间;(2)若f(x)存在单调递增区间,求a的取值范围.【解析】(1)当a=10时,f(x)=log10QUOTE=lgQUOTE,设t=-x2+10x-9=-QUOTE+16,由-x2+10x-9>0,得x2-10x+9<0,得1<x<9,即函数的定义域为QUOTE,此时t=-QUOTE+16∈QUOTE,则y=lgt≤lg16,即函数的值域为