2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价二十六直线与直线平行(15分钟30分)1.空间中两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为 ()A.60° B.120°C.30° D.60°或120°【解析】选D.由定理可知,β为60°或120°.2.如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点,则下列说法正确的是 ()A.PH∥BG B.IE∥CPC.FH∥GJ D.GI∥JH【解析】选C.如图,因为E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点,所以FH∥PA,GJ∥PA,所以FH∥GJ.故C正确.3.P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB,△PBC的重心,AC=a,则DE的长为.

【解析】如图,因为D,E分别为△PAB,△PBC的重心,连接PD,PE,并延长分别交AB,BC于点M,N,则M,N分别为AB,BC的中点,所以DEQUOTEMN,MNQUOTEAC,所以DEQUOTEAC,所以DE=QUOTEa.答案:QUOTEa4.如图,已知直线a,b为异面直线,A,B,C为直线a上三点,D,E,F为直线b上三点,A′,B′,C′,D′,E′分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点.若∠A′B′C′=120°,则∠C′D′E′=.

【解析】因为A′,B′分别是AD,DB的中点,所以A′B′∥a,同理C′D′∥a,B′C′∥b,D′E′∥b,所以A′B′∥C′D′,B′C′∥D′E′.又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同,所以∠A′B′C′=∠C′D′E′,所以∠C′D′E′=120°.答案:120°5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1平行的面上的对角线有【解析】连接正方体各面上的对角线.过点D1和A点的对角线和直线AD1相交.A1B,A1C1,C1D分别与AD1是异面直线,夹角为60°,B1C,A1D和AD故只有直线BC1∥AD1.故满意条件的直线只有1条.答案:16.如图,正方形ABED,直角梯形EFGD,直角梯形ADGC,AC∥DG∥EF.且DA=DE=DG,AC=EF,EF=QUOTEDG.求证:B,F,C,G四点共面.【证明】取DG的中点M,连接AM,FM,因为EF∥DG,EF=QUOTEDG,所以EF∥DM,EF=DM.所以四边形EFMD为平行四边形,所以FM∥ED,FM=ED.因为四边形ABED为正方形,所以AB∥FM,AB=FM.所以四边形ABFM为平行四边形,所以AM∥BF.因为AC=EF=QUOTEDG,MG=QUOTEDG,AC∥DG,所以四边形ACGM为平行四边形,所以AM∥CG.所以BF∥CG,所以B,F,C,G四点共面.【补偿训练】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为AA1,BB1,CC1求证:∠MC1N=∠APB.【证明】因为N,P分别是BB1,CC1的中点,所以BNC1P,所以四边形BPC1N为平行四边形,所以C1N∥BP.同理可证C1M又∠MC1N与∠APB方向相同,所以∠MC1N=∠APB.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.过直线l外一点可以作l的平行线条数为 ()A.1 B.2 C.3 D.0或1【解析】选A.直线l和l外的一点,设此点为P确定一个平面,在这个平面内过P与l平行的直线只有一条.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D,平面CC1D1A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直【解析】选C.连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.3.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 ()A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能【解析】选D.如图可知AB,CD有相交、平行、异面三种状况.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1A.相交但不垂直 B.相交且垂直C.异面 D.平行【解析】选D.连接D1E并延长,与AD交于点M,则△MDE∽△D1A1E,因为A1所以M为AD的中点.连接BF并延长,交AD于点N,同理可得,N为AD的中点.所以M,N重合,又QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以EF∥BD1.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列结论中正确的是 ()A.在空间中,若两条直线不相交,则它们肯定平行B.平行于同一条直线的两条直线平行C.一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交D.空间中有四条直线a,b,c,d,假如a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c【解析】选BD.A错,可以异面.B正确.C错误,和另一条可以异面.D正确,由平行线的传递性可知.6.如图所示,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是 ()A.四边形MNPQ是菱形B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四边形MNPQ为矩形【解析】选BC.由条件易得MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD,MN∥AC,PQ∥AC,所以MQ∥NP,MN∥PQ,得四边形MNPQ是平行四边形,故A错误;对于B,依据空间等角定理,得∠QME=∠CBD,故B正确;对于C,由空间等角定理知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,则△BCD∽△MEQ,故C正确.没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形.【光速解题】熟识该几何模型:四边形MNPQ是平行四边形;当AC=BD时,四边形MNPQ是菱形;当AC⊥BD时,四边形MNPQ是矩形;当AC=BD,且AC⊥BD时,四边形MNPQ是正方形.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB平行的棱有条,分别是【解析】因为四棱台中两底面都是正方形,侧面ABB1A1是等腰梯形,所以AB∥CD,A1B1∥C1D1,AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故与棱AB平行的棱有CD,A1B1,C1D1答案:3CD,A1B1,C1D18.一个正方体纸盒绽开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB∥CM;②EF与MN是异面直线;③MN∥CD.以上结论中正确的序号为.

【解析】把正方体平面绽开图还原到原来的正方体,如图所示,EF与MN是异面直线.AB∥CM,MN⊥CD,只有①②正确.答案:①②四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱锥P-ABC中,G,H分别为PB,PC的中点,M,N分别为△PAB,△PAC的重心.求证:GH∥MN.【证明】如图,取PA的中点Q,连接BQ,CQ,则M,N分别在BQ,CQ上.因为M,N分别为△PAB,△PAC的重心,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,则MN∥BC.又G,H分别为PB,PC的中点,所以GH∥BC,所以GH∥MN.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1求证:(1)EF∥D1C(2)CE,D1F【证明】(1)如图,连接A1B,则EF∥A1B.又A1B∥D1C,所以EF∥D1(2)因为EF∥D1C,EF=QUOTED1C,所以D1F又D1F⊂平面AA1D1D,CE⊂平面AA1D1D∩平面ABCD=DA,所以D1F所以CE,D1F1.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是 ()A.MN≥QUOTE(AC+BD) B.MN≤QUOTE(AC+BD)C.MN=QUOTE(AC+BD) D.MN<QUOTE(AC+BD)【解析】选D.如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=QUOTEAC,NE=QUOTEBD,所以ME+NE=QUOTE(AC+BD).在△MNE中,有ME+NE>MN,所以MN<QUOTE(AC+BD).2.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G,H分别为AD′和BC′的中点,求证:四边