新课程2024高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第5讲古典概型学案含解析

PAGE第5讲古典概型[考纲解读]1.理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事务所含的基本领件数及事务发生的概率．(重点、难点)2.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲始终是高考的热点之一．预料2024年将会考查：①古典概型的基本计算；②古典概型与其他学问相结合．题型以解答题为主，也可能出选择题、填空题，与实际背景相结合，试题难度中等.1．基本领件的特点(1)任何两个基本领件都是eq\o(□,\s\up3(01))互斥的．(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成eq\o(□,\s\up3(02))基本领件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中全部可能出现的基本领件eq\o(□,\s\up3(01))只有有限个．(2)等可能性：每个基本领件出现的可能性eq\o(□,\s\up3(02))相等．3．假如一次试验中可能出现的结果有n个，而且全部结果出现的可能性都相等，那么每一个基本领件的概率都是eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(1,n)；假如某个事务A包括的结果有m个，那么事务A的概率P(A)＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数).1．概念辨析(1)在一次试验中，其基本领件的发生肯定是等可能的.()(2)“在相宜条件下，种下一粒种子视察它是否发芽”属于古典概型，其基本领件是“发芽与不发芽”．()(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事务．()(4)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之和是7的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案A解析记抛掷两枚骰子向上的点数分别为a，b，则可得到数组(a，b)共有36组，其中满意a＋b＝7的共有6组，分别为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率为P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)答案A解析从1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12种等可能发生的结果，其中大于30的两位数有31,32,34,41,42，43，共6个，所以这个两位数大于30的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(3)从5名医生(3男2女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选1名男医生和1名女医生的概率为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)答案D解析从5名医生中选派两名医生的基本领件总数n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，恰选1名男医生和1名女医生的基本领件m＝Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6，所以所求事务概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选D.(4)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析全部可能的排列方法有Aeq\o\al(3,3)＝6种，2本数学书相邻的排列方法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4种(先排列数学书，再把两本数学书作为整体和语文书进行排列)．所以依据概率的计算公式，所求概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故选C.题型一古典概型的简洁问题1．(2024·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的状况如图：基本领件总数为25，这25种基本领件发生的可能性是相等的．第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选D.2．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案B解析A，B，C，D4名同学排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4).3．(2024·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D.eq\f(11,16)答案A解析在全部重卦中随机取一重卦，其基本领件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本领件数为Ceq\o\al(3,6)＝20，所以在全部重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故选A.1.求古典概型概率的步骤(1)推断本试验的结果是否为等可能事务，设出所求事务A；(2)分别求出基本领件的总数n与所求事务A中所包含的基本领件个数m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事务A的概率.2.基本领件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有依次的问题及较困难问题中基本领件数的探求排列、组合法当基本领件个数符合排列、组合模型时，可以用排列、组合数公式干脆计数1.(2024·湖南雅礼中学模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随机送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)答案C解析全部的状况有(甲送给丙、乙送给丁)(甲送给丁，乙送给丙)(甲、乙都送给丙)(甲、乙都送给丁)共4种，这4种状况发生的可能性是相等的．其中甲、乙将贺年卡都送给丁的状况只有一种，所以甲、乙将贺年卡都送给丁的概率是eq\f(1,4).2.(2024·南昌模拟)2024年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都打算选历史，假如他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A.eq\f(1,36)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)答案D解析小明与小芳选课全部可能的结果有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)种，他们选课相同的结果有Ceq\o\al(2,4)种，故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).题型二古典概型的交汇问题角度1古典概型与平面对量相结合1.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，平面对量a＝(m，n)，b＝(1，－3).(1)求使得事务“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事务“|a|≤|b|”发生的概率.解由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)全部可能的取法共有36种.(1)若a⊥b，则有m－3n＝0，即m＝3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事务“a⊥b”发生的概率为eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)若|a|≤|b|，则有m2＋n2≤10，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，故所求概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).角度2古典概型与函数、方程相结合2.(2024·武汉调研)将一枚质地匀称的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是()A.eq\f(7,36)B.eq\f(1,2)C.eq\f(19,36)D.eq\f(5,18)答案C解析投掷骰子两次，所得的点数a和b满意的关系为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤6，a∈N*，,1≤b≤6，b∈N*，))∴a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.故满意条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝eq\f(19,36)，故选C.3.(2024·辽宁省试验中学模拟)设a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6}，则函数f(x)＝logeq\s\do15(eq\f(a,b))x是增函数的概率为________.答案eq\f(1,2)解析由已知条件，得eq\f(a,b)的全部取值种数为3×4＝12.当eq\f(a,b)>1时，f(x)为增函数，符合此条件的eq\f(a,b)有eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，eq\f(7,2)，eq\f(5,4)，eq\f(7,4)，eq\f(7,6)，共6种，所以函数f(x)＝logeq\s\do15(eq\f(a,b))x是增函数的概率为eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).角度3古典概型与几何问题结合4.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________.答案eq\f(7,12)解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种等可能的结果，其中满意直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，当a＝4时，有3种，当a＝5时，有2种，当a＝6时，有1种，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).角度4古典概型与统计相结合5.(2024·绵阳模拟)目前有声书正受到越来越多人的宠爱．某有声书公司为了解用户运用状况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)状况如下图.有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”．已知抽取的样本中有eq\f(3,8)的“年轻用户”是“爱付费用户”.(1)完成下面的2×2列联表，并据此资料，能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？爱付费用户不爱付费用户合计年轻用户非年轻用户合计(2)若公司采纳分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)依据题意可得2×2列联表如下：爱付费用户不爱付费用户合计年轻用户244064非年轻用户63036合计3070100由表中数据可得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×24×30－40×62,30×70×64×36)≈4.76>3.841，所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关.(2)由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，1人为“非年轻用户”，则从这5人中随机抽取2人的基本领件共有Ceq\o\al(2,5)＝10个．其中满意抽取的2人均是“年轻用户”的事务共有Ceq\o\al(2,4)＝6个．所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).1.求解古典概型的交汇问题的步骤(1)依据相关学问构建事务满意的条件.(2)依据条件列举全部符合的基本领件.(3)利用古典概型的概率计算公式求概率.2.破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”1.把一颗骰子投掷两次，视察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，其次次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(11,12)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,18)答案B解析易知全部基本领件有36个，若m∥n，则eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)，即b＝2a.所以m与n共线包含的基本领件为(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，所以m与n不共线的概率为1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12).2.已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,3)答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知全部的基本领件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b的取值．满意a2>b2的有6个基本领件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事务的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).3.在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________.答案eq\f(1,3)解析点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种状况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4.(2024·武汉六校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名，为了探讨工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)依据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你依据已知条件完